运筹学单纯形法的灵敏度分析

• 讨论：上例中甲、乙、丙三种产品单位利润发生变化时对原 问题的影响。
• 思考：数学模型中，cj变化将影响数学模型中哪些因素？
• 如：丙产品单位利润的变化将影响到模型中哪些因素？
c3=1
c3=2 或 c3=1 c3=6
• 再如：甲、乙产品单位利润发生变化时，将影响到哪些因素？
c1=2
c1=4 或c2=3
3
Cj → 0
2
段 ↓ 基b
x1
3
10 0
x2
x3 x4
x5
Qi
0
x4
1
1
0
x5
3
Cj-Zj →
1/3
1/3 1/3 1
1/3 （4/3） 7/3 0
2
3
10
0
3
1 9/4 →
0
0
x4 1/4 （1/4）
0
-1/4 1 -1/4 1
→
2
3
x2 9/4 1/4
1 7/4 0 3/4 9
Cj-Zj →
§5.2 单纯形法的灵敏度分析
• 目标函数系数Cj的改变对原问题的影响
• 约束条件右侧常数bi改变对原问题的影响
• 约束条件系数矩阵A发生变动对原问题的影 响
.
1
例：
• 某工厂计划生产甲、乙、丙三种产品，这三种产品的单位利 润分别为2元、3元、1元，生产单位产品所需要的劳动力和 材料如下表所列，现工厂计划部门列出线性规划的模型，以 确定最优的生产方案。
C 3 Z 3 C 3 C B P 3 C 3 C 1C 2 2 1 C 3 23 2 1 C 3 4
• ∴当C3-Z3＞0即C3＞4时，调入成为基变量，则x3>0。
• 也就是说，此时当改变丙产品的单位利润c3到大于4元时，它
的产量就大于零，即需考虑生产丙产品了。
甲
乙
丙 可使用资源
劳动力 1/3
1/3
1/3
材料
1/3
4/3
7/3
利润
2
3
1
.
1 3
2
• 设计划生产三种产品产量分别为x1，x2，x3
max Z 2 x 1 3 x 2 x 3
1 3
x1
1 3
x2
1 3
x3
1
s .t .
1 3
x1
4 3
x2
7 3
x3
3
x j 0 , j 1,2 ,3
• 引入松弛变量x4，x5，. 得如下单纯形表
C 4 Z 4 C 4 C B P 4 0 C 13 4 1 3 4 C 1 0 C 1 4 3
C 5 Z 5 C 5 C B P 5 0 C 13 1 1 . C 1 3 0 C 1 3
13
C1的变动范围
∴C1的变动范围为〔3/4，3〕
.
12
（二）基变量目标函数系数的改变
∵x1是基变量，基变量的检验数C1-Z1=0，而C1变化 会影响到非基变量的检验数。
∴我们可以分析所有非基变量的检验数
C 3 Z 3 C 3 C B P 3 1 C 1C 2 2 1 1 C 13 2 1 C 1 5 0 C 1 5
段
Cj ↓
→0 基b
2 x1
2 x1 1 1 3 3 x2 2 0
Cj-Zj → -8 0
3 10 0 x2 x3 x4 x5 Qi 0 -1 4 -1 1 2 -1 1
0 -3 -5 -1
.
11
分析结果
• 从单纯表最后一段可知：x1为基变量，x1>0，意味着生产甲产 品。
• 再进一步分析，如果C1降到某一程度之后，即利润非常小，从 实际意义上讲，是不应该安排甲产品生产的。另一方面，当甲 产品利润增加到很高一个水平时，就可以考虑只生产甲产品而 不生产其他产品，那么究竟甲产品利润必须变动到什么程度才 可能发生以上变化呢？
5/4
0 -17/4 0 -9/4
2
x1
1
1
3
3
x2
2
0
Cj-Zj → -8
0
0
-1 4 -1
1
2 -1 1
0
-3 -5 -1
• 解到第三段得到最优解：
• x1=1（甲产品生产1单位），x2=2（乙产品生产2单位），x3=0（丙产品不生产），
• maxZ=8（最大利润达到8元）
.
4
一、目标函数系数Cj的改变对原问题 的影响
• 也就是说，当甲产品利润在3/4到3之间变动时，它不会 影响到基变量，即仍安排生产甲产品和乙产品，不生产丙 产品，只是随着C1的变化，最优解即甲、乙产品的产量不 会改变，而总利润会发生变动，如当C1=1时，最优解为 x1=1，x2=2，而最优值Z=7，若C1变动超过以上界限，则 需重新计算。
• 如果要生产丙产品，意味着x3>0，则必须将x3调入成为基变 量，考察单纯形表最后一段，此时检验数Cj-Zj均为非正，如 果此时改变c3，则C3-Z3会发生变化，当它变成＞0时，就可 以调入。
• 所以，分析c3-z3的变动：
.
7
C3变动范围
C j Z j C j C B P j C j C B B 1 P j
c2=2
.
5
结论
• 在单纯形法中，cj的变化→cj-zj变化→基变量的调 出、入。
• 分两种情况：
– 非基变量的cj发生变化只影响其本身对应的检验数cj-zj；
• 如上例中x3为非基变量，则丙产品单位利润发生变化只影响本 身的检验数。
– 基变量的cj发生变化，由于影响到cB，从而所有非基变 量的检验数均受到影响（基变量的检验数仍保持为0）。
2 -5 -1
2
x1
2
1 1/2
2
6
x3
1
0 1/2
Cj-Zj → -10 0 -1
0 7/2 -1/2 1 -1/2 1/2
0 -4 -2
• 即当丙产品利润增加到6元时，最优解为x1=2，x3=1，x2=0，最
优值为maxZ=10。
.
10
（二）基变量目标函数系数的改变
• 讨论：甲产品单位利润的变化对原问题的影响。 • 单纯形法最后一段如下：
• 如上例中x1、x2为基变量，则甲、乙产品单位利润变化，将影 响除甲、乙外其他变量的检验数。
.
6
（一）非基变量目标函数系数的改变
• 上例中，x1、x2为基变量，x3为非基变量，它的最优解为 x3=0，既不安排生产。为什么不生产丙产品呢？因为x3所对 应的检验数Cj-Zj不是绝对值最大者，无法调入成为基变量。
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• 所以，丙产品单位利润的变动范围是c3<4；
• 讨论： • 假设此时c3增加到6元，产量应为多少？
.
9
C3已超出变动范围
• 代入单纯形表 最后一段 继续计算。
段
Cj ↓
→ 基
0 b
23 x1 x2
6 x3
0 0 Qi x4 x5
2
x1
1
1
0 （-1） 4 -1
→
1
3
x2
2
0
1
2 -1 1
Cj-Zj → -8 0 0