测量学第五章-误差概念

[] n

0
12
三、算术平均值
算术平均值： x L1 L2 Ln [Li ]
n
n
为什么取算术平均值：
i x Li
Li x i
x [Li ] x [i ]
n
n
当n ： [] 0
n
xx
13
如何解决随机误差产生的矛盾
•18世纪末，在测量学、天文学等实践中提出了如 何消除由于观测误差引起的观测量之间的矛盾的问 题 •1794年，年仅17岁的高斯（C.F.Gauss）提出了解 决这个问题的方法——最小二乘法 •19世纪初，高斯用自己提出的方法解决了当时的 一个天文学难题.
4.5%
P(3m 3m) 99.7%
0.3%
取极限误差(容许误差)： 或：
容 3m 容 2m
21
(3)相对误差
1 相对误差：绝对误差的绝对值与观测值之比 N 绝对误差：真误差、中误差、容许误差
意义： 观测 1000m 观测 800m
中误差 中误差
m 2cm m 2cm
•偶然误差(random errors)
如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，即从单个 误差看，该误差的大小和符号没有规律
•粗差(gross error)
错误 7
4、误差的消除
系统误差的解决？ 1、进行计算改正； 2、分析它对观测的影响规律，采取各种方法来 消除系统误差，或者减小它对观测成果的影响。 偶然误差的解决？ 进行多余观测，通过测量平差、数据处理理论， 确定被认为是最可靠的结果。 粗差的解决？ 尽量避免，检核
3
-1
总数
80
82
162
11
20 10
0
+1
偶然误差的特性
•1、在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值 不会超过一定的限值。
•2、绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的 机会要多。
•3、绝对值相等的正误差和负误差出现的机会 相等。
•4、偶然误差的算术平均值随着观测次数的无 限增加而趋进于零。即：
lim n
m [vv] n 1
20
(2)极限误差（容许误差）
应用：限差检核
含义：认为观测误差中的偶然误差出现大于容许误 差的概率极小，如果发生，则认为非偶然因素造成， 对于测量结果一般认为不合格
根据：偶然误差的特性(1)
P(m m) 68.3%
31.7%
P(2m 2m) 95.5%
14
什么是最小二乘法
[v2 ] min
15
四、观测精度的衡量
两组观测距离的结果：
3.867 3.866 3.868 3.865
x 3.867
3.860 3.862 3.870 3.877 x 3.867
问题：
1、哪个结果正确？
2、哪组结果“好”? 3、结果的“好”“坏”如何衡量3.？860
2、当观测次数增加到一定数目后，再增加观测次数，精度提高不明显
3、提高精度，还需考虑采用适当的仪器、改进操作方法，选择良好的 外界环境等。
25
七、权与加权平均值
解决的办法： 在进行观测值的平均取最终结果时，为 各观测值赋予一个“权值”，使各观测 值在参与平均计算时，起的作用的大小 不一样。最终得到的是加权平均值。
8
以水准测量为例
仪器、尺垫下沉 i角误差的影响 水准尺下端磨损 水准尺未保持竖直 大气折射影响 读数时将1.662读成1.962 毫米位上的估读
9
二、偶然误差的规律性
在相同的观测条件下， 独立的 观测162个三角形的全部内角。

真误差 = 真值 — 观测值 i 1800 Li
h2
h3
h4
h5
B
H B H A h1 h2 h3 h4 h5
如何评定B点高程的精度？
24
六、算术平均值的中误差
x

[L] n

1 n
L1

1 n
L2

...
1 n
Ln
mx
(
1 n
)2
m12

(
1 n
)2
m22

...

(
1 n
)2
mn2
mx

m n
说明
1、算术平均值的精度随着多于观测次数的增加而提高。
m 21 22 2n []
n
n
例如： 距离观测值： 3.867 距离观测值： 3.860 距离的真值 = 3.866
3.866 3.868 3.862 3.870
3.865 3.877
19
用改正数求中误差
真误差未知，如何求中误差？
i x Li vi x Li
3
2、误差产生的原因
从观测过程进行分析 •仪器角度
测量仪器的精密度
•观测者角度
观测者感觉器官的鉴别能力
•外界条件
温度、湿度、大气折光
4
误差的产生
5
误差的产生
6
3、误差的性质
•系统误差(Systematic errors)
误差在大小、符号上表现出系统性，或者在观测过程 中按照一定的规律变化，或者为一常数。
3.870
3.880
16
精度的意义
精度——误差分布的密集或离散的程度 精度反映的是观测条件
17
衡量精度的指标
衡量精度的指标——用一系列的数值来对一 组观测结果进行评价
中误差 极限误差（容许误差） 相对误差
18
(1)中误差
中误差——在一定的观测条件下，各个真误 差平方的平均数的平方根
第五章 误差概念
1
一、观测误差
什么是误差 误差产生的原因 误差的性质和分类 误差的消除
2
1、什么是误差
•直线丈量时，对同一段距离丈量若干次， 得出的结果相同吗？ •观测水平角时，对一个三角形的三个内角 进行观测，内角和是多少？
误差的定义： 在同一量的各观测值之间，或在各观测值与 其理论上的应有值之间存在差异的现象。

10
偶然误差的统计结果
误差大小的 为正值 为负值 的
区间（秒） 的个数 的个数 总个数
0.0——0.2
21
21
42

0.2——0.4
19
19
38
0.4——0.6
15
12
27
0.6——0.8
9
11
20
0.8——1.0
9
8
17
1.0——1.2
5
6
11
1.2——1.4
1
3
4
1.4——1.6
1
2
0.02 1 1000 50000 0.02 1 800 40000
22
五、误差传播定律
线性函数的误差传播定律：
F K1x1 K2 x2 Kn xn 条件：x1、x2 xn相互独立
mF
K12m12

K
m 2 2
22


K
2 n
mn2
23
举例
水准测量
A h1