1.1 空间向量及其运算讲义(选择性必修一)
1.1 空间向量及其运算讲义（选择性必修一）
一、知识框架
二、考点解析 考点一 概念的辨析
【例1】下列命题中，假命题是（ ）
A ．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C ．只有零向量的模等于0
D ．共线的单位向量都相等
【跟踪练习】 1．在下列命题中：
①若向量,a b 共线，则,a b 所在的直线平行；
②若向量,a b 所在的直线是异面直线，则,a b 一定不共面； ③若三个向量,a b c ，两两共面，则,a b c ，三个向量一定也共面；
④已知三个向量,a b c ，，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p xa yb zc =++. 其中正确命题的个数为（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2.在下列命题中：
①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；
②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面； ③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；
④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p xa yb zc =++. 其中正确命题的个数为（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
考法二 空间向量的线性运算
【例2】在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，则EF 等于（ ）
A ．1223
EF AC AB AD →
→→→
=+-
B ．112223EF A
C AB A
D →
→→→
=--+
C ．112223
EF AC AB AD →→→→
=-+
D ．112223
EF AC AB AD →→→→
=-+-
【跟踪训练】
1．如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，且2OM MA =，BN NC =，则MN =（ ）
A ．
221332a b c ++ B ．111
222
a b c +- C ．211322a b c -
++ D ．121
232
a b c -+ 2．在平行六面体1111ABCD A BC D -中，M 为11AC 与11B D 的交点，若,AB a AD b ==,1AA c =，则与BM 相等的向量是（ ）
A ．
11
22
a b c ++ B ．11
22
a b c -
-+ C ．
11
22
a b c -+ D ．11
22-
++a b c 3．如图，在空间四边形ABCD 中，设E ，F 分别是BC ，CD 的中点，则AD +1
2
（BC -BD ）等于（ ）
A ．AD
B ．FA
C ．AF
D ．EF
考点三 空间向量的共面问题
【例3】在下列条件中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是（ ） A ．OM OA OB OC =-- B ．111
532
OM OA OB OC =
++ C ．0MA MB MC ++
=
D ．0OM OA OB OC +++
=
【跟踪训练】
1．O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且31
48
OP OA OB tOC =++，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝______．
2．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，有11
33
OM xOA OB OC =++，则x ＝________. 3．空间A B C D 、、、四点共面，但任意三点不共线，若P 为该平面外一点且51
33
PA PB xPC PD =--，
则实数x 的值为（ ） A ．
1
3
B ．13
-
C ．
23
D ．23
-
4．已知平行四边形ABCD 从平面AC 外一点O 引向量．,OE k OA OF k OB →
→
→
→
==，
,OG k OC OH k OD →→→→
==．求证：四点E ，F ，G ，H 共面
考点四 空间向量的数量积
【例4】已知平行六面体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，AB ＝4，AD ＝3，AA ′＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°.
M A B C ,1OM xOA yOB zOC x y z =++++=与，，一定共面的充要条件是，
（1）求AC′的长；（如图所示）（2）求AC '与AC的夹角的余弦值．
【跟踪训练】
1．平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量
1
AB,AD,AA两两的夹角均为60°,且|AB|=1,|AD|=2,|
1
AA|=3,
则|
1
AC|等于()
A．5B．6C．4D．8
2．四棱柱
1111
ABCD A BC D
-的底面ABCD为矩形，2
AB=，4
=
AD，16
AA=，
11
60
A A
B A AD
∠=∠=，
则
1
AC的长为（）
A．B．46C．D．32
3．若空间四边形OABC的四个面均为等边三角形，则cos,
OA BC的值为（）
求两个向量的夹角有两种方法：
方法一：
(1)结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围角的大小
(2)先求a·b，再利用公式cos〈a·b〉＝
a·b
|a||b|
求cos〈a，b〉，最后确定〈a，b〉
方法二：
①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)
②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题
③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小
A ．
12
B C ．12
D ．0
4．.1BB ⊥平面ABC ，且△ABC 是∠B ＝90°的等腰直角三角形，▱A 11B A B 、▱B 11B C C 的对角线都分别相互垂直且相等，若AB ＝a ，求异面直线1BA 与AC 所成的角.
