北师版 七年级数学上册 1.4 从不同方向看 教材解读

1.4从三个方向看物体的形状
新知概览：
知识全解
知识点1从不同方向看物体的形状
知识详解：
从不同方向看物体的形状图分为从几何体正面看到的图形；从几何体左面看到的图形；从几何体上面看到的图形．
知识警示：
从不同方向看物体得到的形状图分别体现了几何体长、高、宽，其中从正面看得到的图形体现了物体的长和高，从左面看得到的图形体现了物体的宽和高，从上面看得到的图形体现了
物体的宽和长．
【试练例题1】小杰观察如图1-4-1的热水瓶时，从正面得到得到的是( )，从左面得到得到的是( ), 从上面得到得到的是（ ）
思路引导：从不同方向看物体得到的图形是由观察方位决定图形形状，热水瓶从正面和左面看到瓶盖、瓶颈、瓶体及瓶把的形状，但应注意二者瓶把位置的差异；正上面往下看，看到的一定是热水瓶圆形的上口和圆形的热水瓶底及左侧的杯柄． 解：A ，B ，C 方法：组合图形的从三个方向看物体形状得到的图形，此时应该认真分析参与组合的几何体的一些重要特征及位置关系，然后通过这些特征做出最终的判断.
知识点2常见几何体的从三个方向看物体形状
知识详解：几种常见几何体的从三个方向看物体形状
A. B. C. D. 正面方向 1-4-1
知识警示：
（1）所有几何体中正方体、球体的从三个方向看物体形状得到的图形完全相同，即正方体的从三个方向看物体形状得到的图形都是正方形，球体的三中从三个方向得到的图形都是圆；
（2）圆锥的从上面方向得到的图形是圆及中间一点，棱锥的从上面方向得到的图形是多边形及中间一点，且此点和多边形各个顶点相连接．
【试练例题2】下面四个几何体中，从正面方向得到的图形与其它几何体的从正面方向得到的图形不同的是（ ）
思路引导：选项A 、B 、D 的从正面方向得到的图形都是长方形，只有选项C 的从正面方向得到的图形是三角形与其它三个几何体的从正面方向得到的图形不同． 解：C 方法：解题的关键是明确从正面方向得到的图形的意义，并能进行立体图形与平面图形的相互转化.
知识点3小立方体搭建的几何体的从三个方向得到的图形的画法 知识详解：
从三个方向得到的图形包括从正面方向得到的图形、从左面方向得到的图形和从上面方向得到的图形，从正面方向得到的图形主要反映物体的长和高，从左面方向得到的图形主要反映物体的宽和高，从上面方向得到的图形主要反映物体的长和宽，因此从正面方向得到的图形与从左面方向得到的图形的高相等，从正面方向得到的图形与从上面方向得到的图形长相等，从左面方向得到的图形与从上面方向得到的图形宽相等，即．由立体图形到三个方向看物体得到的图形的过程，要注意两点：一是长、宽、高的关系；二是上下、左右、前后的关系．
知识警示：三个方向看物体得到的图形与几何体颜色无关，只与几何体形状有关．
【试练例题3】分别画出图1-4-2中几何体的从正面方向得到的图形、从左面方向得到的图形、从上面方向得到的图形．
思路引导：从正面看从左往右4列正方形的个数依次为1，1，3，1；从左面看从左往右3列正方形的个数依次为3，1，1；从上面看从左往右4列正方形的个数依次为1，3，1，1． 解：
1-4-2
A B C D
方法：画小立方体搭建的几何体的从三个方向看物体形状得到的图形，就是从不同方向看这个几何体有几列，则相应其它方向看物体得到的图形画几列，每列有几层，则相应其它方向看物体得到的图形就画几层. 易错易混辨析
易错点1 画圆锥的从上面方向得到的图形时，遗漏顶点
易错典例1如图1-4-3，是由两个相同的小正方体和一个圆锥体组成的立体图形，其从上面
方向得到的图形是（ ）
易错总结：容易漏掉圆锥的顶点，而导致误选D ，正确答案C. 易错点2忽略小正方形上的数字意义
易错典2如图1-4-4所示是几个小正方体所搭几何体的从上面方向得到的图形，数字代表该位置小正方体的块数，则以下所示的四个选项中是此几何体的从正面方向得到的图形的是（ ）
易错总结：从上面方向得到的图形的作用一是确定几何体的横、纵各有几列；二是根据小正方形上的数字确定每个位置上有几层,本题易因忽略了第二列上“2”的意义而误认为此处只有一个小立方体块而选A ，正确答案C.
