空间向量与空间距离

空间向量与空间距离 （45分钟100分）

一、选择题（每小题6分，共30分）

1.

已知△ABC 的三个顶点的坐标为A （-1,0, 1）,B （1,3, 1）,则BC 边上

的中线AD 的长为（

2. 在棱长为a 的正方体ABCD-ABGD 冲,M 是AA 】的中点，则点很到平面MBD 的距 离是（） A.

B.

C. D.

6

6 4

3

3. （2013・开封高二检测）四棱锥P-ABCD 中，四边形ABCD 为正方形,PA 丄平面 ABCD, PA=AB=2, E, F 分别为PB, PD 的中点，则P 到直线EF 的距离为（ ） B.返

C.西

D.空

2 2 2

4. 已知正方体ABCD-AiBiCiDi 的棱长为3, E 为CD 的中点，则点D 到平而AEG 的距 离为（

5. （2013 •石家庄高二检测）正方体ABCD-A1B1C1D1的棱

长为1,则直线AC 到平而 ACD1的距离为（） B.西

C.西

3

3

二、填空题（每小题8分，共24分）

6. （2013 •东莞高二检测）平行六而体ABCD-ADCD 中,AB=：L,AD=2,AA 产3,

ZBAD=90" , ZBAAi=ZDAAi=60"，则 AG 的长为

7. 在直四棱柱ABCD-AxBiCiDi 中，底而为直角梯形,AB/7CD

A. V6

B. V3

C. V2

D ・

1 A. V6

B. 6

C. V3

D. 3

A. 1

A. 1

D. V3

^1

且 ZADC=90 ° , AD=1, CD=V3, BO2, AA产2, E 是 CG 的中点，则 AD 到平而

ABE 的距

离是

8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4, BC=3, CC产2,则平面ABG与平面ACD】的距离

三、解答题（9题,10题14分,11题18

分）

9.正方形ABCD的边长为2,E,F分别是AB和CD的中点,

将正方形沿EF折成直二面角（如图所示），M是矩形

AEFD 内一点，如果ZMB'E=ZMB'C'3IB'和平而 B'C'FE

所成的角的正切值为扌，求点M到直线EF的距离.

10. （2013 •济南高二检测）如图所示的多而体是由底

而为ABCD的长方体被截面AEGF所截而得到的，其中

AB=4, BC=2,

C CCi=3,BE=k

⑴求IBFI.

⑵求点C到平面AEGF的距离.

11.（能力挑战题）如图所示，在直三棱柱ABC-AbC冲,

ZABC=90" , BC=2, CO4, EB产 1, D, F, G 分别为 CG,

BG,

AG的中点,EF与BiD相交于点H.

⑴求证:BJ）丄平而ABD.

（2）求证:平而EGF〃平面

ABD.

（3）求平面EGF与平面ABD的距

离.

4.【解题指南】先求平面AEG 的法向量，代入点面距公式求解.

则 A (3, 0,0), 6 (0,0, 3), E(0,|, 0),G (0, 3, 3),

答案解析

1.【解析】选 A.易知 D(0,1,3), ••・AD=(1,1,2), /. |AD|=V6.

2.【解析】选A.如图所示，建立空间直角坐标系，则 A.(a,0,a),M(a,0,|), B(a,a,0),D(0,0,0)

a

a

二 MA 讦(0, 0, -), DM= (a, 0, -), DB= (a, a, 0),设平面

MBD 的法向量为n =(x,y, z),则

ti *

=

.

"

令 x=1,得 n=(1,-1,-2)

// •

= z +

/.点A,到平面MBD 的距离为 上二迭土！吏a.

6

【一题多解】由于M 是AAi 的中点，故人与A 到平面MBD 的距离相等.

又

^p|x|xV2axfaXh=|x|x|XaXa,解得 h 孕.

3.【解析】选D.建系如图，即P(0,0,2), E(1,0,1),F(0,1,1),

.•.EP=(-1,0,1),EF=(-1,1,0).

•••EP 在EF 上的投影为鬧寺f,

F

C

D y

z p

E /-

/.点P 到直线EF 的距离为J I 矗F -

【解析】选A.建立如图所示空间直角坐标系,

AE=(-3,|,0),

ACi= (-3,3,3), DiCi= (0,3,0), 设n=(x, y, z)为平面AEG的法向量，则n ・ AE=— 3.r + -|-3' = 0.

// * ACi = — 3"+3y+3二=0.

令 x=1,得 y=2, z=-1, ：■ n=

AD,到平面AEG的距离为

|D|(：l • H|_KO3O)・(12—：QL逅

I il揖

5.【解析】选B.易知AG〃平面ACD L则点人到平面

ACM的距离即为直线AG到平面ACm的距离.建系如图,

易知 AAi=(0,0「)

平面ACDi的一个法向量为n=(1 J J),

故所求的距离为T' H空.

I " I 3

6.［解析］AC产AB+AEKAAi，•••|ACjJ(AB+AI>AAi)2 =I AB r+1 AD IUIAA i

12+2AB • AEH-2AB • AA i+2AD • AAj =1+2'+3^+2|AB| • |AD| •

cos+2|AB| • lAAj • cos=14+2X1 X2cos 90° +2X1 X3cos 60° +2X2X 3cos 60° =23, r. |ACJ=A/^,即 ACi=-\Z^. 答案:価