第1章 章末综合提升-【新教材】人教B版(2019)高中数学选择性必修第一册讲义
[巩固层·知识整合] (教师用书独具) [提升层·题型探究] 空间向量及其运算 【例1】 ，M 是OA 的中点，G 为△ABC 的重心，用基向量OA →，OB →，OC →表示向量MG → ． (2)已知三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)． ①求以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积． ②若|a |＝3，且a 分别与AB →，AC → 垂直，求向量a 的坐标． [解] (1)如图，连接AG 并延长交BC 于点D ． ∴D 为BC 的中点， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)． ∵G 为△ABC 的重心，∴AG →＝23AD →＝13(AB →＋AC → )，
又∵AB →＝OB →－OA →，AC →＝OC →－OA →， ∴AG →＝13(AB →＋AC →)＝13(－2OA →＋OB →＋OC → )． ∵M 为OA 的中点，∴AM → ＝－12OA →． ∴MG →＝AG →－AM →＝13(－2OA →＋OB →＋OC → )＋12OA →＝－16OA →＋13OB →＋13OC →． (2)①由题意，可得AB →＝(－2，－1,3)，AC → ＝(1，－3,2)， 所以cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝－2＋3＋614×14＝714＝12，所以sin 〈AB →，AC → 〉 ＝32，所以以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积为S ＝2×12|AB →|·|AC →|·sin 〈AB → ，AC → 〉＝14×32＝73． ②设a ＝(x ，y ，z )，由题意，得???? ? x 2＋y 2＋z 2＝3，－2x －y ＋3z ＝0 x －3y ＋2z ＝0.， 解得???? ? x ＝1，y ＝1， z ＝1， 或???? ? x ＝－1，y ＝－1，z ＝－1. 所以向量a 的坐标为(1,1,1)或(－1，－1，－1)． 1．向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义． 2．熟记空间向量的坐标运算公式 设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)， (1)加减运算：a ±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2，z 1±z 2)． (2)数量积运算：a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2．
空间向量及其运算讲义
空间向量及其运算讲义 一、知识梳理 1．空间向量的有关概念 2.(1)共线向量定理 空间两个向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式：p ＝x a ＋y b ，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量． (3)空间向量基本定理 如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π 2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b . ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ； ③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 4．空间向量的坐标表示及其应用
设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3). 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a 1 b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 共线 a ＝λb (b ≠0，λ∈R ) a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 垂直 a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0) a 1 b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0 模 |a | a 21＋a 22＋a 2 3 夹角 〈a ，b 〉(a ≠0，b ≠0) cos 〈a ，b 〉＝ a 1 b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 a 21＋a 22＋a 23· b 21＋b 22＋b 23 注意：1．向量三点共线定理 在平面中A ，B ，C 三点共线的充要条件是：OA →＝xOB →＋yOC → (其中x ＋y ＝1)，O 为平面内任意一点． 2．向量四点共面定理 在空间中P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是：OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC → (其中x ＋y ＋z ＝1)，O 为空间中任意一点． 二、基础检测 题组一：思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两个非零向量a ，b 共面．( ) (2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( ) (3)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，则a ＝c .( ) (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( ) (5)若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA → ＝0.( ) (6)若a·b <0，则〈a ，b 〉是钝角．( ) 题组二：教材改编 2．如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→ ＝c ，则下列向量中与BM → 相等的向量是( ) A ．－12a ＋1 2b ＋c B.12a ＋1 2b ＋c C ．－12a －1 2 b ＋c D.12a －1 2 b ＋c
1.1空间向量及运算新课讲义-2021-2022高一下学期数学人教B版(2019)选择性必修一
1 2(AB x =一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。11(x ,y ,z a =22(x ,y b =，则 12112(x ,y )a b x z +=++， 12112(x ,y )a b x z -=--， 111(,,)a x y z R λλλλ=， 12a b x x y ⋅=+12//x a b x ⇔=12a b x x ⊥⇔+211||x a y =+222|x b y =++夹角公式：2 1cos ||||x a b a b a b ⋅⋅==⋅+（3）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222121|()()()AB x y y z z =+-+-空间向量的共面定理 （1）ABCD ,(OD xOA yOB zOC x y =+++（2）a b c ， ，向量共面：a xb yc =+
2 典例解析 考点一：概念的判断 例1．若空间向量a 与b 不相等，则与a ，b 一定( ) A ．有不同的方向 B ．有不相等的模 C ．不可能是平行向量 D ．不可能都是零向量 变式1：下列命题中，不正确的命题的个数是（ ） ①空间向量任意五边形ABCDE ，则0;AB BC CD DE EA ++++=②若//,a b a 则所在的直线与b 所在的直线平行；③空间任意两非零向量a ，b 共面；④空间向量a 平行于平面α，则a 所在的直线平行于平面α. A.1 B.2 C.3 D.4 变式2 给出下列命题： ①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量,a b 满足||||a b =，则a b =；④若空间向量 ,,m n p 满足,m n n p ==，则m p =；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 考点二：空间向量的线性运算 例2．如图在长方体1111D C B A ABCD -中，O 为AC 中点。 (1)化简：11122 AO AB AD -- (2)设E 是棱1DD 上的点，且123DE DD = ，若1EO=xAB yAD zAA ++试求,,x y z 的值。
