圆的参数方程

训练2：
已知曲线C的参数方程是 点M(5,4)在该 曲线上. （2）求曲线C的普通方程. 解: (1)由题意可知:
x 1 2t , ( t为 参 数 ,a R ) 2 y at .
（1）求常数a;
1+2t=5 at2=4
解得:
a=1 t=2
∴ a=1
x=1+2t y=t2
（3）x2- y=2（X≥2或x≤- 2）
小 结:
1、圆的参数方程 2、参数方程与普通方程的概念
3、圆的参数方程与普通方程的互化
4、求轨迹方程的三种方法：⑴相关点点问 题（代入法）； ⑵参数法；⑶定义法 5、求最值
x 100 t 1 2 ( t 为参数，表示时间 1、 { y h gt 2
( x 1) 4 y为 所 求 .
2
(2)由已知及(1)可得,曲线C的方程为: x 1 由第一个方程得: t 2 x 1 2 ) , 代入第二个方程得: y ( 2
思考题：动点M作等速直线运动, 它在x轴和y轴方向的 速度分别为5和12 , 运动开始时位于点P(1,2), 求点M的 轨迹参数方程。
3、填空题 : x 2 cos (1) 参数方程 表示圆心为 （2，-2） y 2 sin 半径为
1
x 2 2 y 2 2 的圆，化为标准方程为
1
( 2 ) 把圆方程
x 2 y 2 2 x 4 y 1 0 化为参数方程为
关于参数几点说明： 参数是联系变数x,y的桥梁, 1. 参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义, 也可以没有明 显意义。 2.同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样 3.在实际问题中要确定参数的取值范围
变式: 一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行.在离灾 区指定目标1000m时投放救援物资（不计空气阻力,重 力加速 g=10m/s）问此时飞机的飞行高度约是多少？ （精确到1m）
圆的参数方程的一般形式
以上是圆心在原点的圆
2 2 2
的参数方程，它对应的 o ( x 0 , y 0 )
普通方程是 x y r , 那么，圆心在点 半径为 r 的圆的参数方程又是怎
x x x 0 r cos a r cos ( 为 参 数 ) { y y y 0 r s in b r sin
例3、将下列参数方程化为普通方程：
(1)
x 2 3 cos y 3 sin
(2)
x sin y cos 2
x=t+1/t
(3)
步骤：（1）消参； （2）求定义域。
y=t2+1/t2 （1）（x-2）2+y2=9
（2）y=1- 2x2（- 1≤x≤1）
2、设经过时间 t ，动点的位置是 x 2 3t , y 1 4 t , 于是点 M 的轨迹的参数方程为 { x 2 3t y 1 4t (以时间 t 为参数 ) M ( x , y ), 则
（x+1）2+（y-3）2=1，
x 1 cos ∴参数方程为 y 3 sin
(θ为参数)
练习：
1.填空：已知圆O的参数方程是
x 5 cos y 5 sin
(0≤ ＜2 )
5 5 3 , 2 2
⑴如果圆上点P所对应的参数 5 ，则点P的坐标是
25 ( A、（1，4）；B、 , 0); C、(1, 3); 16
D、 (
25 16
, 0);
x sin 2、方程 , ( 为 参 数 ） 所表示的曲线上一点的坐标是 y cos （ ）
1 1 1 2 ( A、（2，7）；B、 , ); C、( , ); D、（1，0） 2 2 3 3
1、参数方程的概念：
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的 坐标x, y都是某个变数t的函数 x f ( t ),
（2） y g ( t ).
并且对于t的每一个允许值, 由方程组(2) 所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程(2) 就叫做这条曲线的 参数方程, 联系变数x,y的变数t叫做参变数, 简称参数. 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系 的方程叫做普通方程。
解：设动点M (x,y) 运动时间为t，依题意，得
x 1 5t 所以，点M的轨迹参数方程为 y 2 12 t
x 1 5t y 2 12 t
参数方程求法: （1）建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标为(x,y) （2）选取适当的参数 （3）根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义, 建立点P坐标与参数的函数式 （4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程
y 500
o
x
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？
y 500
解 ： 物 资 出 舱 后 ， 设 在 时 刻 t， 水 平 位 移 为 x， 垂 直 高 度 为 y， 所 以
注：1、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的 横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵 坐标与参数之间的关系。 2、参数方程的应用往往是在x与y直接关系很难 或不可能体现时，通过参数建立间接的联系。
例1、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它 化为参数方程。
解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，
2、圆的参数方程
y
M(x,y)
r

