大学物理第8章稳恒磁场课后习题与答案

第 8 章 稳恒磁场
习题及答案
6. 如图所示，
AB 、 CD 为长直导线， BC 为圆心在 O 点的一段圆弧形导线，其半径为
R 。

若通以电流 I ，求 O 点的磁感应强度。

解： O 点磁场由 AB 、 BC 、 CD 三部分电流产生，应用磁场叠加原理。

AB 在 O 点产生的磁感应强度为
B 1 0
BC 在 O 点产生的磁感应强度大小为
B 2
0 I
0 I
0 I
，方向垂直纸面向里
4 R
4 R 3
12R
CD 在 O 点产生的磁感应强度大小为
B 3
I
(cos
1
cos 2 )
4 r 0
0 I
4
R cos60 0
(cos150cos180 )
0 I
3
(1
) ，方向垂直纸面向里
2 R
2
故 B 0
B 1 B 2
B 3
0 I
(1
3
) ，方向垂直纸面向里
2
2 R
6
A ，
B 两点，并在很远处与电源相连。

已知
7. 如图所示，两根导线沿半径方向引向铁环上的
圆环的粗细均匀，求环中心 O 的磁感应强度。

解：圆心 O 点磁场由直电流
A
和 B
及两段圆弧上电流 I 1与 I 2所产生，但 A 和 B 在O 点
产生的磁场为零。

且
I 1 电阻
R 2
I 2
电阻
R 1
2
I 1 产生的磁感应强度大小为
B 1
0 I
1
2
）
（
4 R
，方向垂直纸面向外
I 2 产生的磁感应强度大小为
B 2 0 I
2
，方向垂直纸面向里
4 R
所以，
B 1 I 1(2
)
1
B 2
I 2
环中心 O 的磁感应强度为
B 0
B 1 B 2
8. 如图所示，一无限长载流平板宽度为
a ，沿长度方向通过均匀电流
I ，求与平板共面且距平
板一边为 b 的任意点 P 的磁感应强度。

解：将载流平板看成许多无限长的载流直导线，应用叠加
原理求解。

以 P 点为坐标原点，垂直载流平板向左为
x 轴正方向建立
坐标系。

在载流平板上取 dI
I
dx ， dI 在 P 点产生的磁感应
a
强度大小为
dB
0dI
I
dx ，方向垂直纸面向里
2 x 2 ax
P 点的磁感应强度大小为
B
dB
0 I
b a
dx 0 I
ln ba
2 a
b
x
2 ab
方向垂直纸面向里。

9. 如图所示，真空中有两个点电荷
A ,
B , 分别带有电量
q 和 q ，相距为 d 。

它们都以角速
度 绕轴 OO ' 转动，轴 OO ' 与 AB 连线相互垂直，其交点为 C ，
距 A 点为
d。

求 C 点的磁感应强度。

3
解：
q 电荷运动形成电流大小为
q q
I 1
2
T
I 1 在 C 点产生的磁感应强度大小为
0 I
1
0 I
1
3 0
q
B 1
2 d / 3
4 d
2R
方向沿 O O 方向
同理， q 电荷运动形成电流的电流
I 2 在 C 点产生的磁感应强度
大小为
0 I
2
3 0 q
B 2
8
d
2 2d / 3
方向沿 O
O 的反方向
所以， C 点的磁感应强度大小为
B B 1
3
q
B 2
8 d
方向沿 O
O 方向
B 2.0 Wb · m -2 的均匀磁场，方向沿 x 轴正方向，如图所示。

试求：
10. 已知磁感应强度大小
(1) 通过图中 abcd 面的磁通量； (2) 通过图中 befc 面的磁通量； (3) 通过图中 aefd 面的磁通量。

解：
(1) 通过 abcd 面积 S 1 的磁通量为
1
B S 1 2.0 0.3 0.4cos 0.24 Wb
(2) 通过 befc 面积 S 2 的磁通量为
2
B S 2 0
(3) 通过 aefd 面积 S 3 的磁通量为
3
B S 3
2 0.
3 0.5 cos
2 0.
3
4 0.24 Wb
0.5
5 r 的金属小圆环，在初始时刻与一半径为 R （ R
r ）的金
11．如图所示，真空中一半径为
属大圆环共面且同心，在大圆环中通以恒定的电流 I ，如果小圆环以匀角速度
绕其直径转动，求
任一时刻 t 通过小圆环的磁通量
m 。

解：载流大圆环在圆心处产生的磁感应强度大小为
B
0 I
，方向垂直纸面向外
2R
任一时刻 t 通过小圆环的磁通量为
B S
B r 2 cos t
12. 如图所示，电流
I 1 I 2 I ，求沿回路 L 1 、 L 2 以及 L 3 的磁感应强度的环流。

解：由安培环路定理得
B dl
0 I 1 0 I
L 1
B dl
0 I 2 0 I
L 2
B dl
0 ( I 1
I 2 ) 0
L 3
13. 一根很长的同轴电缆，由一导体圆柱
( 半径为 a ) 和一同轴的导体圆管
( 内、外半径分别为
b ,
c ) 构成，横截面如图所示。

