自适应强跟踪Sage-Husa卡尔曼滤波器载波环设计

自适应强跟踪Sage-Husa卡尔曼滤波器载波环设计
王福军; 丁小燕; 王前; 白英广
【期刊名称】《《电光与控制》》
【年(卷),期】2019(026)010
【总页数】5页(P12-16)
【关键词】卡尔曼滤波器; Sage-Husa自适应滤波; 强跟踪滤波; 载波跟踪环路【作者】王福军; 丁小燕; 王前; 白英广
【作者单位】北京卫星导航中心北京 100094; 河北省科学院地理科学研究所河北省地理信息开发应用工程技术研究中心石家庄 050000
【正文语种】中文
【中图分类】V249.32
0 引言
载波跟踪环路是GNSS接收机设计的核心环节，卡尔曼滤波算法能够很好地对信号进行估计和预测，不仅可以处理平稳的随机过程，也可以处理多维和非平稳的随机过程，并且该算法采用递推算法，易于在数字系统中实现，在GNSS载波跟踪环路中获得广泛应用。

目前，其主要有两种形式：一种是用卡尔曼滤波器代替传统跟踪环路的滤波器，观测量为环路鉴别器输出的相位误差或(和)频率误差，状态方程和观测方程均为线性的[1-3]；另一种是用卡尔曼滤波器代替传统跟踪环路的鉴别器和低通滤波器，其观测量为相关积分结果，观测方程为非线性的[4-5]。

无论
采取哪种形式，其优异性能均是建立在对载波跟踪环路的准确建模和噪声模型参数的准确估计基础上的，否则，卡尔曼滤波器的性能就会下降甚至发散。

自适应卡尔曼滤波算法在递推和滤波过程中除了利用观测值不断地修正预测值外，同时还不断地调整系统模型参数和噪声模型统计参数，使滤波性能(滤波精度、稳定性、实时
性等)达到最优。

因此，需要研究适合应用于GNSS载波跟踪环路的自适应卡尔曼滤波技术。

线性自适应卡尔曼滤波算法具有实时性好、可靠性高、易于在基带处理中实现等优点，本文结合线性模型的强跟踪算法[6-7]和Sage-Husa自适应算法[8]各自的优
缺点，提出了一种线性自适应强跟踪Sage-Husa滤波算法：通过渐消因子在线修正一步预测误差协方差矩阵，提高跟踪环路的鲁棒性；通过改进Sage-Husa自适应算法实现自适应场景噪声变化，提高跟踪环路的跟踪精度。

1 基于卡尔曼滤波器的跟踪环设计
1.1 状态转移方程和观测方程
跟踪环的状态转移方程可表示为
xk=Fxk-1+Γ wk-1
(1)
式中：]T为状态量，分别表示第k步的载波相位、载波频率和载波频率的变化率;，为状态转移矩阵，T表示环路更新时间;是噪声输入矩阵;为过程噪声序列，其协方
差矩阵(系统噪声方差矩阵)为
(2)
qs为载波相位随机过程的功率谱密度，可以根据载波相位动态性进行粗略估计。

观测方程可以表示为
zk=Hxk-1+vk
(3)
式中:为观测矩阵;是观测噪声序列，其协方差矩阵(观测噪声方差矩阵)为和
σ2(eω,k)分别为eφ,k，eω,k的方差。

分别为k时刻鉴相器和鉴频器的输出，鉴相器采用二象限反正切鉴相器,鉴频器采用二象限反正切鉴频器,其中，点积
Pdot(k)=IP(k)IP(k-1)+QP(k)QP(k-1)，叉积Pcross(k)=IP(k-1)QP(k)-IP(k)QP(k-1)。

1.2 卡尔曼滤波模型
跟踪环不能直接给出状态量的测量值，但鉴相器和鉴频器输出正好是卡尔曼滤波器的测量残差，即新息，构成测量残差矩阵其表达式为则xk的估计可按下述过程求解。

1) 时间更新方程为
(4)
Pk,k-1=FPk-1FT+Γ QkΓ T。

(5)
2) 测量更新方程为
Kk=Pk,k-1HT[HPk,k-1+Rk]-1
(6)
Pk=[I-KkH]Pk,k-1
(7)
(8)
式中，为卡尔曼滤波增益。

1.3 数控振荡器(NCO)更新
NCO控制量应该与第k+1步环路输入信号相位匹配，其中,载波频率估计可以由
式(8)求得，但第k+1步的卡尔曼增益和测量残差在第k步是未知的，可以认为,第k步和第k+1步的卡尔曼增益和测量残差近似不变，则第k步输入的NCO控制
量表达式为
(9)
1.4 小结
对于标准卡尔曼滤波，在初始时刻，卡尔曼增益和估计误差依赖于先验估计误差的协方差P0和观测噪声方差Rk的相对权重，即P0/Rk，为了保证环路的鲁棒性通
常会取一个比较大的P0，此时环路等效噪声带宽和卡尔曼增益Kk比较大。

