误差理论与测量平差基础第二章 误差分布与精度指标

或然误差的计算： 1 通过中误差计算 2 误差按绝对值大小排列，取中数 教材：例 2－1
第二章 误差分布与精度指标
中误差、平均误差和或然误差都可以作 为衡量精度的指标，但由于 中误差具有明确的几何意义（误差分布 曲线的拐点坐标） 平均误差和或然误差都与中误差存在理 论关系 所以，世界上各国都采用中误差作为衡 量精度的指标，我国也统一采用中误差 作为衡量精度的指标。


x1xn x2 xn 2 xn
第二章 误差分布与精度指标
互协方差阵
X Z Y
DZZ
D XX DYX
D XY DYY
T
DXY
x1 y1 x1 y2 x2 y1 x2 y2 x y x y n 2 n1
x1 yn x2 y n xn y n
T
DXY E X E( X )Y E(Y ) DYX
互协方差阵是表达两组观测值间两两观测值相关程度的指标


习题：2.6.18，2.6.19
第二章 误差分布与精度指标
小结：
1、几个名词
1 f () exp ( ) 2 , 2 2 2 1
式中： 和 为参数。
第二章 误差分布与精度指标
由密度函数 1 1 2 f () exp ( ) , 2 2 2 知，偶然误差 为一维正态随机变量。所以又称偶然 误差为随机误差。 下面来看参数 和 是什么。 对正态随机变量 求数学期望：
第二章 误差分布与精度指标
§2-2 正态分布
当偶然误差的个数 n 时，偶然误差出现的频 率就趋于稳定。此时，若把偶然误差区间的间隔无限 缩小，则直方图（图1、图2）将分别变为图3所示的两 条光滑的曲线。
图3
第二章 误差分布与精度指标
由概率论知，该曲线是正态分布的概率分布曲线。所 以测量上通常将正态分布作为偶然误差的理论分布。 或者说偶然误差服从正态分布。其密度函数为：
第二章 误差分布与精度指标
协方差的定义和概念：
XY E( X E( X ))(Y E(Y ))
XY E X Y EY X YX
E( X ) X X
E(Y ) Y Y
观测向量的精度指标——协方差阵 2 x1 x1x2 2 x2 x1 x2 DXX E ( X E ( X )( X E ( X )T nn x x x x 其中 n 2 n1 T E( X ) E( x1 ) E( x2 ) E( xn )
误差 测量误差 （观测误差） 真误差 名 词 方差 中误差 平均误差 或然误差 极限误差 相对误差 绝对误差 粗差 偶然误差 随机误差 系统误差 准确度 精度 精确度
衡量精度的指标
第二章 误差分布与精度指标
2、一个事实 不论观测条件如何，观测误差总是不可避免的。 3、基本假设 在本课程中，我们假设观测误差为偶然误差，即不含系统误差 和粗差。换句话说，我们假设观测误差服从正态分布。 4、偶然误差的统计规律 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的限值，即超过 一定限值的偶然误差出现的概率为零； 绝对值较小的偶然误差比绝对值较大的偶然误差出现的概率大； 绝对值相等的正负偶然误差出现的概率相同； 偶然误差的理论平均值为零。
第二章 误差分布与精度指标
第二章 误差分布与精度指标
图1
第二章 误差分布与精度指标
第二章 误差分布与精度指标
图2
第二章 误差分布与精度指标
由统计分析可以看出，偶然误差具有下列特性：
1、在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的限 值，即超过一定限值的偶然误差出现的概率为零； 2、绝对值较小的偶然误差比绝对值较大的偶然误差出现 的概率大； 3、绝对值相等的正负偶然误差出现的概率相同； 4、偶然误差的理论平均值为零，即 1 n lim i 0 i n i 1
第二章 误差分布与精度指标
可得观测误差 出现在给定区间 (k k ) 内的概率为： k 2 1 P( k k ) k exp 2 2 d 2 作变量代换，得k=1，2，3时的概率分别为： P( ) 68.3% P(2 2 ) 95.5% P(3 3 ) 99.7% 上式表明：绝对值大于中误差的观测误差出现的概率为31.7%；绝对值 大于二倍中误差的观测误差出现的概率为4.5%；绝对值大于三倍中误差 的观测误差出现的概率仅为0.3%。即观测误差的绝对值一般不会大于三 倍中误差。因此，实际工作中通常以三倍中误差作为观测误差的极限， 并称为极限误差，用 限表示。
5、相对误差
观测值的中误差与观测值本身之比，常用
1 N
表示。
习题：2.3.09，2.3.10
第二章 误差分布与精度指标
§2-4 精度、准确度与精确度
观测值的质量取决于观测误差（偶然误差、系统误 差、粗差）的大小。 1、精度：描述偶然误差，指误差分布的密集或离散 程度。
第二章 误差分布与精度指标
2、准确度：描述系统误差和粗差，可用观测值的真 值与观测值的数学期望之差来描述，即： ~ L E(L) 3、精确度：描述偶然误差、系统误差和粗差的集成， 精确度可用观测值的均方误差来描述，即： ~2 ~2 2 MSE(L) E(L L ) L (E(L) L ) ~ 当 E( L) L ，即观测值中不存在系统误差和粗差时， 亦即观测值中只存在偶然误差时，均方误差就等于方 差，此时精确度就是精度。
令


