高考数学二轮复习 失分之立体几何4课件
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错解 (2)(3)(4)
找准失分点 (3)是错误的．
失分原因与防范措施 本题失分原因：定理、性质、记 忆不准确，错用、乱用.防范失误的措施：一是对错误 的要逐个寻找反例作出否定，对正确的要逐个进行逻辑 证明；二是结合模型作出判断，但要注意定理应用准确， 考虑周全.
正解 (1)是错误的． 如正方体中面 ABB′A′⊥面 ADD′A′，交线为 AA′. 直线 AC⊥AA′，但 AC 不垂直面 ABB′A′，同时 AC 也不垂直面 ADD′A′. (2)正确．实质上是两平面平行的性质定理． (3)是错误的．在上面的正方体中，A′C 不 垂直于平面 A′B′C′D′，但与 B′D′ 垂直．这样 A′C 就垂直于平面 A′B′C′D′内与直 线 B′D′平行的无数条直线． (4)正确．利用线面平行的判定定理即可． 故填：(2)(4)．
正解 (1)连接 BD1，如图所示， 在△DD1B 中，E、F 分别为 DD1、DB 的中点，则
EF∥D1B
D1B⊂平面ABC1D1⇒EF∥平面 ABC1D1.
EF⊄平面ABC1D1
(2)ABCD－A1B1C1D1 为正方体⇒AB⊥面 BCC1B1
⇒B1C⊥AB
BA1BC，⊥BBCC1⊂1 平面ABC1D1
答案 ②④
失分点 21 线面位置关系定理使用不当致误 例 3 在棱长为 2 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F
分别为 DD1、DB 的中点．(1)求证：EF∥平面 ABC1D1； (2)求证：EF⊥B1C. 错解 (1)连接 BD1， ∵E、F 分别为 DD1、DB 的中点．∴EF∥D1B， ∴EF∥平面 ABC1D1. (2)AC⊥BD， 又 AC⊥D1D， ∴AC⊥平面 BDD1， ∴EF⊥AC. 找准失分点 (1)由 EF∥BD1 得 EF∥平面 ABC1D1 时， 缺少 EF⊄平面 ABC1D1 的条件．(2)思路不清．
失分原因与防范措施 本题失分原因主要有两点：一是推理论 证不严谨，在使用线面位置关系的判定定理、性质定理时忽视 定理的使用条件，如由 E F ∥D 1B 就直接得出 E F ∥平面 A B C 1D 1； 二是线面位置关系的证明思路出错，如本题第（2）问的证明， 缺乏转化的思想意识，不知道要证明线线垂直可以通过线面垂 直达到目的，出现证明上的错误. 防范失误的措施：证明空间线面位置关系的基本思想是转化与 化归，根据线面平行、垂直关系的判定和性质，进行相互之间 的转化，如本题第（2）问是证明线线垂直，但分析问题时不能 只局限在线上，要把相关的线归结到某个平面上（或是把与这 些线平行的直线归结到某个平面上），通过证明线面的垂直达到 证明线线垂直的目的，但证明线面垂直又要借助于线线垂直， 在不断的相互转化中达到最终目的.解这类问题时要注意推理 严谨，使用定理时找足条件，书写规范等.
正解 如图所示，作几何体 S－ABCD 且知平面 SCD⊥
平面 ABCD，四边形 ABCD 为正方形，作 SE⊥CD 于点
E，得 SE⊥面 ABCD 且 SE＝20.
∴VS－ABCD＝31S▱ABCD·SE＝8 0300；
∴这个几何体的体积是8
000 3.
变式训练 1 一个空间几何体的三视图，如图所示，则
变式训练 2 已知 α、β、γ 是三个互不重合的平面，l 是一条直线，给出下列四个命题： ①若 α⊥β，l⊥β，则 l∥α； ②若 l⊥α，l∥β，则 α⊥β； ③若 l 上有两个点到 α 的距离相等，则 l∥α； ④若 α⊥β，α∥γ，则 γ⊥β. 其中正确命题的序号是________．
解析 ①有直线 l⊂α 的可能；②中可以过直线 l 作第三 个平面与平面 β 相交于直线 m，根据线面平行的性质定 理，知 m∥l，又 l⊥α，根据线面垂直的性质定理，得 m⊥α，再根据面面垂直的判定定理，得 α⊥β，故②正 确；③中包含两个点在平面两侧的情况；④在平面 α 内 作与 α 和 β 交线垂直的直线 m，根据面面垂直的性质定 理，得 m⊥β，再过直线 m 作平面 δ，这个平面与平面 γ 相交于直线 n，根据面面垂直的性质定理，知 m∥n，根 据线面垂直的性质定理，知 n⊥β，再根据面面垂直的判 定定理，知 γ⊥β，故④正确．故填②④.