o
M0
x
如果在时刻 t ，点 M 转过的角度是 ，坐标是 M ( x , y )，那么 ＝ t ，设 OM ＝ r ，那么由三 角函数的定义有： cos t x r , sin t y r 即{ x r cos t y r sin t ( t 为参数 )
么样的呢？
对 应 的 普 通 方 程 为 ( x x0 ) ( y y 0 ) r
2 2
2
（3）参数方程与普通方程的互化
x2+y2=r2
( x a) ( y b) r
2 2 2
x r cos y r sin
x a r cos y b r sin
可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2.
②参数方程
x t, （t为参数） y 2 t 4.
通过代入消元法消去参数t ,
可得普通方程：y=2x-4 （x≥0） 注意：
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取 值范围保持一致。 否则，互化就是不等价的.
例3、把下列参数方程化为普通方程， 并说明它们各表示什么曲线？
y
P
M
O
A x
x =3+cosθ 由中点公式得:点M的轨迹方程为 y =sinθ ∴点M的轨迹是以(3,0)为圆心、1为半径的圆。
3.参数方程和普通方程的互化：
（1）普通方程化为参数方程需要引入参数 如：①直线L 的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参 数方程
x t, （t为参数） y 2t 2 .
(2)设 y= 2 t， t为 参 数 .
x 3 cos 解 ： （ 1） 参 数 方 程 是 y 2 sin
为参数。
x 3 1 t2 x －3 1 t 2 （ 2） 参 数 方 程 是 或 y 2t y 2t
3
5 5 3 2 如 果 圆 上 点 Q所 对 应 的 坐 标 是 , ,则 点 Q对 应 2 2 2 的参数等于
3
x 2 cos 2.选 择 题 ： 参 数 方 程 ( 为 参 数 ) 表 示 的 曲 线 是 A y 2 sin A.圆 心 在 原 点 , 半 径 为 2的 圆 B .圆 心 不 在 原 点 , 但 半 径 为 2的 圆 C .不 是 圆 D .以 上 都 有 可 能
x= t 1 (1) ( t为 参 数 ) y 1 2 t
x= sin cos (2) ( 为 参 数 ). y 1 sin 2
解： 因为x (1)
t 11
所 以 普 通 方 程 是 y 2 x （ x 1) 3
这 是 以 （1， 为 端 点 的 一 条 射 线 （ 包 括 端 点 ） 1）
第二讲
参数方程
1、参数方程的概念
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？
物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成： （1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动； （2）沿oy反方向作自由落体运动。
②在普通方程xy=1中，令x = tan,可以化为参数方程
x tan , y cot .
（为参数）
（2）参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为 普通方程 x a r cos , 如：①参数方程 消去参数 y b r sin .
这就是圆心在原点
O ，半径为 r 的圆的参数方 ( Βιβλιοθήκη Baidu点作匀
程。其中参数 t 有明确的物理意义 速圆周运动的时刻 )
考虑到 ＝ t ，也可以取 为参数，于是有 { x r cos y r sin ( 为参数 ) O ，半径为 r 的圆的参数方程
这也是圆心在原点
其中参数 的几何意义是 OM 0 绕点 O 逆时针旋转 到 OM 的位置时， OM 0 转过的角度。
(2)因 为 ： x sin cos 所以x 2 , 2
2 所以普通方程是x y, x 2 , 2 .
2 sin(

4
)
例4 求 椭 圆
x
2
9

y
2
4
1的 参 数 方 程 。
(1)设 x=3cos ， 为参 数 ；
x
代 入 x 100 t , 得 x 1010 m .
一、方程组有3个变量，其中的x,y表示点的 坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的 函数。 二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯 一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标 x,y由t唯一确定，这样当t在允许值范围内连 续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是 就可以连续地描绘出点的轨迹。 三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组 的有序实数对（x,y）之间有一一对应关系。
x 3t , 例1: 已知曲线C的参数方程是 ( t为 参 数 ) 2 y 2 t 1.
（1）判断点M1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线C 的位置关系； （2）已知点M3(6, a)在曲线C上, 求a的值。
练习1
x 1 t2 1、曲线 , ( t为 参 数 ） 与x轴的交点坐标是( B ) y 4t 3
x 1 2 cos y 2 2 sin
观察3
例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=4上的一个动点, 点A是x轴上的定点,坐标为(6,0).当点P在圆 上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?
解:设M的坐标为(x,y), 圆x2+y2=4 的参数方程为 x =2cosθ y =2sinθ ∴可设点P坐标为(2cosθ,2sinθ)
x 100 t , 1 2 2 y 500 gt .（ g=9.8m/s ) 2
令 y 0,
得 t 10.10 s.
o
可 以 使 其 准 确 落 在 指 定 位 置.
所 以 ， 飞 行 员 在 离 救 援 点 的 水 平 距 离 约 为 1010 m 时 投 放 物 资 ，