第1章 1.1.1 空间向量及其运算-【新教材】人教B版(2019)高中数学选择性必修一讲义
1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其运算 学 习目标核心素养 1．了解空间向量、向量的模、零向量、相反向 量、相等向量、共面向量等概念．(重点) 2．会用平行四边形法则、三角形法则作出向量 的和与差，掌握数乘向量运算的意义及运算 律．(重点、易混点) 3．掌握两个向量数量积的概念、性质及运算 律．(重点、易错点) 1．通过空间向量有关概念的学习，培养数学抽 象素养． 2．借助于空间向量的线性运算，提升数学运算 素养． 3．借助于空间向量的数量积，提升数学运算及 逻辑推理的数学素养． 国庆节期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那实际发生的位移是什么？又如何表示呢？ 图1图2 1．空间向量 (1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量． (2)模(或长度)：向量的大小． (3)表示方法：
①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A 终点为B 的向量，记为AB →，模为|AB →|． ②字母表示法：可以用字母a ，b ，c ，…表示，模为|a |，|b |，|c |，…． 2．几类特殊的向量 (1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0． (2)单位向量：模等于1的向量称为单位向量． (3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量． (4)相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量． (5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行． (6)共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面． 思考：空间中任意两个向量共面吗？空间中任意三个向量呢？ [提示] 空间中任意两个向量都是共面的，但空间中任意三个向量不一定共面． 3．空间向量的线性运算 类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算． 图1 图2 (1)如图1，OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ，CA →＝OA →－OC → ＝a －b ． (2)如图2，DA →＋DC →＋DD 1→＝DB 1→ ． 即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量． (3)给定一个实数λ与任意一个空间向量a ，则实数λ与空间向量a 相乘的运算称为数乘向量，记作λa ．其中： ①当λ≠0且a ≠0时，λa 的模为|λ||a |，而且λa 的方向： (ⅰ)当λ＞0时，与a 的方向相同；
1.1 空间向量及其运算讲义(选择性必修一)
1.1 空间向量及其运算讲义（选择性必修一） 一、知识框架
二、考点解析 考点一 概念的辨析 【例1】下列命题中，假命题是（ ） A ．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C ．只有零向量的模等于0 D ．共线的单位向量都相等 【跟踪练习】 1．在下列命题中： ①若向量,a b 共线，则,a b 所在的直线平行； ②若向量,a b 所在的直线是异面直线，则,a b 一定不共面； ③若三个向量,a b c ，两两共面，则,a b c ，三个向量一定也共面； ④已知三个向量,a b c ，，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p xa yb zc =++. 其中正确命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2.在下列命题中： ①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行； ②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面； ③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面； ④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p xa yb zc =++. 其中正确命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 考法二 空间向量的线性运算 【例2】在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，则EF 等于（ ） A ．1223 EF AC AB AD → →→→ =+- B ．112223EF A C AB A D → →→→ =--+ C ．112223 EF AC AB AD →→→→ =-+ D ．112223 EF AC AB AD →→→→ =-+-
人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册同步讲义 1.1空间向量及其运算(含解析)
1.1 空间向量及其运算 1、空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量 (或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 2、空间向量的有关定理 〔1〕共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . 在平面中A ，B ，C 三点共线的充要条件是：OA →＝xOB →＋yOC →(其中x ＋y ＝1)，O 为平面内任意一点 〔2〕共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b . 在空间中P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是：OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)，O 为空间任意一点 3、空间向量的数量积及运算律 〔1〕数量积及相关概念 ①两向量的夹角：两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，那么∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角， 记作〈a ，b 〉，其范围是[0，π]，假设〈a ，b 〉＝π2 ，那么称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b . ②非零向量a ，b 的数量积a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉. 〔2〕空间向量数量积的运算律： ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 知识梳理
2020-2021数学人教版选择性第一册课时1.1.1空间向量及其线性运算
2020-2021学年新教材数学人教A 版选择性必修第一册课时分层作业：1.1.1空间向量及其线性运 算 课时分层作业（一) （建议用时：40分钟） 一、选择题 1．空间任意四个点A ，B ，C ，D ，则错误!＋错误!－错误!等于（ ) A ．错误! B ．错误! C ．错误! D ．错误! D ［错误!＋错误!－错误!＝错误!＋错误!＝错误!。] 2．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点,且错误!＋错误!＝错误!＋错误!，则四边形ABCD 是（ ) A ．平行四边形 B ．空间四边形 C ．等腰梯形 D ．矩形 A [∵错误!＋错误!＝错误!＋错误!，∴错误!＝错误!. ∴错误!∥错误!且｜错误!｜＝｜错误!｜。 ∴四边形ABCD 为平行四边形．] 3．已知A ，B ，C 三点不共线,对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( ) A ．OM →＝错误!＋错误!＋错误! B ．错误!＝2错误!－错误!－错误! C ．错误!＝错误!＋错误!错误!＋错误!错误! D ．错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!
