误差总结

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误差理论与数据处理

第一章绪论

第一节研究误差的意义

研究误差的意义主要归纳为:

1、正确认识误差的性质,分析误差产生的原因——从根本上,消除或减小误差

2、正确处理测量和实验数据,合理计算所得结果——通过计算得到更接近真值的数据

3、正确组织实验过程,合理设计、选用仪器或测量方法——根据目标确定最佳系统

第二节误差的基本概念一、误差的定义及表示法

误差的定义:测得值与被测量的真值之间的差。

表达式为:误差=测得值-真值

真值(True Value):观测一个量时,该量本身所具有的真实大小。

包括理论值和约定真值。

约定真值:对于给定用途具有适当不确定度的、赋予特定量的值。也成为指定值、最佳估计值、约定值或参考值。按表示形式可分为:绝对误差和相对误差。按性质可分为:随机误差、系统误差和粗大误差。

(一)绝对误差定义:某量值的测得值和真值之间的差值。通常简称为误差。

表达式为:绝对误差=测得值-真值真值常用约定真值来表示

特点:

1) 绝对误差是一个具有确定的大小、符号及单位的量。

2) 给出了被测量的量纲,其单位与测得值相同。

修正值的定义:为了消除固定的系统误差用代数法而加到测量结果上的值。其表达式为:修正值≈真值-测得值

特点:1) 与误差大小近似相等,但方向相反。2) 修正值本身还有误差。

(二)相对误差定义:绝对误差与被测量真值之比。

其表达式为:相对误差=绝对误差/真值*100%

特点:1)相对误差有大小和符号。2)无量纲,一般用百分数来表示。

(三)引用误差定义:是一种表示仪器仪表示值相对误差,它是以仪器仪表某一刻度点的示值误差为分子, 以测得范围上限值或全量程值为分母的比值。

其表达式为:引用误差=绝对误差/仪表量程*100%

说明:引用误差是一种相对误差,而且该相对误差是引用了特定值,即标称范围上限(或量程)得到的,故该误差又称为引用相对误差、满度误差。

举例说明误差的各种表示法。

二、误差来源包括:

1.测量装置误差:标准量具误差、仪器误差、附件误差

2.环境误差:指各种环境因素与要求条件不一致而造成的误差。

3.方法误差:指使用的测量方法不完善,或采用近似的计算公式等原因所引起的误

差,又称为理论误差。

4.人员误差:

三、误差分类按照性质可以划分为:

(一)系统误差定义:在重复性条件下,对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差

特征:在相同条件下,多次测量同一量值时,该误差的绝对值和符号保持不变,或者在

条件改变时,按某一确定规律变化的误差。

按照对系统误差的掌握程度,系统误差可进一步划分为:

已定系统误差:误差绝对值和符号已经明确的系统误差。

未定系统误差:误差绝对值和符号未能确定的系统误差,但通常估计出误差范围。

按误差出现规律,系统误差可分为:

不变系统误差:误差绝对值和符号固定不变的系统误差。

变化系统误差:误差绝对值和符号变化的系统误差。

按其变化规律,变化系统误差又可分为线性系统误差、周期性系统误差和复杂规律

系统误差。

(二)随机误差定义:测得值与在重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值之差。又称为偶然误差。

特征:在相同测量条件下,多次测量同一量值时,绝对值和符号以不可预定方式变化的

误差。

产生原因:实验条件的偶然性微小变化,如温度波动、噪声干扰、电磁场微变、电源电

压的随机起伏、地面振动等。

性质:随机误差的大小、方向均随机不定,不可预见,不可修正。

(三)粗大误差定义:指明显超出统计规律预期值的误差。又称为疏忽误差、过失误差或简称粗差。产生原因:某些偶尔突发性的异常因素或疏忽所致。

1.测量方法不当或错误,测量操作疏忽和失误2.测量条件的突然变化

处理方法:由于该误差很大,明显歪曲了测量结果。故应按照一定的准则进行判别,将

含有粗大误差的测量数据(称为坏值或异常值)予以剔除。

第三节精度

精度可分为:

