人教新课标版数学高二-选修1-2练习 3.2.1复数代数形式的加减运算

选修1-2 第三章 3.2 第1课时

一、选择题

1．设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( ) A ．1＋i B ．2＋i C ．3 D ．－2－i

[答案] D

[解析] ∵z 1＋z 2＝(2＋b i)＋(a ＋i) ＝(2＋a )＋(b ＋1)i ＝0，

∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋a ＝0b ＋1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝－2

b ＝－1

， ∴a ＋b i ＝－2－i.

2．已知z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

[答案] C

[解析] z ＝z 2－z 1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i.故z 对应的点为(－1，－3)，在第三象限． 3．(2014·浙江台州中学期中)设x ∈R ，则“x ＝1”是“复数z ＝(x 2－1)＋(x ＋1)i 为纯虚数”的( )

A ．充分必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分不必要条件

D ．既不充分也不必要条件

[答案] A

[解析] z 是纯虚数⇔⎩⎪⎨⎪⎧

x 2－1＝0，x ＋1≠0，

⇔x ＝1，故选A.

4．在复平面内，点A 对应的复数为2＋3i ，向量OB →对应的复数为－1＋2i ，则向量BA →

对应的复数为( )

A ．1＋5i

B ．3＋i

C ．－3－i

D ．1＋i

[答案] B

[解析] 向量OA →

对应的复数即为A 点对应的复数，

又因为BA →＝OA →－OB →

， 而(2＋3i)－(－1＋2i)＝3＋i ， 故BA →

对应的复数为3＋i ，故选B.

5．设复数z 满足关系式z ＋|z |＝2＋i ，那么z ＝( ) A ．－3

4＋i

B ．34－i

C ．－3

4－i

D ．－34

＋i

[答案] D

[解析] 设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )， 则x ＋y i ＋

x 2＋y 2＝2＋i ，

因此有⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＋x 2＋y 2＝2y ＝1，

解得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝34y ＝1，

故z ＝3

4

＋i ，故选D.

[点评] ∵|z |∈R ，z ＝2－|z |＋i ，

∴z 的虚部为1，因此可设z ＝a ＋i(a ∈R )，由此得a ＋i ＋a 2＋1＝2＋i 解出a . 6．若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R )，且z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a 的值为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．－1

[答案] D

[解析] z 1＋z 2＝2＋i ＋3＋a i ＝(2＋3)＋(1＋a )i ＝5＋(1＋a )i. ∵z 1＋z 2所对应的点在实轴上， ∴1＋a ＝0，∴a ＝－1. 二、填空题

7．已知|z |＝4，且z ＋2i 是实数，则复数z ＝________. [答案] ±23－2i

[解析] ∵z ＋2i 是实数，可设z ＝a －2i(a ∈R )，

由|z |＝4得a 2＋4＝16， ∴a 2＝12，∴a ＝±23， ∴z ＝±23－2i.

8．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝________.

[答案] －1

[解析] z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R )为纯虚数，

∴⎩⎪⎨⎪⎧

a 2－a －2＝0a 2＋a －6≠0

，解得a ＝－1.

9．在复平面内，O 是原点，O A →、OC →、A B →

对应的复数分别为－2＋i 、3＋2i 、1＋5i ，

那么B C →

对应的复数为________．

[答案] 4－4i

[解析] B C →＝O C →－O B →

＝O C →－(O A →＋A B →

) ＝3＋2i －(－2＋i ＋1＋5i) ＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i ＝4－4i. 三、解答题

10．已知平行四边形ABCD 中，A B →与A C →

对应的复数分别是3＋2i 与1＋4i ，两对角线AC 与BD 相交于P 点．

(1)求A D →

对应的复数； (2)求D B →

对应的复数； (3)求△APB 的面积．

[分析] 由复数加、减法运算的几何意义可直接求得A D →，D B →

对应的复数，先求出向量P A →、P B →

对应的复数，通过平面向量的数量积求△APB 的面积．

[解析] (1)由于ABCD 是平行四边形，所以A C →＝A B →＋A D →，于是A D →＝A C →－A B →

，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i ，

即A D →

对应的复数是－2＋2i.

(2)由于D B →＝A B →－A D →

，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5， 即D B →

对应的复数是5.

(3)由于P A →＝12C A →＝－12

A C →＝⎝⎛⎭⎫－12，－2， P

B →＝12

D B →＝⎝⎛⎭⎫

52，0， 于是P A →·P B →＝－54，

而|PA |→

＝172，|PB |→＝52，

所以

172·52·cos ∠APB ＝－54

， 因此cos ∠APB ＝－

1717，故sin ∠APB ＝417

17

， 故S △APB ＝12|PA |→|PB |→

sin ∠APB

＝12×172×52×41717＝52. 即△APB 的面积为52

.

[点评] (1)根据复数加、减法运算的几何意义可以把复数的加、减法运算转化为向量的坐标运算．

(2)复数加、减法运算的几何意义为应用数结合思想解决复数问题提供了可能.

一、选择题

11．实数x 、y 满足(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，则xy 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．－2 D ．－1

[答案] A

[解析] ∵(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，

∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝1y ＝1

.