D [由错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!, 可得3错误!＝错误!＋错误!＋错误!⇒错误!－错误!＋错误!－错误!＋错误!－OC ，→＝0， 即错误!＝－错误!－错误!。 所以错误!与错误!，错误!在一个平面上,即点M 与点A ，B ,C 一定共面．] 4．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足错误!＝m 错误!＋n 错误!，其中m ＋n ＝1，则( ） A ．P ∈AB B ．P ∉AB C ．点P 可能在直线AB 上 D ．以上都不对 A [因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n , 所以错误!＝（1－n )错误!＋n 错误!， 即错误!－错误!＝n （错误!－错误!）， 即错误!＝n 错误!，所以错误!与错误!共线． 又错误!，错误!有公共起点A ， 所以P ，A ，B 三点在同一直线上, 即P ∈AB .］ 5．已知在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点E 是A 1C 1的中点， 点F 是AE 的三等分点，且AF ＝错误!EF ，则错误!＝（ ) A ．AA 1→＋错误!错误!＋错误!错误! B ．错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!
1.1.1空间向量及其线性运算教案--2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
1.1.1 空间向量及其线性运算 一、教学目标 1. 了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法； 2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； 3. 了解共面向量的意义，掌握其表示方法，理解共线向量定理和共面向量定理及其推论. 二、教学重难点 1. 教学重点 空间向量的线性运算和运算律. 2. 教学难点 共线向量定理及共面向量定理. 三、教学过程 （一）新课导入 我们已经学过了平面向量，那么能否把平面向量推广到空间向量呢？我们先来看空间向量的概念和表示. （二）探索新知 探究一空间向量的概念及表示 空间向量的定义：与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.空间向量用字母a，b，c，…表示. 与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模.如图1.1-1，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作AB，其模记为||a或|| AB. 图1.1-2所示的正方体中，过同一个顶点O的三条棱上的三条有向线段表示的三个向量为OA，OB，OC，它们是不共面的向量，即它们是不同在任何一个平面内的三个向量. 与平面向量一样，我们规定，长度为0的向量叫做零向量，记为0.当有向线段的起点A 与终点B重合时，AB 0.模为1的向量叫做单位向量.与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为-a. 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有// 0a. 方向相同且模相等的向量叫做相等向量.因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.
高中同步新教材选择性必修第一册(人教A版)数学 第一章 空间向量与立体几何 空间向量及其线性运算
1第一章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其线性运算 基础过关练 题组一 空间向量的基本概念 1.(2022广东东莞五校期中联考)下列说法错误的是 ( ) A.若a =0,则|a |=0 B.零向量与任一向量都平行 C.零向量是没有方向的 D.若两个相等向量的起点相同,则其终点必相同 2.下列说法正确的是 ( ) A.向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 是相等向量 B.与实数类似,对于两个向量a ,b ,有a =b ,a >b ,a
24.(多选题)(2022福建宁德期中)如图,在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,下列向量相等的是( ) A.DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与BO ⃗⃗⃗⃗⃗ B.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 题组二 空间向量的加法与减法运算 5.(多选题)(2022江苏省灌云高级中学月考)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,下列各式的运算结果为AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的是 ( ) A.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +C 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 6.(2022湖北武汉华中科技大学附属中学月考)已知四边形ABCD ,O 为空间任意一点,且AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则四边形ABCD 是( ) A.空间四边形 B.平行四边形 C.等腰梯形 D.矩形 7.(2022上海黄浦二模)在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,若用向量a 、b 、c 表示向量AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = .
