解析几何中的面积最值问题

l 2

l

1B D A

F 2

F 1O P

面积问题与最值问题

1.统一的思路：主要以斜率k 为变量

2.关键是面积是如何表示？三角形或四边形

1） 三角形面积：1212111222

a x y S a h l y y l x x =•=-=-底

2） 四边形面积：121

sin 2

S l l α=•

3）椭圆压缩成圆求解

22212121122

12211:1(0201301:4,,.(1)))(2.

P C x y l l P l C A B C D C ABD x y C a b a b

C l -⎡⎤⎣⎦+=>>∆+=引入：浙江理如图，点（，）是椭圆的一个顶点，的长轴是圆的直径，是过点互相垂直的两条直线，其中圆交于两点，交椭圆于另一点求椭圆的方程

求的面积取最大值时的方程

例1（2007安徽）设F 是抛物线2

:4G x y =的焦点． （I ）过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程；

（II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0FA FB =，延长AF ，BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求四边形ABCD 面积的最小值．

例2 [2011湖南理]如图7，椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>3

x 轴被曲线

22:C y x b

=-截得的线段长等于C1的长半轴长。

（Ⅰ）求C1，C2的方程；

（Ⅱ）设C2与y 轴的焦点为M ，过坐标原点O 的直线l 与C2相交于点A,B,直线MA,MB 分别与C1相交与D,E ．

（i ）证明：MD ⊥ME;

（ii ）记△MAB,△MDE 的面积分别是12,S S ．问：是否存在直线l,使得121732

S S =?请说明理由。

例3[2012年高考（浙江理）]如图,椭圆C:22

22+1x y a b

=(a >b >0)的离心率为12,其左焦点到点

P (2,1)10不过原点O 的直线l 与C 相交于A ,B 两点,且线段AB 被直线OP 平分.

(Ⅰ)求椭圆C 的方程;

(Ⅱ) 求∆ABP 的面积取最大时直线l 的方程.

例4 （2012年高考（广东理））(解析几何)在平面直角坐

标系xOy 中,已知椭圆C :22

221x y a b

+=(0a b >>)

的离心率2

3

e =

C 上的点到点()0,2Q 的距

离的最大值为3. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;

(Ⅱ)在椭圆C 上,是否存在点(),M m n ,使得直线l :1mx ny +=与圆O :221x y +=相交于不同的两点A 、B ,且OAB ∆的面积最大?若存在,求出点M 的坐标及对应的

OAB ∆的面积;若不存在,请说明理由.

(

)

()()()()()111112212222555,02

1220,:4,():4,O F

C e C M x y l x x y y N x y x x l x x y y E

C G H OGH =

+=≠+=例已知以原点为中心，为右焦点的双曲线的离心率求双曲线的标准方程及其渐近线方程；

如题图，已知过点的直线与过点其中的直线的交点在双曲线上，直线MN 与双曲线的两天渐近线分别交于两点，求△的面积

例6 [2009湖北理]过抛物线2

2(0)y px p =>的对称轴上一点()(),00A a a >的直线与抛

物线相交于M 、N 两点，自M 、N 向直线:l x a =-作垂线，垂足分别为1M 、1N 。

（Ⅰ）当2

p

a =时，求证：1AM ⊥1AN ； （Ⅱ）记

1AMM ∆、11AM N ∆ 、1ANN ∆的面积分别为1S 、2S 、3S ，是否存在λ，

使得对任意的0a >，都有2

212S S S λ=成立。若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由。

例7已知双曲线C 的方程为22

221(0,0),y x a b a b

-=>>

离心率5

2

e =

顶点到渐近线的距离为255 （Ⅰ）求双曲线C 的方程；

（Ⅱ）如图，P 是双曲线C 上一点，A,B 两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一，二象限.若1,[,2],3

AP PB λλ=∈求△AOB 面积的取值范围.

巩固与练习：

1． 如图，已知抛物线2

:E y x

=与圆222

:(4)(0)M x y r r -+=>相交于A 、B 、C 、D

四个点。

（I ）求r 的取值范围； 15,4)2

（II ）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线AC 、BD 的交点P 的坐标。 7(,0)6

2． 已知椭圆1C ：22221(0)x y a b a b +=>>的长轴长为4，离心率为1

2

，1F 、2F 分别为其

左、右焦点，一动圆过点2F ，且与直线1x =-相切。

（I ）求椭圆1C 的方程及动圆圆心轨迹C 的方程； 22

143

x y += 24y x = （II ）在曲线C 上有两点M N 、，椭圆1C 上有两点P Q 、，满足2MF 与2NF 共线，2PF 与2QF 共线，且22PF MF ，求四边形PMQN 面积的最小值。 8

3． 椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相

交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点． （I ）若6ED DF =，求k 的值； 23k =

或38

k = （II ）求四边形AEBF 面积的最大值． 22 D

F B

y

A

O

E