统计学相关与回归分析

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2、相关分析与回归分析的关系
相关分析是回归分析的基础和前提，回归分析则 是相关分析的深入和继续。
相关分析需要依靠回归分析来表现变量之间数量 相关的具体形式，而回归分析则需要依靠相关 分析来表现变量之间数量变化的相关程度。 只有当变量之间存在高度相关时，进行回归分析 寻求其相关的具体形式才有意义。
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0.9938
相关系数较大，这说明人均消费额与人均国内生产 总值高度相关。 2、由分组资料计算相关系数的公式为:
r
f x y f x f y f x f ( x f ) f y f
ij i j ij i i 2 2 2 i i i i i j j
j
fj ( y j f j ) 2
称为不完全相关。不完全相关关系是现实当中相关关 系的主要表现形式，是相关分析的主要研究对象。
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2. 按相关的方向可分为正相关和负相关 正相关：当一个变量随着另一个变量的增加 （减少）而增加（减少），即两者同向变化时， 称为正相关。 如家庭收入与家庭支出之间的关系。 负相关：当一个变量随着另一个变量的增加 （减少）而减少（增加），即两者反向变化时， 称为负相关。 如产品产量与单位成本之间的关系，单位成 本会随着产量的增加而减少。
y



x
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具有相关关系的某些现象可表现为因果关系。
自变量：是引起某种结果变化的原因，它是可以
控制、给定的值，常用x表示；
因变量：是自变量变化的引起结果量，它是不确
定的值，常用y表示。
它们的表现形式有多种：一种原因引起一种结果；多种 原因引起一种结果；还有变量之间是互为因果的关系。 相关分析时，一般不区分原因和结果。
x与y关系散点图的主要类型
(a)正相关\直线相关
(b)负相关\直线相关
(c)正相关\曲线相关
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(d)负相关\曲线关系
(e)负相关直线相 关(相关程度较小)
(f )不相关
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（二）相关系数
相关图表可反映两个变量之间的相互关系及其相关方向， 但无法确切地表明两个变量之间相关的程度。 统计学家卡尔·皮尔逊设计了统计指标 ––– 相关系数。
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二者的区别： (1) 相关分析中变量之间的关系是对等的；回归分析 中，变量之间的关系是不对等的，将变量划分自变量 和因变量。 (2) 相关分析中变量都必须是随机变量；回归分析中， 自变量是给定的，因变量是随机的。 (3)相关分析主要是通过一个指标即相关系数来反映 变量之间相关程度的大小，相关系数是惟一的。而在 回归分析中，对于互为因果的两个变量 ，则有可能存 在两个或多个回归方程。
单相关：两个变量之间的相关，称为单相关。 复相关：一个变量与两个或两个以上其他变量之
间的相关，称为复相关。
偏相关：在复相关的研究中，假定其他变量不变，
专门研究其中两个变量之间的相关关系时称其为 偏相关。
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三、相关关系的测定
注意：并非所有的变量之间都存在相关关系，因此需要用相 关分析方法来识别和判断。
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2 4、相关系数取正值或是负值，与分子 xy 关系.它可能出现以下情况：
有直接的
2 1）所有相关点都为正相关，则 xy >0 ，说明两变量之 间正线性相关； 2 2）所有相关点都为负相关，则 xy <0 ，说明两变量之 间负线性相关；
3）在全部相关点中，既有正相关、又有负相关和零相 关，这时计算协方差时就会出现正负抵消。抵消的结果 为正数，为正相关；为负数就是负相关.
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【例】根据上述资料，计算人均消费与人均国内生产 总值的直线相关系数。
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将上表计算结果代入公式为：
r n x x
2
n xy x y
2 2
n y y
2
2
9 202299852 61395 28734 9 433057667 61395 9 94547496 28734
简单相关系数：在线性条件下说明两个变量之 间相关关系密切程度的统计分析指标，简称相 关系数。
根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为; 根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，记为 r。
•
将反映两变量间曲线相关关系的统计指标称为非线性相 关系数、非线性判定系数；将反映多元线性相关关系的 统计指标称为复相关系数、复判定系数等。
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二、相关关系的种类
1. 按相关的程度可分为完全相关、不完全相关和不相关

