柯西中值定理与洛必达法则

tan x x 0 例 求 l im 2 . ( ) x 0 x tan x 0 tan x x se c2 x 1 解 原式 lim lim 3 2 x 0 x 0 x 3x
2 se c2 x tan x 1 tan x 2 limsec x lim lim x 0 x 0 3 x 0 x 6x 1 tan x 1 lim . 3 x 0 x 3
x g( t ) y f (t )
d y f ( t ) 注意 d x g ( t )
Y
f (b )
f (a )
O
g(a ) g ( )
g(b) X
在曲线弧AB上至少有一点C ( g( ), f ( )),在 该点处的切线平行于弦 . AB
3
未定式:

通分
本节研究: 函数之商的极限
2
22
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8
lnx ( ) 例 l im ( 0) x x 1 x lim 1 0 解 原式 lim x x 1 x x xn 例 lim x ( n : 正整数, 0) ( ) x e
n( n 1) x nx 解 原式 lim ) xlim x ( x e 2 e x n次 n! lim n x 0 x e
. ( 0 )
1 ln x
解 取对数得 (cot x )
e
1 ln(cot x ) ln x
,
1 1 2 1 l im l n (cotx ) li m cot x sin x 1 x 0 l n x x 0 x x l im 1, 原式 e1 . x 0 cos x si n x
3. 0 , 1 , 型未定式
0 0

取对数
0 e 0 ln1 0 1 e 0ln 0 0 e
0 0ln 0
x
( 00 ) 例 求 lim x .
x 0
解
原式 lime
e x 0 1 ln x lim x lim ( ) 1 x 0 x 0 1 0 2 e e x e 1. x
x
1 x 1 x2
1 x2 lim x x
1 x2 其实: lim 1. x x
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作业
习题3.6 (149页)
1.(单)
2.
4.(3)(做书上)
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小结
洛必达法则
型
1 g 1 f f g 1 g 1 f
0 0 ,1 , 0 型
0 型 0 型
1 cos x 0 x si n x 0 解 原式 lim ( ) ( ) lim x 0 si n x x cos x 0 x 0 x si n x 0 si n x 0. lim x 0 cos x cos x x si n x
14
2. 型
例 求 解
2e 2 x e x 3 x 1 lim . x x 2 x 0 e (e 1)
0 ( ) 0
1 2e 2 x e x 3 x 1 原 式 lim x lim x 0 e x 0 x2
4e 2 x e x 3 lim x 0 2x 8e 2 x e x 7 lim x 0 2 2
x3 3x 2 . 例 求 lim 3 2 x 1 x x x 1
0 ( ) 0
解
3 6x 3x2 3 . lim 原 式 lim 2 x 1 6 x 2 2 x 1 3 x 2 x 1
6
注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 但与其它求极限方法结合使用，效果更好.
1 原式 lim (1 cos x ) 1. x x
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用洛必达法则求极限的局限性
其二 可能永远得不到结果! 分子, 分母有单项无理式时,不能简化.
2x
1 x 2 1 x2 如 lim ( ) lim x x x 1
2
lim ( ) l im x x 1 x2
2
10
用洛必达法则应注意的事项 0 0 (1) 只有 或 的未定式 , 才可能用法则, 只要是 或 , 0 0 则可一直用下去; (2) 在用法则之前, 看式子是否能先化简; (3) 每用完一次法则, 要将式子整理化简; (4) 为简化运算, 经常将法则与等价无穷小及极限 的其它性质结合使用.
令y f 取对数
g
0 型
f g f 1g
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e e 求极限 l im x 0 x sin x
x sin x
x 0时, e 1 ~ x
x
e x sin x 1 解 原式 lim esin x x 0 x sinx e x sin x 1 lim esin x lim x 0 x 0 x si n x x sin x e (1 cosx ) 1 l im x 0 1 cosx
e e ex 解 原式 l im 2 ( ) l i m ( ) li m x x x 2 x x 2 .
12
1 1 00 通分 0 0 00 1 1 例 求 lim ( ). ( ) x 0 sin x x
(a) 若存在极限为非零的因子,先求出其极限. (b) 乘积或商的非零无穷小因式, 可先用简单的
等价无穷小替换.
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0 型 关键 将其化为洛必达法则可解决的 , 0
二、其它未定式
1. 0 型
取倒数
x
1 0
x
1 或 0 0 0
x
例 求 lim x 2e x . ( 0 )
0 0
取倒数
0
取对数
00 1 0
(
或
型)
转化 洛必达法则 导数之商的极限
4
3.6.2 洛必达法则 定理 设函数 f ( x )及 g( x )满足 :
(1) lim f ( x ) 0 (或 ), lim g( x ) 0 (或 ),
x x0 x x0
( 2) 在 U ( x0 )内可导, 且 g( x ) 0; f ( x ) ( 3) lim A (或 ); x x 0 g ( x ) f ( x ) f ( x) A (或 ). 则 lim lim x x 0 g ( x ) x x0 g ( x )
11 1
21
注意洛必达法则的使用条件！ 1 2 x sin 0 x. ( ) 例 求 lim x 0 0 sin x
1 1 2 x sin cos x x 解 原 式 lim x 0 cos x
此时不能使用洛必达法则.
极限不存在
1 1 2 x sin x sin x lim x lim( x si n 1 ) lim 0 x 0 x 0 sin x x 0 x x
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用洛必达法则求极限的局限性
一、当导数比的极限不存在时, 不能断定函数比的 极限不存在, 这时不能使用洛必达法则. x cos x 例 求 lim ( ) x x 1 sin x 解 原式 lim lim(1 sin x ). x x 1 极限不存在 洛必达法则失效.
3.6 柯西中值定理与洛必达法则
3.6.1 柯西中值定理 定理3.10 (柯西中值定理) (1) 在闭区间[a, b]上连续; (2) 在开区间(a, b)内可导, 且g( x ) 0,
则在开区间(a, b)内至少存在一点 , 使得 f (b) f (a ) f ( ) g(b) g(a ) g( ) f (b) f (a ) g( ) f ( ) 0 ( ) 分析: 要证 g(b) g(a )
x ln x
x0
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lim x ln x
(0 )
例 求 l i mx
x 1
1 1 x
.
(1 )
1 ln x 1 x 1 ln x

解 原式 lime
x 1 x 0
e
lim
x 1
ln x 1 x
e
1 lim x x 1 1
e .
1
例 求 l i m(cot x )
注: 定理中 x x0 换为 x , x , x , 结论仍成立.
5

例 求 lim
x 2
cos x x

2
.
0 ( ) 0
解 原式 lim
sin x sin 1. lim 2 x ( x ) x 2 1 2
2
(cos x )
n 1 n 2
( )
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tan x . 例 求 lim tan 3 x x
2
( )
sin x cos 3 x 解 原 式 lim cos x sin3 x x
2
cos 3 x 0 ( ) lim cos x 0 x
2
3 sin 3 x lim 3 sin x x
1
f (b) f (a ) ( x) g( x ) f ( x ) g(b) g(a )
f (b) f (a ) g( x ) f ( x ), 证:作辅助函数 ( x ) g(b) g(a )
则 ( x ) 在[a, b]上连续, 在 (a, b)内可导, 且
f (b) g(a ) f (a ) g(b) (b). (a ) g(b) g(a )
由罗尔定理,至少存在一点
即
使
f (b) f (a ) f ( ) . g(b) g(a ) g( )
2
f (b) f (a ) f ( ) 切线斜率 弦的斜率 g(b) g(a ) g( ) 柯西定理的几何解释