易错点3由于空间想象能力不够，而忽略了直接看不到的小立方体块
易错典3如图1-4-5，是一个由相同的小正方体组成的立体图形，它的从正面方向得到的图形是
( )
1-4-3
1-4-4
A
B
C
D
A
易错总结：第一列第二排有三个立方体块，由于最下边一个不能直接观测到而误认为该位置只有两个导致错选 基础经典全析
题型1根据物体画从三个方向看物体形状得到的图形
【题型典例1】先观察下图（1-4-6）画出它的从正面方向得到的图形、从左面方向得到的图形和从上面方向得到的图形．
思路引导：从正面方向得到的图形是一个圆在长方形的右端，从左面方向得到的图形是一个
圆在长方形的左端，从上面方向得到的图形是长方形、内部片右上角有一个圆． 解：
题型2由三个方向看物体得到的图形确定几何体的形状
【题型典例2】下面从三个方向得到的图形(1-4-7)表示的可能是宜昌四种特产：西瓜、蜜橘、梨、土豆中的（ ）
1-4-5
正面
1-4-6
1-4-7
左面看
从上面方向
得到的图形
思路引导：由从正面方向得到的图形和从左面方向得到的图形可知，形状相同，均为长方形，由从上面方向得到的图形可知，这个物体为圆形且中间有个点；分析选项中的图形，只有蜜橘符合．
解：B．
题型3与三个方向看物体得到的图形相关的面积的计算
如图1-4-8，桌面上的模型由20个棱长为a的小正方体组成，现将该模型露在外面的部分涂上涂料，则涂上涂料部分的总面积为__________．
1-4-8
思路引导：从正面、上面，后面，左面，右面看都有10个正方形，则共有50个正方形，因为每个正方形的面积为a2，则涂上涂料部分的总面积为50a2．
解：50a2．
方法：一个与三个方向看物体得到的图形的问题，涂上涂料部分的总面积就是从物体各个面看到的物体的各个面的面积总和．
综合创新探究
题型4利用三个方向看物体得到的图形确定几何体中小立方体的个数
在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干，要搬运这些箱子很困难，可是仓库管理员要核实一下箱子的数量，于是就想出一个办法：将这堆货物的从三个方向得到的图形画了出来，你能根据图中的从三个方向得到的图形1-4-9，帮他清点一下箱子的数量是______．
1-4-9
思路引导：从图可得小正方体的个数有8个，如图：
解：8个．
方法：从从上面方向得到的图形中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从从正面方向得到的图形和从左面方向得到的图形可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而确定出从上面方向得到的图形每个位置上有几个小正方体，然后算出总的个数．
题型5由从上面方向得到的图形及图中标注的小立方体的个数确定这个几何体的从正面方向得到的图形和从左面方向得到的图形
如图1-4-10是一些小正方块所搭几何体的从上面方向得到的图形，小正方块中的数字表示该位置的小方块的个数，请画出这个几何体的从正面方向得到的图形和从左面方向得到的图形：（要求用直尺或三角板画图）
思路引导：由已知条件可知，从正面方向得到的图形有3列，每列小正方数形数目分别为3，1，3，从左面方向得到的图形有2列，每列小正方形数目分别为3，3．据此可画出图形． 解：如图所示：
方法：本由几何体的从上面方向得到的图形及小正方形内的数字，可知从正面方向得到的图形的列数与俯视数的列数相同，
且每每列小正方形数目为从上面方向得到的图形中相应行中正方形数字中的最大数字．
本节是中考的热点，主要以填空选择的形式来考查．考查的主要内容是几何体的从三个方向看物体形状得到的图形、由三个方向看物体得到的图形确定几何体形状、由从上面方向得到的图形确定另两种方向看物体得到的图形以及根据三个方向看物体得到的图形确定组成几何体小立方块的个数．近年来三个方向看物体得到的图形和几何体展开图知识相结合的运算题也成为中考命题的高频点． 备战中考
考点1确定几何体1-4-11的从三个方向看物体形状得到的图形
中考典例1：一节电池如图2所示，则它的从三个方向得到的图形是（ ）
1-4-10
1-4-11
A B C D
思路引导：从正面方向得到的图形是一个大长方形上面有一个小长方形，从左面方向得到的图形与从正面方向得到的图形相同，从上面方向得到的图形两个同心圆．
解：D．
（2011·青海西宁·第6题·3分）
变式练习1：如图1-4-12是六个棱长为1的立方块组成的一个几何体，其从上面方向得到的图形的面积是（）
A．6 B．5 C．4 D．3
思路引导：该几何体的从上面方向得到的图形是边长为1的5个小正方形，因此从上面方向得到的图形的面积为5.