完全相关：当一个变量的变化完全由另一个变量所
决定时，称变量间的这种关系为为完全相关关系，这 种严格的依存关系实际上就是函数关系。

不相关：当两个变量的变化相互独立、互不影响时，
称这两个变量不相关（或零相关）。

不完全相关：当变量之间存在不严格的依存关系时，
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2.相关关系
指变量之间保持着不确定的数量依存关系。即变量 间关系不能用函数关系精确表达，一个变量的取值 不能由另一个变量唯一确定，当变量x取某个值时， 变量y的取值可能有几个。
例：商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系； 商品的消费量(y)与物价(x)之间的关系；
商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系；
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四、相关分析中应注意的问题
（一）相关系数是说明线性联系程度的，相关系数很小的变量间可能 存在非线性联系。 （二）相关系数不能解释两变量间的因果关系，警惕虚假相关导致的 错误结论。 有人曾对教师工资提高和酒价上涨的数据计算相关系数，得到的数值 比较大，这是否表明教师工资提高导致酒的消费量增加，从而导 致酒价上涨呢？经定性分析，事实是由于经济繁荣导致政府普遍 增加工资，其中教师工资也随之增加，同时人们收入提高增加了 酒的消费导致酒价的上涨，而教师工资增长和酒价之间并没有什 么直接关系。 （三）不要在相关关系据以成立的数据范围以外，推论这种相关关系 仍然保持。
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【例】在研究我国人均消费水平的问题时，把全国人均 消费记为y，把人均国内生产总值（人均GDP）记为x。
我国人均国内生产总值与人均消费金额数据 单位:元
年份 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003
人均国内生产 人均消费金额 总值X Y
4854 5576 6054 6308 6551 7086 7651 8214 9101 2236 2641 2834 2972 3138 3397 3609 3818 4089
（1）变量之间是一一对应的确定关 系; y （ 2 ）设有两个变量 x 和 y ，变量 y 随变量 x 一起变化，并完全 依赖于 x ，当变量 x 取某个 数值时， y 依确定的关系取相 应的值，则称 y 是 x 的函数， 记为 y = f (x)，其中 x 称为自 变量，y 称为因变量; x （3）各观测点落在一条线上 .
粮食亩产量 (y) 与施肥量 (x1) 、降雨量 (x2) 、温度 (x3) 之间的关系；
收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系。
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相关关系的特点： （ 1 ）变量间关系不能用函数 关系精确表达； （ 2 ）一个变量的取值不能由 另一个变量唯一确定； （3）当变量 x 取某个值时， 变量 y 的取值可能有几个； （ 4 ）各观测点分布在直线周 围。
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3、回归分析的种类
一个自变量
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（一）相关表：将自变量x的数值按照从小到大的 顺序，并配合因变量y的数值一一对应而平行排 列的表。 （二）相关图（散点图） 识别变量间相关关系最简单的方法是散点图法。 所谓散点图法，就是将所研究变量的观察值以散 点的形式绘制在相应的坐标系中，通过它们呈现 出的特征，来判断变量之间是否存在相关关系， 以及相关的形式、相关的方向和相关的程度等。
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1、由未分组资料计算相关系数公式：
2 xy r x y
2 ( x x ) 2 ( y y )
其中：x、y 和2 xy 分别为变量x、变量y的标准差及x与y的协方差。
x
n
y
n
xy
( x x )( y y ) n
r
( x x )( y y ) ( x x ) ( y y )
2 2
上述公式还可以变换为其它形式，如：
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2 2 2 ( x x ) ( x 2 x x x )
x 2 2 x x nx 2 n x 2 x x nx 2 n x 2 nx 2
2
x2
( x ) 2 n
2
( y y)
例:某种商品的销售额(y)与销售量(x)之间的关系可表示为:
y = p x
(p 为单价)
圆的面积(S)与半径之间的关系可表示为:S = r2 企业的原材料消耗额 ( y) 与产量 ( x1) 、单位产量消耗 ( x2) 、原材料价格(x3)之间的关系可表示为:
y = x1 x2 x3
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函数关系的特点：
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第二节 一元线性回归分析