准确度(Correctness):它反映测量结果中系统误差的影响。

精密度(Precision):它反映测量结果中随机误差的影响程度。

精确度(Accuracy ):它反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影星程度。

精确度(精度)在数值上一般多用相对误差来表示,但不用百分数。如某一测量结果的

相对误差为0.001%,则其精度为10-5。

其他概念介绍:重复性、复现性、稳定性、示值误差、偏移、最大允许误差

第四节有效数字与数据运算

一、有效数字:

含有误差的任何数,如果其绝对误差界是最末尾数的半个单位,那么从这个近似数左方

起的第一个非零的数字,称为第一位有效数字。从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字,不管是零或非零的数字,都叫有效数字。

二、数字的运算规则

1. 在近似数运算时,为了保证最后结果有尽可能高的精度,所有残余运算的

数字,在有效数字后可多保留一维数字作为参考数字(或称为安全数字)。

第二章误差的基本性质与处理

一、随机误差的产生原因

当对同一测量值进行多次等精度的重复测量时,得到一系列不同的测量值(常称为测量列),每个测量值都含有误差,这些误差的出现没有确定的规律,即前一个数据出现后,不能预测下一个数据的大小和方向。但就误差整体而言,却明显具有某种统计规律。

随机误差是由很多暂时未能掌握或不便掌握的微小因素构成,主要有以下几方面:

①测量装置方面的因素:不稳定性,信号处理电路的随机噪声等。

②环境方面的因素:温度、湿度、气压的变化,光照强度、电磁场变化等。

③人为方面的因素:瞄准、读数不稳定,人为操作不当等。

二、正态分布

随机误差的分布可以是正态分布,也有在非正态分布,而多数随机误差都服从正态分布。我们首先来分析服从正态分布的随机误差的特性。

设被测量值的真值为0 L ,一系列测得值为i l ,则测量列的随机误差i

由式(2-2)可以推导出:

①分布具有对称性,即绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等,这称为误

差的对称性;

②当δ=0 时推知单峰性,即绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多,

这称为误差的单峰性;

③这称为误差的补偿性。

三、算术平均值

对某量进行一系列等精度测量时,由于存在随机误差,因此其获得的测量值不完全相同,此时应以算术平均值作为最后的测量结果。

一般情况下,被测量的真值为未知,,这时可用算术平均值代替被测量的真值进行计算。此时的随机误差称为残余误差,简称残差:

四、测量的标准差

(一)均方根误差(标准偏差)σ由于σ值反映了测量值或随机误差的散布程度,因此σ值可作为随机误差的评定尺度。σ值愈大,函数f (δ)减小得越慢;σ值愈小,f (δ)减小

得愈快,即测量到的精密度愈高,

3、极差法

用贝赛尔公式和别捷尔斯公式计算标准差均需先求算术平均值,再求残余误差,然后进

行其他运算,计算过程比较复杂。当要求简便迅速算出标准差时,可用极差法。

5、四种计算方法的优缺点

①贝塞尔公式的计算精度较高,但计算麻烦,需要乘方和开方等,其计算速度难于满

足快速自动化测量的需要;

②别捷尔斯公式最早用于前苏联列宁格勒附近的普尔科夫天文台,它的计算速度较

快,但计算精度较低,计算误差为贝氏公式的1.07 倍;

③用极差法计算σ,非常迅速方便,可用来作为校对公式,当n<10 时可用来计算σ,

此时计算精度高于贝氏公式;

④用最大误差法计算σ更为简捷,容易掌握,当n<10 时可用最大误差法,计算精度

大多高于贝氏公式,尤其是对于破坏性实验(n=1)只能应用最大误差法。

七、不等精度测量 :在实际测量过程中,由于客观条件的限制,测量条件是变动的,得到了不等精度测量。

(一)权的概念在不等精度测量中,各个测量结果的可靠程度不一样,各测量结果的可靠程度可用一数值来表示,这数值即称为该测量结果的“权”,记为p,可以理解为当它与另一

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