第三章材料力学扭转

BC段
T1+Me2=0
T1 = -4kN·m
AB段
T2+Me2-Me1=0
T2 =2kN·m
最大扭矩发生在BC段
· |T|max=4kN m
· 2kN m +
2
1
Me1
Me2
A
B
C
l
l
T1
Me2
_
· 4kN m
C
T2
Me1
Me2
B
C
（2）求轴的最大切应力及位置
max
Tmax Wp
Tmax
πD3 (1 4 )
（3）理解应变能的概念并能够进行杆件的应变能计算。
（4）了解矩形截面杆自由扭转时的应力和变形计算方法。
！把重点放在前两条上面（红色字体）
第三章 扭转
受力特点: 杆件的两端作用两个大小相等、转向相反、且作用面垂直于杆件轴线 的力偶。
Me
Me
变形特点： Ⅰ. 相邻横截面绕杆的轴线相对转动； Ⅱ. 杆表面的纵向线变成螺旋线； Ⅲ. 实际构件在工作时除发生扭转变形外， 还伴随有弯曲或拉、压等变形。
§3-2 薄壁圆筒的扭转
薄壁圆筒——通常指
的r0圆筒
10
Me
n
Me
δ
第三章 扭转
T
nຫໍສະໝຸດ Baidul
当其两端面上作用有外力偶矩时，任一横截面上的内力偶矩——扭矩
T Me
薄壁圆筒的扭转
第三章 扭转
（1）薄壁圆筒表面上每个格子的直角均改变了γ，这种直角改变量称为切应变。
（2）该圆筒两个端面之间绕圆筒轴线相对转动了φ角，这种角位移称为相对扭 转角。
G
该式称为材料的剪切胡克定律
O
– G 剪切(切变)模量
三个弹性常数的关系
G E
2(1 )
O
§3-3 传动轴的外力偶矩 ·扭矩及扭矩图
作用于每一轮上的外力偶矩：
{M e }Nm
{P}kw 103 60 2π{n}r / min
9.55103
{P}kw {n}r / min
扭矩及扭矩图
传动轴横截面上的扭矩T 可利用截面法来计算。
MA
MB
MC
A
B
C
MA
A
22 +
MB
B
MC
C
14
第三章 扭转
解：1. 绘扭矩图
2. 求每段轴的横截面上的最大切 应力
AB 段内
( 1,max
T1 Wp1
22103 N m π 120 103 m 3
16
64.8106 Pa 64.8 MPa
BC 段内
( 2,max
T2 Wp 2
14103 N m π 100103 m 3
Dd
( ( Wp
Ip D/2
π
D4 d 4 16D
πD3 1 4
16
第三章 扭转
d
【练习】图示空心圆轴外径 D=100mm，内径d=80mm， M1=6kN·m，M2=4kN·m，材料的切变模量G=80GPa。
（1） 作轴的扭矩图； （2） 求轴的最大切应力及其位置。
M1
M2
A
B
C
l
l
解:（1）作轴的扭矩图
34.5MPa
16
最大切应力发生在截面的周边上，且 垂直于半径。
A max
M1
M2
B
C
l
l
T
max
课本67页斜截面上的应力看一下，考斜截面的可能 性小，但并不是一定排除在外，有些题目也涉及到 了斜截面的内容，所以这一节不可忽略
1.切应力互等定理 2.纯剪切应力状态 3.斜截面正应力切应力计算公式
Me
Ⅰ
Me
m
n
(a)
A
Ⅰ
nn
Me
I
T
T = Me
I
第三章 扭转
m B
第三章 扭转
扭矩的正负可按右手螺旋法则确定：扭矩矢量离开截面为正，指向截面为
负。
mI T
I mI
T
I
m
T
I
I
m
T
T(+) T(-)
课本62页做扭矩图的方法以及例题3-1好好看下。
第三章 扭转
§3-4 等直圆杆扭转时的应力·强度条件
sin 2, cos 2
！69页铸铁低碳钢扭转实验了解即可，不会考。
强度条件
1、数学表达式 2、强度条件的应用
max
Tmax Wt
[ ]
强度校核
Tmax [ ]
Wt
设计截面
Wt
Tmax
[ ]
第三章 扭转
确定许可荷载
Tmax Wt [ ]
第三章 扭转
【练习】图示阶梯状圆轴，AB段直径d1=120 mm，BC段直径d2=100 mm。扭转 力偶矩MA =22 kN·m，MB =36 kN·m，MC =14 kN·m，材料的许用切应力[ ]80 MPa。试校核该轴的强度。
第三章 扭转
剪切胡克定律
Me γ
A
D
B
C
Me φ
l
在认为切应力沿壁厚均匀分布的情况下，切应变也是不沿壁厚变化的， 故有
r/l
注意：此处 r 为薄壁圆筒的外半径。
薄壁圆筒的扭转试验发现：当外力偶 Me 在某一范围内时，φ与 Me （在数值上等 于T ）成正比。
T
T 2 A0
r
l
可推出 与 间的线性关系：
第三章
扭转
扭转这一章节一般出一道大题，而且这一章题型比较独立，不牵涉其 他章节的知识点，这一章题分值大概15分，而且题型比较简单，把公式记 牢，概念好好理解，应该问题不大。
• 铁大考试大纲：
扭转（5-10%）
（1）掌握圆轴扭转时横截面上的扭矩计算和切应力计算方 法，掌握握圆轴扭转的变形计算方法。
（2）熟练运用强度条件和刚度条件对圆轴进行设计。
➢ 圆截面的极惯性矩Ip 和扭转截面系数Wp
实心圆截面：
d
Ip
2 d A
A
d
d
O
2 2π 3 d 0
πd 4 32
Wp
Ip d /2
πd 3 16
第三章 扭转
空心圆截面：
D
Ip
2 d A
2 d
2π 3
d
A
2
( ( π D4 d 4 πD4 1 4
32
32
其中 d
D
由剪切胡克定律
物理方面
G
G
G
d
dx
r
第三章 扭转
o
max
同一圆周上各点切应力 均相同，且其值与 成正比， 与半径垂直。
静力关系
➢ 公式的建立
A dA T
ρ G ρ dφ dA T
A
dx
G d 2dA T
dx A
A ρ2dA Ip
d T
dx GIp
代入物理关系中得到
Ⅰ. 横截面上的应力
变形几何关系
观察变形 提出假设
变形的分布规律
物理关系
应力的分布规律
静力关系
建立公式
变形几何关系
1、变形现象 （1） 轴向线仍为直线，且长度不变； （2）横截面仍为平面且与轴线垂直； （3）径向线保持为直线，只是绕轴
线旋转。
2、平面假设 —变形前为平面的横截面 ，变形 后仍保持为平面。
dA T
ρ ρ O
ρ
ρ
r
dA
T
IP
T — 横截面上的扭矩 — 求应力的点到圆心的距离 Ip — 横截面对圆心的极惯性矩
T
max
d T
max
D
max
第三章 扭转
T
Ip
横截面周边上各点处( r)的最大切应力为
max
d
max
Tr Ip
T Ip r
T Wp
式中Wp称为扭转截面系数，其单位为 m3。