本节内容： 一、回归分析的概念及种类 二、一元线性回归模型 三、回归估计标标准误差 四、可线性化的常用曲线类型
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一、回归分析的概念
1、什么是回归分析 “回归”一词是由英国生物学家F.Galton在研究人 体身高的遗传问题时首先提出的。 回归分析通过一个变量或一些变量的变化解释另 一变量的变化，即从一组样本数据出发，确定 变量之间的数学关系式。
从上表可以看出X和Y这两个变量之间存在什么样的相关关系？ 将上表资料绘制散点图如下：
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将上表资料绘制散点图如下：
所绘制的散点图呈现出从左至右的上升趋势，它表明x与y之间存在着 一定的正相关关系，即随着人均GDP的上升，人均消费金额也会增加。 有时也可通过表格来直接观察变量之间是否存大相关关系。
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2
Leabharlann Baidu
y

( y ) 2 n
( x x )( y y )
x y xy n
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r x 2
1 xy xy n 1 ( x ) 2 n y 2 1 ( y ) 2 n
r
nxy xy nx 2 (x) 2 ny 2 (y ) 2
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j
3、相关系数取值及其意义 相关系数的值介于–1与+1之间，即–1≤r≤+1。
完全负相关
无线性相关
完全正相关
-1.0
-0.5
0
+0.5
正相关程度增加
+1.0
r
负相关程度增加
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（1）当r>0时，表示两变量正相关，r<0时，两变量为负相关。 （2）当|r|=1时，表示两变量为完全线性相关，即为函数关系。
相关分析就是借助于图表和分析指标对变量之间的
依存关系的密切程度进行测定的过程。 是依据研究者的理论知识和实践经验，对 定性分析 客观现象之间是否存在相关关系，以及何 种关系作出判断。
在定性分析的基础上，通过编制相关表、 定量分析 绘制相关图、计算相关系数等方法，来判 断现象之间相关的方向、形态及密切程度。
第六章 相关分析与回归分析
本章内容 第一节 相关分析 第二节 一元线性回归分析
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第一节 相关分析
本节内容 一、相关关系的概念 二、相关关系的种类 三、相关关系的测定 四、相关分析中应注意的问题
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一、相关关系的概念
1.函数关系
当一个或几个变量取一定的值时，另一个变量有确 定值与之相对应，我们称这种关系为确定性的函数 关系。
（3）当r=0时，表示两变量间无线性相关关系，它并不意味着Ｘ 与Ｙ之间不存在其他类型的关系。 。
（ 4）当 0<|r|<1时，表示两变量存在一定程度的线性相关。且 |r|越接近1，两变量间线性关系越密切； |r|越接近于 0，表示两 变量的线性相关越弱。 （5）通常判断的标准是: |ｒ|＜0.3称为微弱相关； 0.3≤ |ｒ|＜0.5称为低度相关； 0.５≤ |ｒ|＜0.8称为显著相关 ； 0.8≤ |ｒ|＜1称为高度相关或强相关。
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3、 按相关的形式可分为线性相关和非线性相关
线性相关：当变量之间的依存关系大致呈现为
线性形式，即当一个变量变动一个单位时，另一 个变量也按一个大致固定的增（减）量变动，就 称为线性相关。
非线性相关：当变量间的关系不按固定比例变
化时，就称之为非线性相关。
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4. 按研究变量的多少可分为单相关、偏相关和复 相关