解：B．
（2011·浙江丽水·第2题·3分）
考点2 给出三个方向看物体得到的图形判断几何体形状
中考典例2：一个几何体的从三个方向得到的图形如图1-4-13所示，那么这个几何体是（）
1-4-13
思路引导：从从正面方向得到的图形和从左面方向得到的图形分析，此为柱体，由于从上面方向得到的图形为三角形，故为正三棱柱．
解：C.
点拨：先根据从上面方向得到的图形确定是椎体还是柱体及侧面数，再根据从正面方向得到的图形、从左面方向得到的图形确定侧面形状.
（2011·山东东营·第3题·3分）
变式练习2：由四个相同的小正方体搭建了一个积木，它的从三个方向得到的图形如右图1-4-14所示，则这个积木可能是（）
1-4-14
思路引导：从从正面方向得到的图形和从左面方向得到的图形看积木是上下两层，左右两排，前后两行．在从上面方向得到的图形上标出小正方体的个数如下图所示，则这个积木可能是A中所示积木．
解：A.
（2011·四川绵阳·第8题·3分）
考点3 推断几何体中小立方体的个数
中考典例3：如图1-4-15是一些大小相同的小正方体组成的几何体的从正面方向得到的图形和从上面方向得到的图形，则组成这个几何体的小正方体最多块数是（）
A.8
B.10
C.12
D.14
1-4-15
思路引导：根据几何体的从正面方向得到的图形和从上面方向得到的图形，可以得出从从正面方向得到的图形看最少有6个，从从上面方向得到的图形看，最左边正方形前后可以有三列，分别有三个，故最多有3×3+3=12个，故选C．
解：C．
点拨：根据从正面方向得到的图形和从上面方向得到的图形找几何体的小正方体最多块数的口诀是：“从上面方向得到的图形打地基，从正面方向得到的图形疯狂盖”．
（2011·四川泸州·第10题·2分）
变式练习3：由几个相同小正方体搭成的几何体的从正面方向得到的图形与从左面方向
得到的图形如图1-4-16所示，则该几何体最少由 个小正方体搭成.
思路引导：综合从正面方向得到的图形和从左面方向得到的图形可知，小正方体搭成的几何体分为三排三列，第一排最少在左边数第一个列放1个，第二排最少在第二列放2个，第三排最少在第三列放1个，共最少4个.如下表，数字表示该位置小正方体的块数：
解： 4.
（2011·黑龙江大庆·第
17题·3分）
考点 4 给出一个方向看物体得到的图形，求做另两个方向看物体得到的图形
中考典例4：如图1-4-17表示一个由相同小立方块搭成的几何体的从上面方向得到的图形，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的从正面方向得到的图形为（ ）
思路引导：由从上面方向得到的图形可知，由几何体由三行小立方块搭成，由于从正面方向得到的图形看见的是最高的位置，所以最左边高度应该是2个，中间的高度也应该是2个，最右边的高度应该是1个； 解：C 点拨：由从上面方向得到的图形画另两个方向看物体得到的图形先确定列数，确定观察方向，弄清左右顺序，再根据提供数字确定三个方向看物体得到的图形高度．
（2011·山东日照·第5题·3分）
变式练习4：下图1-4-18是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体的从上面方向得到的
图形，图中所示数字为该位置小正方体的个数，则这个几何体的从左面方向得到的图形是 ( )
1-4-16
正面看
左面看
1-4-17
思路引导：几何体的从上面方向得到的图形所示数字为该位置小正方体的个数，从左面方向得到的图形显示为高度，从上面方向得到的图形最上面一排对应在从左面方向得到的图形的最左边，高度为1，从上面方向得到的图形上面第2排对应在从左面方向得到的图形的中间，最高高度为3；从上面方向得到的图形最下面一排对应在从左面方向得到的图形的最右边，最高高度为2；只有A 符合． 解：A ．
（2011·黑龙江鸡西·第4题·3分）
考点 5三个方向看物体得到的图形有关计算 中考典例5：如图1-4-19是由两个长方体组合而成的一个立体图形的从三个方向得到的图形，
根据图中所标尺寸（单位：mm
），计算出这个立体图形的表面积是________mm 2．
思路引导：通过画图方式或观察分析该组合体有上下两层组成．露在上面一层是长方体长为4mm ，宽为2 mm ，高4 mm ）（有5个面（除去上下接触部分），下面一层是长方体（长为8 mm ，宽为6 mm ，高2 mm ），于是可以计算组合体露出表面积．
解：200． 点拨：从正面方向得到的图形主要反映物体的长和高，从左面方向得到的图形主要反映物体的宽和高，从上面方向得到的图形主要反映物体的长和宽，因此，根据从正面方向得到的图形可以确定几何体的高和长，根据从左面方向得到的图形可以确定几何体的宽和高，根据从上面方向得到的图形可以确定几何体的宽和长，综合推理可以确定几何体的长宽高，从而计算几何体的表面积．
（2011·广西梧州·第17题·3分）
变式练习5：如图1-4-20是六个棱长为1的立方块组成的一个几何体，其从上面方向得到的图形的面积是（
）
A B C
D
1-4-18
A．6 B．5 C．4 D．3
思路引导：从上面方向得到的图形是5个正方形，边长为1，所以面积为5.