随着
跟踪算法的递推，初始时刻的P0值估计误差将被快速校正并收敛，环路等效噪声带宽和卡尔曼增益随着P0/Rk的减小而下降。

当跟踪环路进入稳态区域后，P0值稳定，环路等效噪声带宽和卡尔曼增益Kk变为常数(极小值)，其值取决于过程噪
声协方差Qk与观测噪声方差Rk的相对权重，即Qk/Rk。

若场景突变，新息将增大，而增益矩阵Kk仍保持极小值，卡尔曼滤波器的精度将下降甚至发散，因此，标准卡尔曼滤波不具备自适应等效噪声带宽的能力[9]。

2 自适应跟踪技术
2.1 算法分析
载波跟踪环路的最终设计目标是在保证稳定跟踪的同时，在尽量多的时间内具有较高的跟踪精度，也就是说，自适应Kalman滤波要解决两个问题：1) 在场景切换
时滤波器要具有稳健的跟踪能力；2) 在场景稳定后滤波器又具有较高的跟踪精度。

针对问题1),通过上面对标准卡尔曼滤波器工作原理的分析可知，在初始时刻，通
过选取较大的P0值可使环路具有较大的等效噪声带宽，因此，可以将场景切换过程类似于初始阶段，通过强制调整P0值来改变环路等效噪声带宽。

强跟踪滤波器
就是通过实时估计新息统计量调整状态预测误差的协方差矩阵Pk，提高环路的稳定性。

针对问题2)，稳态跟踪精度主要依赖于与场景相匹配的Qk/Rk值，不同场景的Qk/Rk一般是不同的，为了保证稳态跟踪精度需要实时在线估计Qk和Rk。

Sage-Husa自适应Kalman滤波算法能够给出Qk和Rk值的无偏估计，但该方
法很容易引起发散，且对初始条件的选取非常敏感[10]，如果应用到载波跟踪环路中需要增加条件限制。

2.2 强跟踪卡尔曼滤波算法
强跟踪滤波器是针对扩展卡尔曼滤波器对系统模型不确定性、初始状态统计不准确和应对突变等不确定因素鲁棒性较差而提出的[6]。

它通过实时估计新息统计量调
整状态预测误差的协方差矩阵以及相应的增益矩阵，强制使不同时刻的新息序列保持相互正交，即将基本卡尔曼滤波器递推方程中的式(5)修改为
Pk,k-1=λkFPk-1FT+Γ QkΓ T
(10)
式中，λk≥1为时变渐消因子，当λk=1时即为标准卡尔曼滤波算法，当λk>1时，状态一步预测的误差方差阵Pk,k-1将增加，也将使式(6)的卡尔曼滤波增益Kk增加。

考虑到场景切换阶段为暂态过程，更强调算法的响应时间和鲁棒性，而且不影响稳态阶段的跟踪精度，因此，不宜选用较复杂的算法，可按如下方法近似求解[11]
(11)
(12)
式中，Pek为卡尔曼滤波新息协方差，其值为
为新息协方差实际估计值，可以通过统计一段时间内的新息值获得
(14)
滑动窗口宽度m可以根据实际场景需要确定，窗口宽度越大，估计值越准确，但算法响应能力越差。

2.3 Sage-Husa自适应滤波改进算法
SAGE和HUSA提出的基于极大后验(MAP)估计准则的自适应卡尔曼滤波算法[9]能够对Qk和Rk值实时在线修正和估计，且具有原理简单、实时性好的特点，在许多领域得到广泛应用。

其中，过程噪声算式为
(15)
考虑到式(15)中有减法，有可能使Qk失去半正定导致滤波发散，需要对新息序列进行白化处理，计算复杂，而且，在稳定状态下，状态估计误差阵Pk基本不变，可以忽略状态估计误差方差阵的变化，式(15)可近似为
(16)
式(16)可以对某一场景的Qk值进行次优估计，但是，如果载体进行运动状态差别比较大的场景切换时，由于Qk估计值没有适应一定动态应力变化的余量，跟踪算法将不稳定甚至发散。

因此，需要根据载体的动态应力水平确定Qk的最小值Qmin和最大值Qmax。

其中，Qmin可以由式(4)确定， qs为多个运动场景的载波相位功率谱密度最小值，Qmax通常会取一个较大迹的值，保证在缺乏场景信息条件下环路的鲁棒性。

Qk值更新过程为
关于测量噪声矩阵Rk的估计，由于Sage-Husa自适应卡尔曼滤波算法不能同时
估计Qk和Rk，否则，滤波算法将发散[10]，可以通过载噪比对测量噪声进行估
计[3],即
(18)
式中,(C/N0)k可以根据信号加噪声的功率在不同噪声带宽上的差异进行估计，具
体计算方法参见文献[12]。

3 仿真与比较
本文用于GPS L1频点信号仿真的数据有2组：实测静态数据和由仿真软件生成的动态仿真数据，中频信号频率为9.548 MHz，采样率为38.192 MHz，环路更新
率为1 ms。