t
，则有
f ()d 2


/
0
t2 1 exp dt 2 2 2 1
由概率积分表可查得，当概率为二分之一时，积分 限为0.6745，于是可得中误差与或然误差的理论关系： 2 3 0.6745 , 1.4826 3 2
第二章 误差分布与精度指标
第二章 误差分布与精度指标
§2-1 偶然误差的规律性 §2-2 正态分布 §2-3 衡量精度的指标 §2-4 精度、准确度与精确度
第二章 误差分布与精度指标
§2-1 偶然误差的规律性
真误差： ~ 观测值与其真值之差，即 i Li Li 。 基本假设： 系统误差已消除，粗差不存在。 寻找偶然误差规律性的方法： 进行统计分析 1、统计表 2、直方图
n
ˆ 2

i 1
n
2 i
和
n
ˆ
2i
ห้องสมุดไป่ตู้i 1
n
n
第二章 误差分布与精度指标
2、平均误差 设在相同的观测条件下得到一组独立观 测误差 i ，则其平均误差由 i 之绝对值的数学期望 n 定义，即：
因为
E ( ) f ()d lim
n
第二章 误差分布与精度指标
4、极限误差
由中误差的定义知，中误差是一组同精度观测误差的平方的平均 值的平方根的极限。既然是平均值，就会有的观测误差的绝对值 比中误差大，有的观测误差的绝对值比中误差小。那么，绝对值 比中误差小的观测误差出现的概率是多少？绝对值比中误差大的 观测误差出现的概率又是多少呢？由下图，通过积分
1 n E () lim i 0 n n i 1
知，随机误差 的数学期望等于零。 由正态分布知，正态分布曲线具有两个拐点，这两个拐 点在横轴上的坐标为 拐 方差的几何意义是：方差是正态分布曲线的拐点横坐标。
第二章 误差分布与精度指标
§2-3 衡量精度的指标

因
1 t exp t 2 dt 0 , 2

1 exp t 2 dt 2 2

第二章 误差分布与精度指标
所以
E () 2 再求 的方差 D ( ) 。
D() ( E ()) f ()d
E ( )

1 f ()d exp ( ) 2 2 2 2

1
第二章 误差分布与精度指标
作变量代换，令 t 得
1 2 E () (t ) exp 2 t dt 2 1 2 1 t exp t dt exp t 2 dt 2 2 2 2 1
2
2
1 ( ) 2 exp ( ) 2 d 2 2 2 1

同样作变量代换，可得：
2 D( ) 2
2 2
第二章 误差分布与精度指标
由以上推导知，参数 和 2 分别是随机误差 的数学 期望和方差。它们确定了正态分布曲线的形状。 由
ˆ 4 ˆ 4 5 5

i 1
i
n
i
也可由下式计算之：
ˆ

i 1
n
n
第二章 误差分布与精度指标
3、或然误差 当观测误差出现在 ( , )之间的概率等于二分之一 时，称 为或然误差（如图），即 1 f ( ) d 2
第二章 误差分布与精度指标
精度虽然可以通过直方图或分布曲线的形状来描述， 但在实际工作中很麻烦，且不能用一个数字来衡量其 高低。为此，人们希望通过一个数字来表示偶然误差 的离散程度。能反映偶然误差的离散程度数字称为衡 量精度的指标。这样的数字很多，比如： 1、方差和中误差 设在相同的观测条件下得到一组独 立观测误差 i ，则其方差定义为：
D() E ( ) 2 f ()d lim
2 2 n
2i
i 1
n
n
第二章 误差分布与精度指标
方差的算术平方根定义为中误差，即
2i
i 1 n
n 在实际工作中，n总是有限的，由有限个观测值的真 误差只能求得方差和中误差的估值：
lim


i 1
i
n
f ()d 2 f ()d
0


略去详细推导
4 0.7979 5 2


5 1.253 2 4
第二章 误差分布与精度指标
由上式知，不同的 ，对应着不同的 ，于是就对应 着不同的误差分布曲线。所以平均误差 也可作为衡量 精度的指标。 在实际工作中，既可通过以上等量关系来计算平均误 n 差的估值： 2