解：B.
（2011·浙江金华·第2题·3分）
新题精炼
基础巩固1.图1-4-21是五个相同的小正方体搭成的
几何体，其从左面方向得到的图形是（ ）
2.在下列几何体中，从正面方向得到的图形、从左面方向得到的图形与从上面方向得到的图形都是相同的圆， 该几何体是（ ）
3．一个几何体的从三个方向得到的图形如下图1-4-22所示，这个几何体是
A.球
B. 圆柱
C.长方体
D.圆锥 4．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的从上面方向得到的图形如图 1-4-23所示，其正方形中的数字表示该位置上的小正方体的 个数，那么该几何体的从正面方向得到的图形是（ ）
知识点1,3 题型2
知识点2 题型2
知识点1，2 题型2
知识点3 题型4
1-4-23
A B
D
C
5．将下图1-4-24所示的Rt△ABC绕直角边AB旋转一周，所得几何体的从正面方向得到的图形为( )
6．用4个棱长为1的正方体搭成一个几何体模型,其从正面方向得到的图形与从左面方向得到的图形如图1-4-25所示,则该立方体的从上面方向得到的图形不可能
．．．是：（）
7．长方体的从正面方向得到的图形与从上面方向得到的图形如图1-4-26所示，则这个长
8．5个棱长为1的正方体组成如图1-4-27的几何体．（1）该几何体的体积是（立方单位），表面积
是（平方单位）
（2）画出该几何体的从正面方向得到的图形和从左面方向得到的图形知识点1,2 题型1
知识点3 题型4
知识点1 题型3
4
2从正面看1-4-26 从上面看
1-4-24
9．已知一个几何体的从三个方向得到的图形和有关的尺寸如图1-4-28．
（1）写出这个几何体的名称； （2）求出这个几何体的表面积．
能力提升
10．如图，图1-4-29是一个底面为正方形的直棱柱， 现将图1切割成图2的几何体，则图2的从上面方向得到的图形是（ ）
11．由四个大小相同的长方体搭成的立体图形的从左面方向得到的图形
如图1-4-30所示，则这个立体图形的搭法不可能是（ ）
知识点1，3 题型3
知识点1,2 题型3
知识点1 题型1
1-4-28
1-4-27
1-4-29
12．由n 个相同的小正方体堆成的几何体，其三个方向看物体得到的图形1-4-31所示，则n 的最大值是______ ．
13．如图1-4-32，是由8个相同的小立方块搭成的几何体的 从左面方向得到的图形，它的三个方向看物体得到的图形是2×2的正方形．若拿掉若干个小立方块后（几何体不倒掉．．．），其三个方向看物体得到的图形仍都为2×2的正方形，则最多能拿掉小立方块的个数为______ ．
14．如图1-4-33是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的 几何体，那么其从三个方向看物体形状得到的图形中面积最小的是 .