使用时，电流
I 从一导体流去，从另一导体流回，设电流都是均匀
地分布在导体的横截面上。

求：
(1) 导体圆柱内 ( r ＜ a ) ； (2) 两导体之间 ( a ＜ r ＜ b ) ；（ 3）导体
圆筒内 ( b ＜ r ＜ c ) 以及 (4) 电缆外 ( r ＞ c ) 各点处磁感应强度的大小。

解：磁场分布具有轴对称性，在横截面内取同心圆为回路，应用安培环路定理，有
B dl
B 2 r
I
i
I
2
(1) 当
r
a 时，
I
i
a 2
r ，所以
I r B
2 a 2
(2) 当 a r
b 时， I i
I ，所以
B
0 I
2 r
I
(3) 当 b
r
c 时， I i
I
( r 2 b 2 ) ，所以
(c
2
b 2 )
B
0 I (c 2
r 2 )
2 r (c 2
b 2
)
(4) 当 r c 时， I i
0 ，所以
B
14. 有一长直导体圆管，内外半径分别为 R 1 和 R 2，如图所示，它所载的电流
I 1 均匀分布在其
横截面上。

导体旁边有一绝缘 “无限长” 直导线， 载有电流 I 2 ，且在中部绕了一个半径为 R 的圆圈。

设导体管的轴线与长直导线平行，相距为 d ，而且它们与导体圆圈共面，求圆心
O 点处的磁感应强 度。

解：应用磁场叠加原理求解。

长直载流导体圆管产生的磁场分布具有轴对称性，在横截面内取圆心在轴线上、过 O 点的圆周为回路，应用安培环路定理，有
B dl
B 1 2 (R d )0I
0 I
1
i
所以，长直载流导体圆管在
O 点产生的磁感强度大小为
I 1
I 2
B 1
，方向垂直纸面向里
O 2 R d
R
电流 I 2 的长直导线在 O 点产生的磁感强度大小为
I 1
B 2
I 2
，方向垂直纸面向外
I 2
d
2 R
电流 I 2 的圆线圈在 O 点产生的磁感强度大小为
B 3
0 I
2
，方向垂直纸面向外
2R
所以， O 点的磁感强度大小为
B B 2
B 3 B 1
[(1
) I 2
I 1 ]
2
R
R d
方向垂直纸面向外。

15. 在半径为 R 的长直圆柱形导体内部，与轴线平行地挖成一半径为
r 的长直圆柱形空腔，两
轴间距离为 a , 且 a ＞ r ，横截面如图所示。

现在电流 I 沿导体管流动，电流均匀分布在管的横截面
上，而电流方向与管的轴线平行。

求：
(1) 圆柱轴线上的磁感应强度的大小；
(2) 空心部分轴线上的磁感应强度的大小。

解：在空腔处补上沿导体管流动、在横截面均匀分布的电流
I 2 和 I 2 ，应用补偿法求解。

电流 I 2和
I 2 在空间产生的磁场相互抵消，因此空间各点磁场可看作半径为
R 、电流
I 1 I I 2 均匀分布在横截面上的圆柱导体和半径为
r 、电流
I 2 均匀分布在横截面上的圆柱导体
产生的磁场的叠加。

I 2和 I 1的大小为
I 2
I
r 2 ) r 2
Ir 2
( R 2
R 2 r 2
I 1 I
I 2 IR 2
R
2
r
2
I 1 和 I 2 产生的磁场分布具有轴对称性，应用安培环路定理求磁感应强度。

（1）电流 I 1在 O 点产生的 B 1
0 ，电流 I 2 在 O 点产生的磁感应强度满足
B dl B 2 2 a 0
I
I
B 2
0 I 2
Ir 2
2 a
2 a R 2 r 2
圆柱轴线上的 O 点 B 的大小为
Ir 2
B 0
B 1
B 2
2 a( R
2
r 2
)
(2) 电流
I 2在O 点产生的 B 2
0 ，电流 I 1 在 O 点产生的磁感应强度满足 B dl
B 1 2 a
I
I
1 2
a 2
I 1a 2 i
R
B 1
0 Ia
2 a R
2
2 (R
2
r 2
)
空心部分轴线上
O 点磁感应强度的大小为
B 0
B 1 B 2
0 Ia
2 (R 2
r 2
)
16. 通以电流 I 的导线 abcd 形状如图所示， ab
cd l ，
bc 弧是半径为 R 的半圆周，置于磁感应强度为
B 的均匀磁场中， dFdl
y
B 的方向垂直纸面向里。

求此导线受到安培力的大小和方向。

解：应用安培定律求解。

ab 边受力大小为 x F ab BIl ，方向：向左 cd 边受力大小为
F cd BIl ，方向：向右
对于 bc 边，建立图示坐标系。

在 bc 边上取电流元 Id l ， dF BIdl BIRd
根据对称性有 F x
dF y dF sin BIR sin d
F y
dF y BIR sin d
2BIR
此导线受到安培力的大小为
F 2BIR ，方向沿 y 轴正向。