立体几何
失分点 19 三视图识图不准致误 例1 已知某个几何体的三视图如图所示，则这个几何
体的体积是________．
错解
4 000 3
找准失分点 ①不能根据三视图还原几何体；②运算出错．
失分原因与防范措施 本题失分的主要原因是还原几何 体时出错，其次是弄不清楚几何体中的线面关系及线段长 度，再次是计算错误.在由三视图还原为空间几何体的实 际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则， 空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓 线为虚线.在还原空间几何体实际形状时一般是以正视图 和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑.
答wk.baidu.com B
失分点 20 对线面关系定理理解不准致误 例 2 已知 m、n 是不同的直线，α、β、γ 是不同的平面．给
出下列命题： (1)若 α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则 n⊥α，或 n⊥β； (2)若 α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则 m∥n； (3)若 m 不垂直于 α，则 m 不可能垂直于 α 内的无数 条直线； (4)若 α∩β＝m，n∥m，且 n⊄α，n⊄β，则 n∥α，且 n∥β. 其中正确的命题序号是________．
⇒B1C⊥平面ABC1D1 BD1⊂平面ABC1D1
AB∩BC1＝B
⇒BE1FC∥⊥BBDD11⇒EF⊥B1C.
变式训练 3 如图所示，在四棱锥 P－ABCD 中，
这个空间几何体的表面积是
()
A．4π
B．4(π＋1) C．5π
D．6π
解析 这是一个由轴截面割开的半个圆柱与一个球的
组合体，其表面积是圆柱的上下两个底面半圆，圆柱的
侧面积的一半、圆柱的轴截面和球的表面积之和，故这
个表面积是 4π×(12)2
2×
1 2
×π×12
＋
1 2
×2π×1×2
＋
2×2
＋
＝4(π＋1)．故选 B.
找准失分点 (3)是错误的．
失分原因与防范措施 本题失分原因：定理、性质、记 忆不准确，错用、乱用.防范失误的措施：一是对错误 的要逐个寻找反例作出否定，对正确的要逐个进行逻辑 证明；二是结合模型作出判断，但要注意定理应用准确， 考虑周全.
正解 (1)是错误的． 如正方体中面 ABB′A′⊥面 ADD′A′，交线为 AA′. 直线 AC⊥AA′，但 AC 不垂直面 ABB′A′，同时 AC 也不垂直面 ADD′A′. (2)正确．实质上是两平面平行的性质定理． (3)是错误的．在上面的正方体中，A′C 不 垂直于平面 A′B′C′D′，但与 B′D′ 垂直．这样 A′C 就垂直于平面 A′B′C′D′内与直 线 B′D′平行的无数条直线． (4)正确．利用线面平行的判定定理即可． 故填：(2)(4)．
正解 (1)连接 BD1，如图所示， 在△DD1B 中，E、F 分别为 DD1、DB 的中点，则
EF∥D1B
D1B⊂平面ABC1D1⇒EF∥平面 ABC1D1.
