DS证据理论

• 难以辨识所合成证据的模糊程度，由于证据理论中 的证据模糊主要来自于各子集的模糊度。根据信息 论的观点，子集中元素个数越多，子集的模糊度越 大。
证据 2：样本空间 {o1, o2 , o3 , o4}，两个证据分别为 m1 和 m2 ， 为证据中的未知部分，考 虑下面两种情况
1、 设 A {o1} ， B {o1 o2} ， m1(o1) 0.9 ， m1 () 0.1； m2 (o1, o2 ) 0.7 ，
C {Mary}
1 K
[m1({Mary}) m2 ({Mary})
m1({}) m2 ({Mary})]
1 (0 0.98 0.01 0.98) 0.49 0.02
（4）计算关于 ={Peter, Paul, Mary}的组合mass函数
1
m1 m2 ()
K
BI
m1(B) m2 (C)
Bel({Mary}) = 0.49; Pl({Mary}) = 0.49 + 0.005 = 0.495
Bel() = Pl() = 0.49 + 0.015 + 0.49 + 0.005 = 1
• 证据1：假设样本空间，表示战斗机，表示轰炸机 ，表示其他飞行器，两个证据如下：
m1 : m1(A) 0.9 m1(B) 0.1 m1(C) 0 m2 : m2 (A) 0 m2 (B) 0.9 m2 (C) 0.1
C {Peter}
1 K [m1({Peter}) m2 ({Peter}) m1({Peter}) m2 ()]
1 (0.98 0 0.98 0.01) 0.49 0.02
（2）计算关于Paul的组合mass函数
m1
m2 ({Paul})
1 K
BI
m1(B) m2 (C)
C {Paul}Baidu Nhomakorabea
BI C {Mary}
1 K
m1({Mary}) m2 ({Mary})
1 0.00 0.99 0.00 0.0001
【说明】：对于这个简单的实例而言，对于Peter, Paul, Mary的组合mass函数，再求信任函数、似然函数，可知：
信任函数值＝似然函数值＝组合后的mass函数值 即， Bel({Peter}) = Pl({Peter}) = m12({Peter}) = 0
第二，如果相信命题 A 的概率为 S ，那么对于命题 A 的反的 相信程度为：1 S 。而利用证据理论中的基本概率赋值函数的定 义，有 m(A) m(A) 1。
第三，概率函数是一个单值函数，信任函数是一个集合变量 函数，信任函数可以更加容易表达“粗略”信息。
证据理论的基本概念
设U是表示X所有取值的一个论域集合，且所有在U内的元素 间是互不相容的，则称U为X的识别框架。 论域：科学理论中的研究对象，这些对象构成一个不空的集
的”的不怀疑区间。
Demspter组合规则
设 Bel1 和 Bel2 是同一识别框架U 上的两个信任函数，m1 和 m2 分
别是其对应的基本概率赋值，焦元分别为： A1 ，… Ak 和 B1 ，…，
Br ，设：
K m1(Ai )m2 (B j ) 1 Ai B j
则：
m1( Ai )m2 (Bj )
1 K
[m1({Paul}) m2 ({Paul})
m1({Paul}) m2 ()
m1() m2 ({Paul})]
1 (0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01) 0.015 0.02
（3）计算关于Mary的组合mass函数
1
m1
m2 ({Mary})
K
BI
m1(B) m2 (C)
m1()
m2()
m12()
Peter
0.99
0.00
0.00
Paul
0.01
0.01
1.00
Mary
0.00
0.99
0.00
【解】：首先，计算归一化常数K。
K
m1(B) m2 (C)
BI C
m1(Peter) m2 (Peter) m1(Paul) m2 (Paul) m1(Mary) m2(Mary) 0.99 0 0.01 0.01 0 0.99 0.0001
B A
称该函数是U 上的信任函数（Belief Function），表示 A 的全
部子集所对应的基本赋值函数之和。
定义 3：如果将命题看作识别框架U 上的元素，如果有 m(A) 0 ，则称 A 为信度函数 Bel 的焦元。
定义 4： Pls(A) 1 Bel(A) m(B) m(B) m(B)
• 三，基本概率分配函数的微小变化会使组 合结果产生急剧变化。
Dempster合成规则计算举例
例1. “Zadeh悖论” ：某宗“谋杀案” 的三个犯罪嫌 疑人组成了识别框架 ={Peter, Paul, Mary} ，目击证人 （W1, W2）分别给出下表所示。
【要求】：计算证人W1和W2提供证据的组合结果。
m2 () 0.3，根据组合规则，组合结果为： m(o1 ) 0.9 ， m(o1, o2) 0.07 ，
m() 0.03。
2、 设 A {o1} ， B {o1 o2 o3 o4} ， m1 ( A) 0.9 ， m1 () 0.1； m2 (B) 0.7 ，
m2 () 0.3，根据组合规则，组合结果为： m(A) 0.9 ， m(B) 0.07 ， m() 0.03。
BU
B A
BI A
为U 上的似然函数（Plausibility Function），似然函数表示
不否定 A 的信任度，是所有与 A 相交子集的基本概率赋值之
和。
实际上，[Bel(A), pl(A)]表示命题 A 的不确定区间；[0, Bel(A)]表
示命题 A 的完全可信区间；而[0, pl(A)] 则表示对命题“ A 为真
其它叫法：
Dempster规则 Dempster合成规则 Dempster证据合成规则
与贝叶斯推理的比较，证据理论具有 以下优点：
第一，贝叶斯中的概率无法区别一无所知和等可能，而是将 一无所知视为等可能。而证据理论可以区分，可以用 m() 1 表 示一无所知，用 m(a) m(b) 表示等可能。
0.98
{Paul}