为了验证本文所提算法的有效性，分别对标准卡尔曼滤波、自适应强跟踪滤波和自适应强跟踪Sage-Husa滤波3种算法进行仿真。

其中，标准卡尔曼滤波参数Qk和Rk设为固定常数Q0和R0，自适应强跟踪滤波算法的Qk和Rk
值与标准卡尔曼滤波参数相同，自适应强跟踪Sage-Husa滤波算法的Qmin值设置为Q0值。

动态场景仿真参数见表1,表中实测静态数据的载噪比值由文献[12]给出的方法估计。

图1～图3是在不同仿真条件下，3种跟踪算法的载波相位误差和多普勒频率跟踪效果对比图，图中阶段1的多普勒频率不为0(大约为38 Hz)，主要是由捕获引起的捕获频率误差。

表1 仿真参数表Table 1 Simulation parameters序号多普勒频率变化率/(kHz·s-1)阶段1(0～≤0.20 s)阶段2(>0.20～0.40 s)载噪比/(dB·Hz)1实测静态数据实测
静态数据38.720143.030543.0
图1为3种跟踪算法对静态实测数据载波相位误差和多普勒频率跟踪效果对比图，载波相位误差标准差分别为0.022 9 Hz，0.022 9 Hz和0.014 94 Hz。

图1 仿真1载波相位误差和多普勒频率对比图Fig.1 Carrier phase error and Doppler frequency comparison of Simulation 1
从图1中可以看出：1) 标准卡尔曼滤波算法和自适应强跟踪滤波算法的跟踪效果
没有明显差异，说明在跟踪过程中，由于没有较大载波相位跟踪误差(场景切换)，自适应强跟踪滤波算法的自适应衰减因子λk不起作用；2) 自适应强跟踪Sage-Husa滤波算法的初始阶段跟踪效果好于前两种算法，主要是由于算法实时修正和估计系统噪声Qk和观测噪声Rk统计量，使环路有更宽的等效噪声带宽，因此能够更快地进入稳定状态；3) 随着跟踪算法的递推，3种算法的跟踪效果基本相同。

为了仿真比较3种算法在相同跟踪精度条件下的动态适应能力，将自适应强跟踪Sage-Husa滤波算法的Qmin值设置为Q0值。

如果将Qmin设置为比Q0更小
的值，稳态跟踪精度将好于前两种算法，但是，将影响算法对场景切换的适应能力，不利于3种算法对仿真2和仿真3场景切换的跟踪效果对比。

图2为3种跟踪算法对仿真2数据的载波相位误差和多普勒频率跟踪效果对比图，载波相位误差标准差分别为0.033 74 Hz，0.022 38 Hz和0.016 75 Hz。

图2 仿真2载波相位误差和多普勒频率对比图Fig.2 Carrier phase error and Doppler frequency comparison of Simulation 2
从图2中可以看出：1) 在初始阶段，仿真2的标准卡尔曼滤波算法跟踪效果好于
仿真1，主要是由于仿真2数据比仿真1数据有更高的载噪比，即更小的观测噪
声Rk；2) 与仿真1不同，在初始阶段和场景切换阶段，自适应强跟踪滤波算法的跟踪效果都好于标准卡尔曼滤波算法，由于仿真2数据的初始载波相位误差大，
场景切换也导致较大载波相位误差，自适应衰减因子λk在跟踪初始阶段和跟踪过程中都发挥了作用，使环路有更宽的等效噪声带宽，因此能够更快地进入稳定状态；
3) 自适应强跟踪Sage-Husa滤波算法的动态适应能力好于自适应强跟踪滤波算法，由于自适应强跟踪Sage-Husa滤波算法在跟踪过程中，不但自适应衰减因子λk
发挥作用，而且还实时修正和估计系统噪声Qk和观测噪声Rk统计量，使环路有更宽的等效噪声带宽，因此，动态适应能力好于自适应强跟踪滤波算法。

图3为3种跟踪算法对仿真3数据的载波相位误差和多普勒频率跟踪效果对比图，载波相位误差标准差分别为0.103 9 Hz，0.028 12 Hz和0.019 65 Hz。

图3 仿真3载波相位误差和多普勒频率对比图Fig.3 Carrier phase error and Doppler frequency comparison of Simulation 3
从图3中可以看出，标准卡尔曼滤波算法的跟踪环路在场景切换时失锁，而自适
应强跟踪滤波算法和自适应强跟踪Sage-Husa滤波算法都能稳定跟踪，且自
适应强跟踪Sage-Husa滤波算法动态适应能力强于自适应强跟踪滤波算法。

4 结论
本文提出的自适应强跟踪Sage-Husa滤波算法对于初始状态统计不准确、状态突变和噪声变化等不确定因素表现出良好的滤波性能。

利用Sage-Husa自适应滤波算法实时估计和修正噪声统计量来自适应跟踪过程中的噪声变化，引入强跟踪技术和增加估计范围约束条件有效解决了算法对初始值敏感、容易发散等问题。

该算法比Sage-Husa自适应滤波算法具有更强的鲁棒性，比自适应强跟踪滤波算法具有更强的噪声自适应性，在GNSS载波跟踪环路应用中有广阔的前景。

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