2021-2022优化方案数学 选择性必修 第一册
1．1 空间向量及其运算 1．1.1 空间向量及其线性运算 学习指导 核心素养 1．经历向量及其运算由平面向 空间推广的过程，了解空间向量的概念． 2．掌握空间向量的线性运算． 1．数学抽象：空间向量的基本概念． 2．直观想象、数学运算：空间向量的线性运算． 3．逻辑推理：共线向量及共面向量的判定． 1．空间向量的有关概念 (1)定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度：空间向量的大小叫做空间向量的长度或模． (3)表示法：⎩⎪⎨⎪⎧①几何表示法：空间向量用有向线段表示． ②字母表示法：用字母表示，若向量a 的起 点是A ，终点是B ，则向量a 也可以记作 AB →，其模记为|a |或|AB →|． (4)几个特殊向量 特殊向量 定义 表示法 零向量 长度为0的向量 0 单位向量 模为1的向量 |a |＝1或|AB → |＝1 相反向量 与a 长度相等而方向相反的向量称为a 的相反向量 －a 相等向量 方向相同且模相等的向量 a ＝b 或AB → ＝CD → 共线向量 表示若干空间向量的有向线段所 a ∥ b 或AB → ∥CD →
或平行向量 在的直线互相平行或重合 2．空间向量的线性运算 名称 代数形式 几何形式 运算律 加法 OB → ＝OA → ＋AB → ＝a ＋b 交换律：a ＋b ＝b ＋a ； 结合律：a ＋(b ＋c )＝(a ＋b )＋c 减法 CA → ＝OA → －OC → ＝a －b 数乘 当λ>0时，λa ＝λOA → ＝ PQ → ； 当λ<0时，λa ＝λOA → ＝ MN → ； 当λ＝0时，λa ＝0 结合律：λ(μa )＝(λμ)a ； 分配律：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ，λ(a ＋b )＝λa ＋λb 3．空间向量的共线与共面 (1)共线向量与共面向量 平行(共线)向量 共面向量 定 义 位置 关系 表示若干空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：互相平行或重合 平行于同一个平面的向量 特征 方向相同或相反 特例 零向量与任意向量共线 充要 条件 对任意两个空间向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb 向量p 与两个不共线向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b (2)直线l 的方向向量 如图，O 是直线l 上一点，在直线l 上取非零向量a ，则对于直线l 上任意一点P ，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得OP → ＝λa .
第一章空间向量及其线性运算+人教A版(2019)选择性必修一(教师版)
第一章 1.1.1 空间向量及其线性运算 人教A 版（2019）选择性必修一 1.给出下列命题： ①若将空间中所有的表示单位向量的有向线段的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；③若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ；④空间中任意两个单位向量必相等；⑤零向量没有方向． 其中假命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】D 【详解】①假命题．若将空间中所有表示单位向量的有向线段的起点移到同一个点，则它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆．②假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a 与b 的方向不一定相同．③真命题．向量的相等具有传递性．④假命题．空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，所以不一定相等．⑤假命题．零向量的方向是任意的． 2.(多选)下列说法中正确的是( ) A ．单位向量都相等 B ．任一向量与它的相反向量不相等 C ．四边形ABC D 是平行四边形的充要条件是AB →＝DC → D ．“模为0”是“一个向量的方向是任意的”的充要条件 【答案】CD 【详解】A 不正确，单位向量的模均相等且为1，但方向并不一定相同．B 不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的．C 正确．D 正确． 3．(多选)[福建泉州2021高二期中]已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，则与向量AB → 相等的向量有( ) A.CD → B.A ′B ′→ C.D ′C ′→ D.BC → 【答案】BC
高中-数学-人教A版(2019)-选择性必修(第一册)-空间向量及其运算-衔接讲与练
空间向量及其运算 ★★★★学习目标★★★★ 1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等的概念. 2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加法的交换律和结合律． 3.掌握空间向量数乘运算的定义及数乘运算的运算律. 4.了解平行(共线)向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法. 5.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题． 6.掌握空间向量夹角概念及表示方法. 7.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律. 8.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直． ★★★★问题导学★★★★ 知识点一 空间向量的概念 思考 类比平面向量的概念，给出空间向量的概念． 答案 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量． 梳理 (1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模． 空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，a 的起点是A ，终点是B ，则a 也可记作 AB ，其模记为|a |或|AB |. (2)几类特殊的空间向量 思考1 下面给出了两个空间向量a 、b ，作出b ＋a ，b －a . 答案 如图，空间中的两个向量a ，b 相加时，我们可以先把向量a ，b 平移到同一个平面α内，以任意点O 为起点作OA ＝a ，OB ＝b ，则OC ＝OA ＋OB → ＝a ＋b ，AB ＝OB －OA ＝b －a .