0.01
{Mary}
0
={Peter, Paul, Mary} 0.01
m2()
m12()
0
0.49
0.01 0.015
0.98
0.49
0.01 0.005
【解】：首先，计算归一化常数K。
K 1
m1(B) m2 (C)
BI C
1[m1(Peter) m2 (Paul) m1(Peter) m2 (Mary)
其次，利用Dempster证据合成规则分别计算Peter, Paul, Mary的组合BPA（即组合mass函数）。
（1）关于Peter的组合mass函数
m1
m2 ({Peter})
1 K
BI
m1(B) m2 (C)
C {Peter}
1 K
m1({Peter}) m2 ({Peter})
A0
m2 B 0.9
C 0.1
m1
A
B
C
0.9
0.1 0
o10 0 0
0.81 o2 0.09 0 0.09 0.01 o3 0
k 0.91， m(A) 0 ， m(B) 1， m(C) 0 。即两个证据发生严重冲突时，最终的判决结 果是 B ，是 A 、 C 的可能性为 0，这显然与实际情况不符。更加极端的证据： m1( A) 1.0 ， m2 (B) 1.0 时， k 1，组合规则中的分母为 0，D-S 组合规则无法进行。
m1(Paul) m2 (Mary)]
1 (0.98 0.01 0.98 0.98 0.01 0.98) 0.02
归一化常数K的另一种计算法：
K
m1(B) m2 (C)
BI C
m1(Peter) m2 () m1(Paul) m2 (Paul)
m1(Paul) m2 () m1() m2 (Paul)
m(C)
Ai
B
j
C
1
K 0
C U C C
K 是冲突因子，反映了证据的冲突程度，1/ k 1称为归一化因子，
该组合规则相当于在组合中将空集（冲突）等比例分配给各个集
合。
判决规则
设存在 A1, A2 U ，满足 m( A1) max m( Ai ), Ai U m( A2 ) max m( Ai ), Ai U且Ai A1
由于在证据理论中需要的先验数据比概率推理理论中的 更为直观、更容易获得，再加上Dempster合成公式可以综合 不同专家或数据源的知识或数据，这使得证据理论在专家系 统、信息融合等领域中得到了广泛应用。
适用领域：信息融合、专家系统、情报分析、法律案 件分析、多属性决策分析，等等。
证据理论的名称
证据理论(Evidential Theory) Dempster-Shafer理论 Dempster-Shafer证据理论 DS (或D-S)理论
第二章 不确定性推理方法—D-S证据理论
证据理论的诞生和形成
诞生：源于20世纪60年代美国哈佛大学数学家A. P. Dempster在利用上、下限概率来解决多值映射问题方面的 研究工作。自1967年起连续发表了一系列论文，标志着证 据理论的正式诞生。
形成：Dempster的学生G. Shafer对证据理论做了进一 步的发展，引入信任函数概念，形成了一套基于“证据” 和“组合”来处理不确定性推理问题的数学方法，并于 1976年出版了《证据的数学理论》(A Mathematical Theory of Evidence)，这标志着证据理论正式成为一种处理不确定 性问题的完整理论。
C
1 K
m1() m2 ()
1 0.01 0.01 0.005 0.02
此外，根据信任函数、似然函数的计算公式，可得：
即， Bel({Peter}) = 0.49; Pl({Peter}) = 0.49 + 0.005 = 0.495
Bel({Paul}) = 0.015; Pl({Paul}) = 0.015 + 0.005=0.020
m1() m2 (Mary) m1() m2 ()
0.98 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01
0.01 0.01 0.01 0.98 0.01 0.01 0.02
（1）计算关于Peter的组合mass函数
m1 m2 ({Peter})
1 K
BI
m1(B) m2 (C)
若有：
m(
A1) m( A2 m()
)
2
1
m( A1) m()
则 A1 为判决结果，其中 1， 2 为预先设定的门限， 为不确定 集合。
证据理论存在的问题
• 一，无法解决证据冲突严重和完全冲突的 情况
• 二，难以辨识所合成证据的模糊程度，由 于证据理论中的证据模糊主要来自于各子 集的模糊度。根据信息论的观点，子集中 的元素个数越多，子集的模糊度越大。
1 0.99 0.00 0.00 0.0001
（2）关于Paul的组合mass函数
1 m1 m2 ({Paul}) K m1({Paul}) m2 ({Paul}) 1 0.01 0.01 1
0.0001
（3）关于Mary的组合mass函数
1
m1
m2 ({Mary})
K
m1(B) m2 (C)
Bel({Paul}) = Pl({Paul}) = m12({Paul}) = 1 Bel({Mary}) = Pl({Mary}) = m12({Mary}) = 0
例2. 若修改“Zadeh悖论” 表中的部分数据，如下表 所示。请重新计算证人W1和W2提供证据的组合结果。
m1()
{Peter}
不确定性推理方法——D-S证据理论
D-S证据理论是对贝叶斯推理方法的推广，贝叶斯推 理方法是利用概率论中的贝叶斯条件概率公式来进行处理的 方法，但是它需要知道先验概率。D-S证据理论不需要知道 先验概率，能够很好地表示“不确定”和“不知道”，并且 具有推理形式简单等优点，所以被广泛用来处理不确定数据。
合，称为论域。 定义 1：设U 为一识别框架，则函数 m : 2U 0,1满足下列条
件：
（1） m() 0
（2） m(A) 1时 AU
则称 m(A) 为 A 的基本概率赋值， m(A) 表示对 A 的信任程度。
定义 2： Bel : 2U [0,1]
B e(lA) m(B) (A U )