矢量代数与矢量微积分基础

K
K
加一矢量 −b 等价于减去矢量 b 。所以，定义矢量减法为（见图 1-6）
பைடு நூலகம்
K d
=
K a
−
K b
=
K a
+
K (−b )
(1.1.4)
矢量分量表示
如果考虑一个在
x-y
平面的二维矢量
K a
，如图
1-7
所示。分量
ax
和
ay
分别为矢量
K a
在
x
轴和 y 轴上的投影。根据三角关系，容易得到
ax = a cosθ 和 ay = a sinθ 矢量的大小，也称为矢量的模，记为 a ≡ aK ，
（1）标量积
矢量
aK
和
K b
的标量积定义为
aK
⋅
K b
=
abcosφ
。
(1.1.10)
KK 图 1-9 (a) 两矢量 a 和 b 及其夹角φ ；(b) 一矢量在另一矢量的投影分量
由于两矢量间的乘积关系用点表示，标量积也称为点积（dot product）或内积（inner
product）。(1.1.10)式是读作“
图 1-1 表示的位移矢量 AB 的例子，它只表示物体从 A 点运动 到 B 点的位置的变化，但是并不能说明物体是从哪条路径从 A 点到 达 B 点的。所以位移矢量并不包含路径的任何信息。如果物体从某 点 A 到点 B，然后又从点 B 到点 C，那么物体运动从点 A 到点 C 的 净位移是矢量 AB 和 BC 的矢量和，如图 1-2。
+
a
2 y
+
az2
(1.1.8)
任何矢量都可以表示成为其模与其矢量方向的单位矢量之积来表示。比如，若我们记矢
量
K a
方向的单位矢量为
nˆ
a
，则我们可以把
K a
表示为
aK =
aK nˆ a
= anˆ a ，或者 nˆ a
=
K aK a
。
(1.1.9)
矢量乘法规则及其几何意义
矢量乘法包括标量积和矢量积两种。
(1.1.14)
即相同单位矢量的标量积为 1，不同单位矢量的标量积为 0。这个性质可以用一个简洁 的关系表示：
eˆl
⋅ eˆ k
= δlk
=
⎧1, ⎨⎩0,
l =k l≠
k
（l,
k
= 1,2,3）
(1.1.15)
为方便起见，记 eˆl（l =1,2,3）表示单位矢量 iˆ 、 ˆj 和 kˆ 中的任意一个，eˆ1 = iˆ, eˆ2 = ˆj, 以
(1.1.5)
根据三角关系有
a=
ax2 + ay2
以 及 tanθ = ay ax
(1.1.6)
图 1-7
(a)
K 矢量 a 的分量 ax 和 ay
；
（b）分量的合成。
三维笛卡尔坐标下矢量的分量表示
图 1-8 三维矢量图。单位矢量 iˆ 、 ˆj 和 kˆ 按右手定则定义了笛卡尔坐标系。
如图 1-8 所示坐标轴确定的坐标系为右手坐标系。图中 iˆ 、 ˆj 和 kˆ 分别为在 x、y 和 z
K a
和
K b
的标量积可以记为
( ) ( ) K
a
⋅
K b
=
axiˆ + ay ˆj + azkˆ
⋅
bxiˆ + by ˆj + bzkˆ
。
根据标量积的定义，不难确定单位矢量间的关系：
(1.1.12) (1.1.13)
iˆ ⋅iˆ = ˆj ⋅ ˆj = kˆ ⋅ kˆ = 1; iˆ ⋅ ˆj = ˆj ⋅ kˆ = iˆ ⋅ kˆ = 0
图 1-3 两矢量求和可交换顺序
（2）结合律 其矢量关系见图 1-4
(
K a
+
K b
)
+
K c
=
K a
+
(bK
+
K c
)
(1.1.3)
图 1-4 三矢量和的结合律
（3）矢量减法
K
K
矢量 −b 定义为其大小等于矢量 b 但是方向相反，如图 1-5。
K
K
图 1-5 矢量 −b 与矢量 b
图 1-6 矢量减法用矢量加法表示
§1.1.1 矢量与矢量代数运算
矢量是既有大小也有方向的量。物理学中许多物理量为矢量，比如位移矢量，动量， 角动量，力，电场，磁场，……都是矢量。有些物理量为标量，像温度、热容量、能量、质 量、时间，…….等等，只有大小而没有方向。标量满足一般的代数关系，而矢量的代数关 系是不同于标量的。进一步地，在微分等运算中矢量的表现形式也是与标量很不一样的。因 此，有必要关于矢量运算的各种形式作介绍。
K a
点乘
K b
”。该式可以改写为
aK
⋅
K b
=
(
acosφ
)
(b
)
=
(
a
)
(
bcosφ
)
，
(1.1.11)
式中矢量
a
cos
φ
是
K a
投影到矢量
K b
方向的分量，b
cosφ
是矢量
K b
投影到矢量
K a
方向的分量。
这意味着标量积是可以交换的。所以我们有
K a
⋅
K b
=
K b
⋅
K a
用三维矢量的形式，矢量
图 1-1 相同起始位置 A 和
B 不同路径的位移矢量
图 1-2（a）矢量 AC 是矢量 AB 与 BC 的矢量和（b）等价的矢量图
图 1-2 中的矢量和关系可以表示为矢量方程
K s
=
K a
+
K b
。
矢量加减法运算规则
（1）交换律
矢量关系见图 1-3，而数学表达则为
K a
+
K b
=
K b
+
K a
(1.1.1) (1.1.2)
第 1 章 矢量代数与矢量微积分
§1.1 矢量代数
本章并不是要介绍我们所需要的所有数学方法，而是根据学生在初学阶段的需要主要 介绍矢量代数及其相关的运算规则。旨在为更好的理解物理学描述物体运动的方式和物理思 想奠定基础。另一方面，物理学发展到现在的信息时代，我们认为仅仅掌握普通的数学方法 是不够的，无论从掌握基本物理概念，还是从探究式学习的角度，我们认为引入计算机教学 是非常必要的。这里，我们把计算机算法作为数学方法的一种补充。但是计算机的方法很多， 我们这里只介绍 Matlab 算法在物理学中的应用。由于该程序非常普及易学，我们只是抛砖 引玉式地作一简单介绍，旨在把学生引导到这一探究式学习的道路上来。
及 eˆ3 = kˆ 。 δlk 称为克罗内克Delta（Kronecker Delta）符号。所以，容易证明(1.1.13)式可以
写为
∑ K
a
⋅
K b
=
axbx
+
ayby
+
azbz
=
3
aibi ≡ aibi 。
i=1
(1.1.16)
在上面第二个等式，下指标表示的意义是 i = 1, 2, 3 对应于 a1 = ax , a2 = ay , a3 = az ；同样的 K
轴上长度为
1
个单位且相互垂直的单位矢量。任意矢量
K a
可以用三个单位矢量来表示：
K a
=
ax
iˆ
+
ay
ˆj
+
az
kˆ
(1.1.7)
量 axiˆ、 ay ˆj 和 azkˆ 是矢量 aK 的“矢量分量”，而 ax , ay 和 az 是矢量 aK 的“标量分量”。 矢
量
K a
的模是
a = aK =
ax2