思考2由上述的运算过程总结一下，如何求空间两个向量 的和与差？下面两个图形中的运算分别运用了什么运算法则？ 答案先将两个向量平移到同一个平面，然后运用平面向量的运算法则(三角形法则、平行四边形法则)运算即可；图1是三角形法则，图2是平行四边形法则． 梳理(1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算． OB＝OA＋AB＝a＋b CA＝OA－OC＝a－b OB＝OA＋AB＝OA＋OC＝a＋b (2)空间向量加法交换律 a＋b＝b＋a 空间向量加法结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 知识点三空间向量的数乘运算 思考实数λ和空间向量a的乘积λa的意义是什么？向量的数乘运算满足哪些运算律？ 答案λ＞0时，λa和a方向相同；λ＜0时，λa和a方向相反；λa的长度是a的长度的|λ|倍． 空间向量的数乘运算满足分配律及结合律： ①分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb， ②结合律：λ(μa)＝(λμ)a. 梳理(1)实数与向量的积 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|. ②当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0. (2)空间向量数乘运算满足以下运算律
空间向量及其运算(单元教学设计)-高中数学新教材选择性必修第一册
（1）空间向量及其相关概念； （2）共线向量定理和共面向量定理； （3）空间向量的线性运算； （4）空间向量的数量积运算. 1.2内容解析 内容本质：本节课是本单元的起始课，在建立单元学习框架的基础上，通过本节的知识内容空间向量的定义，几种常见的空间向量，零向量、单位向量、共线向量、相等向量、相反向量、方向向量，空间向量的线性运算，向量加法、向量减法、向量数乘，空间向量的夹角以及数量积，空间向量的投影向量等的学习，我们可利用空间向量解决有关立体几何中的夹角，距离，平行，垂直等问题.空间向量是解决立体几何问题的重要手段之一，了解并掌握空间向量在立体几何中的使用有利于解决立体几何中的关键问题.对于本节课，它既是空间向量的基础，以及在以后学习中要用空间向量求异面直线的夹角，线面角，面面角，还是两点之间的距离，证明平行，垂直都离不开空间向量的线性运算和数量积，掌握本节知识点对空间向量以后的学习是至关重要的.同时本节课的内容本质是通过对向量的概念从平面向量的认识向空间向量的过渡，有平面内的向量都可以看作空间中的向量，因此空间向量的概念、表示和平面向量具有一致性，但在维数上发生了变化，空间向量是三维的，平面向量是二维的.由于任意两个空间向量都可以平移到一个平面内，因此两个空间向量的运算可以看作两个平面向量的运算，它们的加法、减法、数乘、数量积运算也具有一致性，当然也要注意维数的变化.
蕴含的思想方法： （1）向量作为代数对象，通过类比数及其运算，抽象与表示运算对象、构建运算体系；向量作为几何对象，以平面几何、立体几何中关于几何对象的抽象与表示、图像性质的内涵与发现等为参照发现和提出问题.向量运算法则、运算律都具有几何意义，而且这些定义的给出都是以几何的相关定理例如平行四边形定理、相似三角形定理、勾股定理等等作为逻辑基础的. （2）在教学时，类比平面向量得出空间向量的相关概念，体现了直观想象的核心素养；通过空间向量的性质与运算，强化数学运算的核心素养，通过几何体中的线性运算，巩固学习空间向量的含义与运算，有利于培养学生空间想象能力即数学抽象、直观想象和数学运算等数学核心素养.过空间向量的数量积运算，强化数学运算的核心素养，通过几何体中的数量积运算，有利于培养学生空间想象能力即数学抽象、直观想象和数学运算等数学核心素养. 知识的上下位关系： 在平面向量知识的基础上，结合具体实例，继续研究空间向量；通过空间向量的相关知识的学习，加深对平面向量知识的认识和理解；通过利用空间向量知识来解决实际问题，提高用向量方法解决问题的能力。类比平面向量的知识，归纳得出空间向量的基本概念及其运算，为后续的学习奠定了基础. 育人价值： 通过具体实例,学生经历空间向量的相关概念的得出，在探究过程中，体悟平面向量与空间向量的区别于联系，用空间向量的线性运算以及数量积运算来解决空间立体几何的简单的平行、垂直、距离和夹角等问题，感受由特殊到一般、具体到抽象的思想，培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养.帮助学生在学习平面向量的基础上，利用类比的方法理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用，体会平面向量和空间向量的共性和差异；运用向量的方法研究空间基本图形的位置关系和度量关系，体会向量方法和综合几何方法的共性与差异；运用向量方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟向量是研究几何问题的有效工具. 教学重点：通过类比平面向量的概念来归纳并理解空间向量的含义，发现空间向量也与平面向量满足线性运算(加法、减法和数乘），并能熟练运用线性运算法则进行空间向量的运算，熟练掌握空间向量的数量积. 二、目标及其解析 2.1单元目标 （1）经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量概念.
