第二章 信号和系统的数学描述及性质

n
x(n) (n n ) x(n )
0 0

这表明任何 x(n) 与 δ(n-n0) 相乘，所产生的仍是一个冲激序列， 不过此冲激序列在 n=n0 处的值为 x(n0)。连续情况下：
x(t ) (t t0 ) x(t0 ) (t t0 )



x(t ) (t t0 )dt x(t0 )
1. 信号的数学描述和分类
2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
系统的数学描述和分类 信号的基本运算 基本的连续信号和离散信号 信号的大小 信号的相关函数 系统的连接方式 系统的性质
1. 信号的数学描述和分类
信号的数学描述：信号是信息的表现形式或载体，在极为广泛 的一类物理现象和事物运动过程中，它反映的是各种物理量或 数量的变化。信号所包含的信息就蕴藏在这些物理量或数量的 变化中。因此，信号可用一个或多个自变量的函数来描述。 信号的分类：从信号的数学描述出发，信号包括
连续信号和离散信号（模拟信号和数字信号） 周期信号和非周期信号
确定信号和随机信号
一维信号和多维信号 能量信号和功率信号
…
1. 信号的数学描述和分类
连续信号：信号的自变量是连续可变的，即信号在其自变量的 一个连续范围（实数区间上）都有定义。 离散信号：信号的自变量仅在一组离散值上取值，即信号仅在 离散的时刻上有定义。
0
d u (t ) dt 这表明 u(t) 是 δ(t) 的滑动积分， δ(t)是 u(t) 的一阶导函数。
(t )
4. 基本的连续信号和离散信号
复指数信号:
x(t ) est s C x(n) z n z C
zR
1. 实指数信号： s R x(t) = est
2. 系统的数学描述和分类
系统的数学描述：
输入输出描述
y (t ) T {x(t )} y (n) T {x(n)} 状态变量描述
x(t)
或 x ( n)
y(t) 连续或离散 时间系统T 或 y(n)
x(n 1) 1 ax(n) 2 y(n) y (n 1) bx(n)
y(t ) x(at 2 bt c)
4. 基本的连续信号和离散信号
单位阶跃信号:
1, t 0 u(t ) 0, t 0
u(t)
1, n 0 u(n) 0, n 0
u(n )
1 0 1
…
2
n
0
t
-2 -1
注意：当 t = 0 时，u(t) 没有定义；而当 n = 0 时，u(n) 有确定的
值 1。
4. 基本的连续信号和离散信号
由于 u(t) 和u(n) 分别在 t>0 和 n≥0 均为单位值，因此利用它们
可以表示许多有始信号，以及把一些用分段表达式表示的信号 归纳成一个闭合表达式。用u(t) 或 u(n)表示下列信号：
x1(t) 1 -τ/2 0 -τ/2 x2(t) 1 x3(n) 1 t N1 1
s>0
s=0
s<0
4. 基本的连续信号和离散信号
复指数信号:
x(t ) est s C x(n) z n z C
z e j
2. 复正弦信号： s j
x(t ) e jt cos(t ) j sin(t ) x(n) e jn cos(n) j sin(n) ejΩt 和 ejωn 的区别:
数乘运算 相加运算 相乘运算 连续时间微分和离散时间差分运算 连续时间积分和离散时间累加运算 信号的反转
信号的时移
信号的尺度变换 …
3. 信号的基本运算
数乘运算：
y (t ) cx(t ) y (n) cx(n)
相加运算：
y(t ) x1 (t ) x2 (t ) y(n) x1 (n) x2 (n)
…
256
1. 信号的数学描述和分类
周期信号：信号值随自变量重复变化的信号。 非周期信号：不满足周期信号定义的信号。
T
1. 信号的数学描述和分类
确定信号：信号在任意时刻的值能够被精确地确定。 随机信号：不满足确定性信号定义的信号。随机信号又可分为 平稳随机信号和非平稳随机信号，平稳随机信号又可分为各态 遍历信号和非各态遍历信号。
（后向差分）
y(n) k x(n) k 1 x(n) k 1 x(n 1)
积分运算：
y(t ) x(1) (t ) x( )d

t
累加运算：
y ( n)
k
x( k )
n
3. 信号的基本运算
反转：
y(t ) x(t ) y ( n) x ( n)
x (t )
0
t
x(-t)
0 t
时移：
y(t ) x(t t0 ) y(n) x(n k )
x(t-t0)
0 t
3. 信号的基本运算
尺度变换：
y (t ) x(at) y (n) x( Mn)（抽取） x(n / M ), y ( n) 0, n lM （内插） n lM
又称为单位抽样序列。
4. 基本的连续信号和离散信号
单位冲激信号和序列的性质：
1.具有单位面积，即 (t ) 1

2.均为偶信号，即 (t ) (t )
3.筛分性质
n
( n) 1
(n) (n)

x(n) (n n0 ) x(n0 ) (n n0 )
4. 基本的连续信号和离散信号
考察单位冲激与单位阶跃之间的关系。离散情况下有：
u (n)
k
(k ) (n k )
k 0
n