EF⊄平面ABC1D1
(2)ABCD－A1B1C1D1 为正方体⇒AB⊥面 BCC1B1
⇒B1C⊥AB
BA1BC，⊥BBCC1⊂1 平面ABC1D1
答案 ②④
失分点 21 线面位置关系定理使用不当致误 例 3 在棱长为 2 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F
分别为 DD1、DB 的中点．(1)求证：EF∥平面 ABC1D1； (2)求证：EF⊥B1C. 错解 (1)连接 BD1， ∵E、F 分别为 DD1、DB 的中点．∴EF∥D1B， ∴EF∥平面 ABC1D1. (2)AC⊥BD， 又 AC⊥D1D， ∴AC⊥平面 BDD1， ∴EF⊥AC. 找准失分点 (1)由 EF∥BD1 得 EF∥平面 ABC1D1 时， 缺少 EF⊄平面 ABC1D1 的条件．(2)思路不清．
失分原因与防范措施 本题失分原因主要有两点：一是推理论 证不严谨，在使用线面位置关系的判定定理、性质定理时忽视 定理的使用条件，如由 E F ∥D 1B 就直接得出 E F ∥平面 A B C 1D 1； 二是线面位置关系的证明思路出错，如本题第（2）问的证明， 缺乏转化的思想意识，不知道要证明线线垂直可以通过线面垂 直达到目的，出现证明上的错误. 防范失误的措施：证明空间线面位置关系的基本思想是转化与 化归，根据线面平行、垂直关系的判定和性质，进行相互之间 的转化，如本题第（2）问是证明线线垂直，但分析问题时不能 只局限在线上，要把相关的线归结到某个平面上（或是把与这 些线平行的直线归结到某个平面上），通过证明线面的垂直达到 证明线线垂直的目的，但证明线面垂直又要借助于线线垂直， 在不断的相互转化中达到最终目的.解这类问题时要注意推理 严谨，使用定理时找足条件，书写规范等.
正解 如图所示，作几何体 S－ABCD 且知平面 SCD⊥
平面 ABCD，四边形 ABCD 为正方形，作 SE⊥CD 于点
E，得 SE⊥面 ABCD 且 SE＝20.
∴VS－ABCD＝31S▱ABCD·SE＝8 0300；
∴这个几何体的体积是8
000 3.
变式训练 1 一个空间几何体的三视图，如图所示，则
变式训练 2 已知 α、β、γ 是三个互不重合的平面，l 是一条直线，给出下列四个命题： ①若 α⊥β，l⊥β，则 l∥α； ②若 l⊥α，l∥β，则 α⊥β； ③若 l 上有两个点到 α 的距离相等，则 l∥α； ④若 α⊥β，α∥γ，则 γ⊥β. 其中正确命题的序号是________．
解析 ①有直线 l⊂α 的可能；②中可以过直线 l 作第三 个平面与平面 β 相交于直线 m，根据线面平行的性质定 理，知 m∥l，又 l⊥α，根据线面垂直的性质定理，得 m⊥α，再根据面面垂直的判定定理，得 α⊥β，故②正 确；③中包含两个点在平面两侧的情况；④在平面 α 内 作与 α 和 β 交线垂直的直线 m，根据面面垂直的性质定 理，得 m⊥β，再过直线 m 作平面 δ，这个平面与平面 γ 相交于直线 n，根据面面垂直的性质定理，知 m∥n，根 据线面垂直的性质定理，知 n⊥β，再根据面面垂直的判 定定理，知 γ⊥β，故④正确．故填②④.
立体几何
失分点 19 三视图识图不准致误 例1 已知某个几何体的三视图如图所示，则这个几何
体的体积是________．
错解
4 000 3
找准失分点 ①不能根据三视图还原几何体；②运算出错．
失分原因与防范措施 本题失分的主要原因是还原几何 体时出错，其次是弄不清楚几何体中的线面关系及线段长 度，再次是计算错误.在由三视图还原为空间几何体的实 际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则， 空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓 线为虚线.在还原空间几何体实际形状时一般是以正视图 和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑.
答wk.baidu.com B
失分点 20 对线面关系定理理解不准致误 例 2 已知 m、n 是不同的直线，α、β、γ 是不同的平面．给
出下列命题： (1)若 α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则 n⊥α，或 n⊥β； (2)若 α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则 m∥n； (3)若 m 不垂直于 α，则 m 不可能垂直于 α 内的无数 条直线； (4)若 α∩β＝m，n∥m，且 n⊄α，n⊄β，则 n∥α，且 n∥β. 其中正确的命题序号是________．
⇒B1C⊥平面ABC1D1 BD1⊂平面ABC1D1
AB∩BC1＝B
⇒BE1FC∥⊥BBDD11⇒EF⊥B1C.
变式训练 3 如图所示，在四棱锥 P－ABCD 中，
这个空间几何体的表面积是
()
A．4π
B．4(π＋1) C．5π
D．6π
解析 这是一个由轴截面割开的半个圆柱与一个球的
组合体，其表面积是圆柱的上下两个底面半圆，圆柱的
侧面积的一半、圆柱的轴截面和球的表面积之和，故这
个表面积是 4π×(12)2
2×
1 2
×π×12
＋
1 2
×2π×1×2
＋
2×2
＋
＝4(π＋1)．故选 B.