1.1.1(第1课时)空间向量及其线性运算 学案(含答案)2020年秋人教A版(新教材)选择性必修第
1.1.1（第1课时）空间向量及其线性运算学案（含答案）2020年秋人教A版（新教材） 选择性必修第一册 1 11. 11.1空间向量及其线性运算空间向量及其线性运算 第第11课时课时空间向量及其线性运算空间向量及其线性运算学习目标 1.理解空间向量的有关概念. 2.类比平面向量，会用平行四边形法则.三角形法则作出向量的和与差. 3.理解向量运算的交换律.结合律和分配律知识点一空间向量的概念1定义在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量2长度或模向量的大小3表示方法几何表示法空间向量用有向线段表示；字母表示法用字母a，b，c，表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作AB，其模记为|a|或|AB|.4几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为a共线向量平行向量如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量规定对于任意向量a，都有0a相等向量方向相同且模相等的
向量称为相等向量思考空间中的两个向量是不是共面向量答案是，空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量知识点二 空间向量的线性运算空间向量的线加法abOAABOB减法abOAOCCA性运算数乘当0时，aOAPQ；当0时，aOAMN；当0时，a0运算律交换律abba；结合律abcabc，aa；分配律aaa，abab.思考1怎样作图表示三个向量的和，作出的和向量是否与相加的顺序有关答案可以利用三角形法则和平行四边形法则作出三个向量的和加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变思考2由数乘a0，可否得出0答案不能a00或a0.1两个有公共终点的向量，一定是共线向量2在空间中，任意一个向量都可以进行平移3空间两非零向量相加时，一定可以用平行四边形法则运算4向量AB与AC是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上 一.向量概念的应用例11下列关于空间向量的说法中正确的是A方向相反的两个向量是相反向量B空间中任意两个单位向量必相等C若向量AB，CD满足|AB||CD|，则ABCDD相等向量其方向必相同答案D解析A中，方向相反，长度相等的两个向量是相反向量；B中，单位向量模都相等而方向不确定；C中，向量作为矢量不能比较大小，故选 D.2多选下列说法中正确的是A若|a||b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反B若向量a是向量b的相反向量，则|a||b|C
专题01 空间向量及其运算(知识精讲)高二数学新教材知识讲学(人教A版选择性必修第一册)
专题一 空间向量及其运算 一 知识结构图 二.学法指导 1．解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点 (1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向． (2)注意点：注意一些特殊向量的特性． ①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性． ②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1. ③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同.若两个向量模相等,方向相反,则它们为相反向量. 2．空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接． (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果． 3．利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质． 4.证明空间三点共线的三种思路 对于空间三点P ，A ，B 可通过证明下列结论来证明三点共线． (1)存在实数λ，使PA →＝λPB → 成立．
(2)对空间任一点O ，有OP →＝OA →＋tAB → (t ∈R )． (3)对空间任一点O ，有OP →＝xOA →＋yOB → (x ＋y ＝1)． 5.解决向量共面的策略 （1）若已知点P 在平面ABC 内，则有AP →＝xAB →＋yAC →或OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC → x ＋y ＋z ＝1， 然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数. （2）证明三个向量共面或四点共面，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示. 6.在几何体中求空间向量的数量积的步骤 （1）首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. （2）利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积. （3）根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模. （4）代入公式a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉求解. 7.用向量法证明垂直关系的步骤 (1)把几何问题转化为向量问题； (2)用已知向量表示所证向量； (3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0； (4)将向量问题回归到几何问题． 8．