知识点3 题型2
知识点3 题型4
知识点1，3 题型4
知识点1 题型1
1-4-32
15．下列各图是棱长为1cm的小正方体摆成的，如图①中，共有1个小正方体，从正面看有1个正方形，表面积为6cm2；如图②中，共有4个小正方体，从正面看有3个正方形，表面积为18cm2；如图③，共有10个小正方体，从正面看有6个正方形，表面积为36cm2；…
（1）第6个图中，共有多少个小正方体？从正面看有多少个正方形？表面积是多少？
（2）第n个图形中，从正面看有多少个正方形？表面积是多少？知识点3 题型3
1-4-34
新题精炼
基础巩固
1．A．思路引导：从左边看这个几何体，左侧可看到由三个小正方体搭成，故从左面方向得到的图形是A选项．
2．A．球体的从三个方向得到的图形都是相同的圆；圆柱体的从左面方向得到的图形与从正面方向得到的图形都是矩形，只有从上面方向得到的图形是圆；六棱柱的从三个方向得到的图形都不是圆；圆锥体的从左面方向得到的图形与从正面方向得到的图形都是等腰三角形，只有从上面方向得到的图形是圆.
3．B.思路引导：从从上面方向得到的图形看，排除C，从从正面方向得到的图形或者从左面方向得到的图形看，可以排除A、D，所以答案为B．
4．B．思路引导：从从上面方向得到的图形上小正方体的个数来看，从正面方向得到的图形第一列有1块，第2列有2块，第3列有3块．
5．C．思路引导：△ABC绕直角边AB旋转一周后得到的是圆锥，圆锥的从正面方向得到的图形是一等腰三角形，故选C．
6．D．思路引导：由从正面方向得到的图形得左侧有一个位置是有两个正方体搭成，由从左面方向得到的图形得后排有一个位置是有两个正方体搭成，由些得从上面方向得到的图形左有一个位置是有两个正方体，后排有一个位置是有两个正方体，只有D不符合条件．7．24平方单位．思路引导：由从正面方向得到的图形可知，这个长方体的长和高分别为4和3，由从上面方向得到的图形可知，这个长方体的长和宽分别为4和2，因此这个长方体的长、宽、高分别为4、2、3，因此这个长方体的体积为4×2×3＝24平方单位．8．思路引导：每个正方体的体积为1，5个正方体，体积等于5；每个正方体的每个面的面积为1，可以先求出从三个方向得到的图形的面积，然后乘以2，最后加上隐蔽的面的面积即可．
解：（1）5，22
（2
从正面看从左面看
9．思路引导：（1）由从三个方向得到的图形的特征，可得这个几何体应该是直三棱柱；
（2）这个几何体的表面积应该等于两个直角三角形的面积和三个矩形的面积和．解答：解：（1）直三棱柱
（2）正面方向看物体得到的图形是一个直角三角形，直角三角形斜边是10
S=2（1
×6×8）+8×4+10×4+6×4
2
=144
即几何体的表面积为144cm2．
能力提升
10．C．思路引导：从上面方向得到的图形是从物体上面看到的图形，一个底面为正方形的直棱柱虽然切去一个角，但从上面看到的从上面方向得到的图形增加了一条对角线，它的从上面方向得到的图形连接一条对角线的一正方形.
11．D．思路引导：各选项中只有选项D从左面看得到从左往右2列正方形的个数依次为1，2，故选D．
12．18思路引导综合从正面方向得到的图形和从上面方向得到的图形，可知该几何体由三层组成，最底层最多有7个小正方体，第二层最多有7个小正方体，第三层最多有4个小正方体，故n最大为7+7+4=18.
13．2.思路引导：由于要求三个方向看物体得到的图形得到的都是2×2的正方形,只能从第一层上,两个正方体不能在同一列取,所以每一列拿出一个不会影响方向看物体得到的图形，要想得到的从三个方向得到的图形是2×2的正方形,从上面一层拿下2个,从左边第一列拿一个,第二列拿一个.．
14．从左面方向得到的图形．思路引导：从三个方向得到的图形如图所示，因为从左面方向得到的图形共有3个正方形组成，从正面方向得到的图形共有5个正方形组成，从上面方向得到的图形共有5个正方形组成，所以从三个方向看物体形状得到的图形中面积最小的是从左面方向得到的图形．
15．思路引导：（1）由题意知，第4个图共有1+3+6+10=20个，从正面看有10个正方形，第5个图共有1+3+6+10+15=35个，从正面看有15个正方形，即可推出第6个图形的正方体和正面看到的正方形个数；
（2）由题意知，从正面看有（1+2+3+4+…+n）个正方形，即可得出其表面积；
解：（1）由题意可知，第6个图中，共有1+3+6+10+15+21=56个正方体，
从正面看有1+2+3+4+5+6=21个正方形，表面积为：21×6=126cm2；
（2）由题意知，从正面看到的正方形个数有（1+2+3+4+…+n）= (1)
2
n n
+
个，
表面积为：(1)
2
n n
+
×6=
6(1)
2
n n
+
cm2．。