(n) u(n) u(n 1)
这表明 δ(n) 是 u(n) 的一阶差分， u(n) 是 δ(n) 的一次累加。 连续情况下： t u(t ) ( )d (t )d
[, x(4),0, x(3),0,,0, x(3),0, x(4),]
（内插）
3. 信号的基本运算
需要说明两点：
第一，上面介绍的自变量的变换只牵涉到一个自变量的变换。 对于多维信号，也可以定义一个或多个自变量的变换。图像
处理中经常涉及到多维自变量变换的信号变换问题。
第二，上面介绍的自变量的变换均属线性变换，还可以定义 自变量的非线性变换，例如：
对于任何的Ω， ejΩt 都是周期信号，周期为2π/|Ω|； ejωn 则 不然，只有当ω/2π为有理数时， ejωn才是周期序列。 解释： 若 ejωn 是周期序列，必须存在一个正整数N，使得下式成立：
e j ( n N ) e jn e jN e jn
4. 基本的连续信号和离散信号
必须有ejωN= 1，则 ωN必须是2π的整数倍，即必须有一个正整
m 满足：
N 2m
或 / 2 m/M
考察：cos(πn/6)、cos(2πn/31)、cos(n/6)是否为周期序列？
对于每一个不同的 Ω， ejΩt 都是不相同的周期信号，而且 Ω
越大， ejΩt 的振荡频率越高；但 ejωn 并非如此，因为有：
连续信号
离散信号
1. 信号的数学描述和分类
模拟信号：自变量和信号值均连续。
数字信号：自变量和信号值均离散。 256
156 160 156 160 156 159 154 159 154 153 158 157 158 157 155 . . . 155 158 155 158 159 158 157 158 157 159
范数定义为如下极限：
1 || x(t ) ||1 lim T 2T

T
T
| x(t ) | dt
M 1 || x(n) ||1 lim | x(n) | N 2 N 1 n N
5. 信号的大小
若信号 x(t) 和 x(n) 分别满足：
e j ( 2k ) n e jne j 2kn e jn k 0,1,2 因此，在任何 2π 区间内的 ejωn就包含所有不同的复正弦序列，
在研究这种复正弦序列时，只要在 ω 的某个 2π 区间内考察即
可，一般选这个区间为 -π < ω ≤ π 或者 0 < ω ≤ 2π，称为主值 区间。



| x(t ) | dt
n
| x ( n) |
|| x(n) ||1

则它们是模可积的及模可和的，其一阶范数定义为：
|| x(t ) ||1 | x(t ) | dt

n
| x ( n) |

然而，若 x(t) 和 x(n) 是有界的非模可积与模可和信号，其一阶
δ △ (t )
1 /△
－ △ /2
0
△ /2
t
(t ) lim (t )
0
δ (t )
2.狄拉克函数定义 (t )dt 1; (t ) 0, t 0

0
t
离散时间单位冲激序列 δ(n) :
1, n 0 (n) 0, n 0
3.
x(n) z n z C
z re j
一般复指数信号： s j
x(t ) et [cos(t ) j sin(t )] x(n) r n [cos(n) j sin(n)]
σ<0
σ>0
5. 信号的大小
常用信号在其定义域内的总量来表示信号的大小，即所谓信号 的范数。若信号 x(t) 和 x(n) 分别满足：
t
0
0
N2
n
x1 (t ) u(t / 2) u(t / 2) x2 (t ) t[u(t ) u(t 1)]
x3 (n) u(n N1 ) u(n N1 1)
4. 基本的连续信号和离散信号
连续时间单位冲激信号 δ(t) 的两种定义
: 1.极限形式定义
0 t
a = 0.5
a=2
例如： x(n) : [, x(4), x(3), x(2), x(1), x(0), x(1), x(2), x(3), x(4),]
y(n) x(2n) : [, x(4), x(2), x(0), x(2), x(4),] （抽取）
x(n / 2), n 2l y(n) : n 2l 0,
4. 基本的连续信号和离散信号
难点： T、f、Ω 和 ω 的区别和联系。
名称 T 周期 单位 s 变换关系 T = 1/f
f
Ω ω
物理频率
角频率 圆周频率
Hz
rad/s rad
f = 1/T
Ω = 2 π/ T = 2 πf ω = 2 π f/ fs
4. 基本的连续信号和离散信号
复指数信号: x(t ) est s C
埃农映射（hé non map）
2. 系统的数学描述和分类
系统的分类：
连续时间系统、离散时间系统和混合系统
x(t)
连续时间系统
y(t)
x ( n)
离散时间系统
y(n)
x(t) x ( n)
混合系统
y(n) y(t)
单输入输出系统和多输入输出系统
一维系统和多维系统
3. 信号的基本运算
信号的基本运算：
确定信号
随机信号
1. 信号的数学描述和分类
一维信号：用一个自变量的函数表示的信号称为一维信号。 多维信号：用多个自变量的函数表示的信号称为多维信号。
1. 信号的数学描述和分类
能量信号： 信号 x(t) 和 x(n) 的能量分别定义为：
E x(t ) dt
2
E
n


x ( n)
相乘运算：
y(t ) x1 (t ) x2 (t ) y(n) x1 (n) x2 (n)
3. 信号的基本运算
微分运算： 差分运算：
dx(t ) y (t ) x' (t ) dt d k x(t ) y (t ) x (t ) dt k
(k )
y(n) x(n) x(n) x(n 1)
2
如果 E<∞，则称Fra Baidu bibliotekx(t) 和 x(n)为能量信号。 功率信号： 信号 x(t) 和 x(n) 的功率分别定义为：
1 P lim T 2T

T /2
T /2
x(t ) dt
2
N 1 2 P lim x ( n ) N 2 N 1 n N
如果 P<∞，则称 x(t) 和 x(n) 为功率信号。