17. 在长直导线 AB 内通以电流 I 1 ，在矩形线圈 CDEF 中通有电流 I 2 ， AB 与线圈共面，且
CD ， EF 都与 AB 平行，线圈的尺寸及位置均如图所示。

求：导线 AB 的磁场对矩形线圈每边所作用
的力及矩形线圈所受合力。

解： F CD 方向垂直 CD 向左，大小
F CD
I 2 b
0 I
1
2 d
同理， F FE 方向垂直 FE 向右，大小
F FE I 2 b
0 I
1
2
(d a)
F CF 方向垂直 CF 向上，大小为
F CF
d a 0 I 1 I
2
dr
0 I 1 I
2
ln
da
d
2 r 2 d
F ED 方向垂直 ED 向下，大小为
F
ED
F
CF
线圈所受合力 F
F CD F FE F CF
F ED 方向向左，大小为
F
F
CD
F
FE
0bI 1 I 2 a
2 d( d a)
18. 有圆线圈直径 8cm ，共 12 匝，通电流 5A ，将此线圈置于磁感应强度为 0.6T 的匀强磁场中。

试求：
（ 1）作用在线圈上的最大磁力矩；
（ 2）线圈法线方向与磁场方向夹角多大时，力矩是线圈上最大力矩的一半？（取最小角度）
解： (1) P m
NIS
R 2NI
M P m B sin 900
R 2NIB
0.18N m
(2)
M
P m B sin
1
P m B ，所以
2
6
R 的 1/4圆弧和相互垂直的二直线组成，通以电流
I ，把它放在磁感应强度
19. 一线圈由半径为
大小为 B 的均匀磁场中 (磁感应强度 B 的方向如图所示 )。

求：
(1)线圈平面与磁场垂直时，圆弧 ⌒
所受的磁力；
AB (2)线圈平面与磁场成 60°角时，线圈所受的磁力矩大小。

解：（ 1）建立图示坐标系。

在圆弧上取电流元
Id l
y
dF
BIdl
BIRd
dF
根据对称性有 F x
dl
x
dF y dF cos BIR cos d
F y
dF y
BIR
4
cos d
2IRB
4
圆弧 ⌒
F 2BIR ，方向与直线
AB 垂直，且与 OB 的夹角为 45 0
AB 所受的磁力的大小为
；
（ 2）线圈的磁矩大小为
P m IS
1 R
2 I
4
线圈所受的磁力矩大小为
M
P m B sin 300
1 R
2 IB
8
20. 电子在 B
7.0 10 3 T 的匀强磁场中作圆周运动，圆周半径
r 3.0cm 。

已知 B 垂直于纸
面向外，某时刻电子在
A 点，速度 向上，如图所示。

（ 1）试画出这电子运动的轨道； （ 2）求这电子速度的大小；
（ 3）求这电子的动能 E k 。

解： (1) 轨迹如图
2
(2) 由牛顿第二定律得，
e B m
r
故
eBr 3.7 107 m s 1
m
(3)
E K
1 m
2 6.2 10 16 J
2
B H 关系曲
21. 如图所示的三条线表示三种不同磁介质的
线，虚线是 B = 0 H 关系的曲线，试指出哪一条是表示顺磁质?
哪一条是表示抗磁质 ?哪一条是表示铁磁质 ?
解：曲线Ⅱ是顺磁质，曲线Ⅲ是抗磁质，曲线Ⅰ是铁磁质。

22. 一长直同轴电缆线由半径为 R 1 的导体和套在它外面的半径为 R 2 的同轴薄导体圆筒组成。

已
知导体内的相对磁导率为
r1 ，导体与薄导体圆筒之间的绝缘材料的相对磁导率为
r 2 。

若电流由导
体流入 ( 电流在截面上均匀分布 ) 而从薄导体圆筒流出，求：
（ 1）磁介质内、外的磁场强度的分布；
（ 2）磁介质内外的磁感应强度的分布。

解：（ 1）磁场分布具有轴对称性，在横截面内取圆心在轴线上、半径为
r 的圆周为回路，应用
介质中的安培环路定理，有
H dl
H 2 r
I
i
当 r
R 1 时， I i
I 2 r 2 ，所以 H 1
rI 2
R 1
2 R 1 当 R 1 r R 2 时，
I i
I ，所以 H 2
I
r
2 当 r
R 2 时， I i
I I
0，所以 H 3 0
（2） B
r
H
，所以
当 r
R 1 时， B 1
r1
Ir
2 R 12
当
R 1 r R 2 时， B 2
r 2 I
2 r
当 r
R 2 时， B 3
23. 细螺绕环中心周长 L
10cm ，环上线圈匝数 N
200匝，线圈中通有电流 I 100mA 。

求：
(1) 当管内是真空时，管中心的磁场强度 H 和磁感应强度 B 0 ；
(2) 若环内充满相对磁导率
r 4200 的磁性物质，则管内的
B 和 H 各是多少 ?
解： (1) 取同心圆周为回路，应用介质中的安培环路定理
H lI ，有
l
d
HL NI H
NI 200 A m 1
L
104T
B 0
H
2.5
(2) H
200 A m 1
B
H
r o H
1.05 T。