利用向量数量积求夹角问题的思路 (1)求两个向量的夹角有两种方法：①结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但 要注意向量夹角的范围；②先求a ·b ，再利用公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b | 求出cos 〈a ，b 〉的值， 最后确定〈a ，b 〉的值． (2)求两条异面直线所成的角，步骤如下： ①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)； ②将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题； ③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小； ④异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量数量积求向量夹角的余弦值时应将余弦值加上绝对值，从而求出异面直线所成的角的大小． 9．求两点间的距离或线段长的方法 (1)将相应线段用向量表示，通过向量运算来求对应向量的模． (2)因为a ·a ＝|a |2 ，所以|a |＝a ·a ，这是利用向量解决距离问题的基本公式．另外，该公式还可以推广为|a ±b |＝ a ±b 2 ＝a 2±2a ·b ＋b 2 . (3)可用|a ·e |＝|a ||cos θ|(e 为单位向量，θ为a ，e 的夹角)来求一个向量在另一个向量所在直线上的投影．
新教材人教A版选择性必修第一册 1.1.1 空间向量及其线性运算 学案
第一章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其线性运算 素养目标·定方向 课程标准 学法解读 1．了解空间向量的概念． 2．掌握空间向量的线性运算． 1．了解空间向量的概念．(数学抽象) 2．经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过 程．(逻辑推理) 3．掌握空间向量线性运算的法则和运算律．(数学运算) 4．掌握共线向量定理和共面向量定理，会证明空间三点共线、四点共面．(数学抽象) 必备知识·探新知 知识点1 空间向量的概念 1．定义：在空间，具有__大小__和__方向__的量叫做空间向量． 2．长度或模：向量的__大小__． 3．表示方法： (1)几何表示法：空间向量用__有向线段__表示； (2)字母表示法：用字母a ，b ，c ，…表示；若向量a 的起点是A ，终点是B ，也可记作AB →，其模记为|a |或|AB → |． 4．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示
零向量__长度为0__的向量叫做零向量．记为0 单位向量__模为1__的向量叫做单位向量 相反向量与向量a长度__相等__而方向__相反__的向量，叫做a的相反向量，记为－a 共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量方向__相同__且模__相等__的向量叫做相等向量思考1：单位向量都相等吗？ 提示：不一定．单位向量的模虽然都为1，但是方向各异． 知识点2 空间向量的线性运算 空间向量的线性运算加法a＋b＝OA → ＋AB → ＝OB → 减法a－b＝OA → －OC → ＝CA → 数乘 当λ＞0时，λa＝λOA → ＝PQ → ； 当λ＜0时，λa＝λOA → ＝MN → ； 当λ＝0时，λa＝0 运算律交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb 思考2：怎样作图表示三个向量的和，作出的和向量是否与相加的顺序有关？ 提示：可以利用三角形法则和平行四边形法则作出三个向量的和．加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变． 思考3：由数乘λa＝0，可否得出λ＝0? 提示：不能．λa＝0⇔λ＝0或a＝0． 知识点3 共线向量 1．空间两个向量共线的充要条件 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得__a＝λb__．2．直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把__与向量a平行的非零向量__称为直线l的方向向量．思考4：对于空间向量a，b，c，若a∥b且b∥c，是否可以得到a∥c?
高中数学人教A版2019选修第一册教案空间向量及其运算
1.1 空间向量及其运算 本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第一章《空间向量与立体几何》，本节课主要学习空间向量及其运算。 平面向量是重要的数学概念，它是链接代数与几何的桥梁。将平面向量拓展到空间，进一步提升了向量的应用。本节是在学习了简单的立体几何与平面向量及其运算的基础上进行教学的。通过本节课的学习，既可以对向量的知识进一步巩固和深化，又可以为后面解决立体几何问题打下基础，所以学好这节内容是尤为重要的。 2.教学难点：掌握空间向量的运算及其应用 多媒体
概念和表示开始。 二、探究新知 知识点一 空间向量的概念 思考1. 类比平面向量的概念，给出空间向量的概念. 答案 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量. (1)在空间，把具有_____和_____的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的_____或___. 空间向量用有向线段表示，有向线段的_____表示向量的模，a 的起点是A ，终点是B ，则a 也可记作AB ―→ ，其模记为__________. 方向；大小；长度；模；长度；|a |或|AB ―→ | (2)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫_______，记为0 单位向量 ______的向量叫单位向量 相反向量 与向量a 长度_____而方向_____的向量，称为a 的相反 向量，记为－a 相等向量 方向_____且模_____的向量称为相等向量，_____且 由回顾知识出 发，提出问题，让学生感受到平面向量与空间向量的联系。即空间向量是平面向量向空间的拓展，处理空间向量问题要转化为平面向量解决。