【VIP专享】高数--傅里叶级数

§6.4 傅里叶级数
6.4.1 三角函数系的正交性
一、三角函数系： 1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，，cosnx，sinnx，
二、三角函数系的正交性： 三角函数系中任何两个不同函数的乘积在[, ] 上的积分等于零，即
三角函数系：
1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，，cosnx，sinnx，
f
(
x)
a0 2
(an
n1
cosnx
bn
sinnx)......(
1
)
f ( x)dx
a0 2
dx
(an
n1
cosnxdx
bn
sinnxdx
)a
故
a0
1
f ( x)dx 。
用 cosnx 乘以(1)式两边后积分：
f ( x)cosnxdx
a0 2
cos nxdx
（1）连续或只有有限个第一类间断点；
（2）只有有限个极值点；
则
f
(x)
的傅里叶级数
a0 2
(ancosnx bnsinnx )
n1
在[, ] 上收敛，且其和函数为
f (x)
, x为f ( x)的连 续点,
S(
x)
f ( x0) f ( x0) ,
2 f (0) f (0) ,
2
x为f ( x)的间 断点, x.
cosnxdx0
(n1, 2, 3, ) ；
sinnxdx0
(n1, 2, 3, ) ；
cosm xsinnxdx0
(m, n1, 2, 3, ) ；
cosm xcosnxdx0
(m, n1, 2, 3, ,mn) ；
sinm xsinnxdx0
(m, n1, 2, 3, ,mn) 。
三角函数系：
求 f ( x) 的傅里叶级数。
解：
a0
1
xdx0
，
an
1
xcosnxdx0 ，
bn
1
xsinnxdx
1
xcosnx
1
n
n
cosnxdx
(1)n1 2 ， n
∴ f (x)~
(1)n1 2sinnx 。
n1
n
三、傅里叶级数的收敛性
定理 1（狄利克雷（ Dirichlet ）充分条件） 设 f ( x) 以 2 为周期，在[, ] 上满足：
1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，，cosnx，sinnx，
在三角函数系中，任意一个函数的自乘在[, ] 上的 积分为
12dx2 ；
cos2nxdx (n1, 2, 3, ) ；
sin2nxdx (n1, 2, 3, ) ；
6.4.2 函数展开为傅里叶级数
一、欧拉—傅里叶公式
n2k 1,
(k 1, 2, )
0, n2k.
f ( x) 的傅里叶级数展开式为
f ( x) 4[sinx 1sin3x 1 sin(2k 1)x ] ，
3
2k 1
x(,0)(0,)
当
x
0
时，级数S (收x )敛 于11,,f
(00)xf0(,00) 0 x2,
0
；
当
x
时，级数收敛 0于,
fx(0, 0). 2
0
2
an
1
f ( x)cosnxdx 1
0
1
xcosnxdx
cosnxdx
0 (1)cosnxdx 1
cosnxdx
0
0 (n1, 2, ) ，
bn
1
f ( x)sinnxdx 1
0 (1)sinnxdx 1
sinnxdx
0
1 [
cosnx
]
0 1[cosnx]
n n 0
1 (1cosncosn1) 2 [1(1)n ]
n
n
4 (2k 1)
,
如例 1：
即 S(
x 时，
xxn)1((10x),,n,)1xx时n2ys(，innn.x,1(),f 1()n10n2)2sinf n(x0f)
(x) x ，
0 2
。
3 2 o 2 3 y
3 2 o 2 3
x f (x)的图象. x S(x)的图象.
把 f (x) 在[, ] 上展开为傅里叶级数的步骤为 （1）用狄氏条件判断 f ( x) 能否展开为傅里叶级数； （2）求出傅里叶系数； （3）写出傅里叶级数并注明在何处收敛于f ( x) ； （4）画出 f ( x) 和S( x) 的图形（至少画出三个周期），
设以 2 为周期的函数 f ( x) 可展开成三角级数
f
(
x)
a0 2
(an
n1
cosnx
bn
sinnx).....
.(1
)
并设级数(1)在[，] 上可逐项积分，那么系数
a0 , a1, b1, a2 , b2 , 与 f ( x) 存在什么关系？如何求出？ 利用三角函数系的正交性，对(1)式两边在[，] 上积分：
(ak
k1
cos
kxcos
nxdx
bk
sinkxcosnxdx )
an
cos2 nxdxan
,
∴
an
1
f ( x)cosnxdx (n1, 2, ) 。
同理用 sinnx 乘以（1）式两边后积分，得
bn
1
f ( x)sinnxdx (n1, 2, ) 。
a 可由 an 统一给出：
并写出 S( x)的表达式 。
例
2．设
f
(x)
以2
来自百度文库
为周期，且
f
(
1,
x)
1,
x0 ， 0 x
将 f ( x) 展开为傅里叶级数，并求其和函数S( x) 。
解： f ( x) 满足狄氏条件。求傅里叶系数：
a0
1
f ( x)dx 1
0 dx 1
dx0 ，
0
an
1
f ( x)cosnxdx 1
bn
s
innx
)
称为函数 f (x) 的傅里叶级数，记为
f ( x) ～
a 2
(an
n1
cosnx
bn s innx)
。
（3）
an (n0, 1, 2, )和 bn (n1, 2, )称为函数 f ( x)
的傅里叶系数。
例 1． f ( x) 以2 为周期，且 x(, ] 时 f ( x) x ，
f
(0) 0
。
y
1
3
2 o
1
y
2 3
x
f (x)的图象.
1
3
2 o
1
2 3
x
S( x)的图象.
例
3．设
f
(x)
以2
为周期，且
f
x ( x)1
x0 ， 0 x
将 f ( x) 展开为傅里叶级数，并求其和函数S( x) 。
解：
a0
1
f ( x)dx 1
0
xdx 1
dx1 ，
an
bn
1
1
f ( x)cosnxdx f ( x)sinnxdx
(n 0, 1, 2, ) (n 1, 2, )
(2)
（2）式称为欧拉—傅里叶公式。
2．傅里叶级数
设 f ( x) 在[，] 上可积，则以（2）式中的an b和n
作为系数而得到的三角级数
a 2
(an cos
n1
nx