难题突破专题一 规律归纳探索问题

难题突破专题一规律归纳探索问题

特定关系的数、式、图形或与图形有关的操作、变化过程，通过观察、分析、推理，探究其中所蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．有利于促进学生对数学知识和数学方法的巩固和掌握，也有利于学生思维能力的提高

和自

主探索、创新精神的培养．规律探究题一般分为数字规律题、数式规律题、图形规律题等．

类型1 数字规律

1 2017·淮安将从1开始的连续自然数按以下规律排列：

图Z1－1

则2017在第________行．

例题分层分析

(1)观察发现，前5行中最大的数分别为________，________，________，________，________；

(2)可知第n行中最大的数是_______，n＝44时，最大数为_______；n＝45时，_____．因此2017在第_______行

解题方法点析

解决数字规律问题的突破口在于寻找隐含在图形或式子中的规律，数的规律主要有倍数关系、等差关系、等比关系等．

类型2 数式规律

2 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图Z1－2，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了(a＋b)n(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应(a＋b)3展开式中的系数等．

(1)根据上面的规律，写出(a＋b)5的展开式；

(2)利用上面的规律计算：25－5×24＋10×23－10×22＋5×2－1.

图Z1－2

例题分层分析

(1)你能写出(a＋b)1，(a＋b)2，(a＋b)3，(a＋b)4的展开式吗？

(2)25－5×24＋10×23－10×22＋5×2－1和(a＋b)1，(a＋b)2，(a＋b)3，(a＋b)4，(a＋b)5中哪个的展开式比较类

似？此时a等于什么？b等于什么？

解题方法点析

数式规律要关注中学阶段所学的一些重要公式，此类问题主要考查学生的观察、分析、逻辑推理能力，读懂题意并根据所给的式子寻找规律是快速解题的关键．

类型3 图形规律

3 [2017·衢州] 如图Z1－3，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在x轴上，B在第二象限，△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得△A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是__________，翻滚2017次后AB 中点M经过的路径长为__________．

图Z1－3

例题分层分析

(1)首先求出B点坐标________，

(2)根据图形变换规律，每三次翻滚一周，翻滚前后对应点横坐标加________，纵坐标________，故B点变换后对应点坐标为________；

(3)追踪M点的变化在每个周期中，点M分别沿着三个圆心角为120°的扇形运动，如图Z1－4，三个扇形半径分别为3、1、1，又2017÷3＝672……1，故其运动路径长为________．

图Z1－4

4[ 2017·酒泉] 下列图形都是由完全相同的小梯形按一定规律组成的．如果第1个图形的周长为5，那么第2个图形的周长为________，第2017个图形的周长为________．

图Z1－5

例题分层分析

(1)根据图形变化规律可知：图形个数是奇数个梯形时，构成的图形是________形；当图形的个数是偶数个时，正好构成____________；

(2)第2个图形为平行四边形，它水平边长是________，斜边长是________，所以周长是8.

(3)第2017个图形构成的图形是________，这个梯形的上底是________，下底是________，腰长是________，故周长是________．

专题训练

1．[2017·自贡] 填在下面各正方形中四个数之间都有相同的规律，根据这种规律m的值为( )

图Z1－6

A．180 B．182

C．184 D．186

2．[2017·重庆A]下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为( )

图Z1－7

A．73 B．81

C．91 D．109

3．[2017·温州] 我们把1，1，2，3，5，8，13，21…这组数称为斐波那契数列．为了进一步研究，依次以这列数为半径做90°圆弧P1P2，P2P3，P3P4，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P1P2，P2P3，P3P4…得到螺旋折线(如图Z1－8)，已知点P1(0，1)，P2(－1，0)，P3(0，－1)，则该折线上点P9的坐标为( )

图Z1－8

A．(－6，24) B．(－6，25)

C ．(－5，24)

D ．(－5，25)

4．[2017·宁波] 用同样大小的黑色棋子按如图Z 1－9所示的规律摆放：

图Z 1－9

则第⑦个图案有________个黑色棋子．

5．[2017·郴州] 已知a 1＝－32，a 2＝55，a 3＝－710，a 4＝917，a 5＝－11

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，…，则a 8＝________．

6．[2017·潍坊] 如图Z 1－10，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；……按照此规律，第n 个图中正方形和等边三角形的个数之和为________个．

图Z 1－10

7．[2017·菏泽] 如图Z 1－11，AB ⊥y 轴，将△ABO 绕点A 逆时针旋转到△AB 1O 1的位置，使点B 的对应点B 1落在直线y ＝－

33x 上，再将△AB 1O 1绕点B 1逆时针旋转到△A 1B 1O 2的位置，使点O 1的对应点O 2落在直线y ＝－3

3

x 上，依次进行下去，若点B 的坐标是(0，1)，则O 12的纵坐标为________．

图Z 1－11

8．[2017·衡阳] 正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2按如图Z 1－12的方式放置，点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线y ＝x ＋1和x 轴上，则点B 2018的纵坐标是________．

图Z 1－12

9．[2017·天门] 如图Z 1－13，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标为A (－1，1)，B (0，－2)，C (1，0)．点

P (0，2)绕点A 旋转180°得到点P 1，点P 1绕点B 旋转180°得到点P 2，点P 2绕点C 旋转180°得到点P 3，点P 3绕点A

旋转180°得到点P 4，……则点P 2017的坐标为________．