高中数学：多项式理论

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初等代数研究
第二讲 多项式理论
一、一元多项式理论与轮换、对称多项式 二、根式、指数式、对数式理论 三、三角式理论
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一、一元多项式理论与轮换多项式
多项式是代数学中的一个基本概念，也是代 数式中的一种，对代数式的研究都要归结于对多 项式的研究。多项式的恒等变形是解析式恒等变 形的基础，它把数系的通性推广到整式，使运算 对象由具体的数抽象为一般字母并把运算法则、 运算律抽象成一组形式化符号，形成严密的理论 体系，为解代数方程奠定了理论基础。
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分解因式中的两个有用的结论：
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对称、轮换多项式
主要内容： 1、对称多项式的定义；
2、对称多项式的形式；
3、基本对称函数与根与系数的关系；
4、轮换多项式的定义与因式分解；
5、用基本对称函数表示对称多项式。
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定义分析：
1、一个置换实际上是指一个排列；
2、置换的总数共有n!种。
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因式分解的理论基础是因式定理
4、多项式的因式分解
中学教材规定：“把一个多项式化成
几个整式乘积的形式，叫做多项式的因式
分解”。要求：“因式分解要进行到不能
再分解为止。”
高等代数中规定因式分解的涵义是：
“所谓因式分解是把数域F上的一个多项式
化成几个既约多项式乘积的形式。”
2、轮换的总数共有 种。
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对称多项式与轮换多项式的关系：对称多 项式是轮换多项式，反之不然。
性质：两个轮换多项式的和、差、积、商、
幂仍是轮换多项式。 整理ppt
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（4）轮换多项式的因式分解（因式定理）
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轮换多项式因式分解的一般步骤：
1）确定要分解的多项式是轮换多项式；
2）利用因式定理确定出部分因式；
3）据多项式的对称性，写出其他有关多项 式的形式（待定系数法）
4）利用多项式恒等确定待定系数的数值。
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用基本对称函数表示对称多项式
题记： 赞美月亮切勿用贬低星星的做法，不然在
赞美太阳时就可能用同样的方法贬低月亮。
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（5）用基本对称函数表示对称多项式
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多元多项式的因式分解
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分式与根式
分式与根式研究的主要内容： 1、分式的恒等
2、根式的定义与意义
3、复合根式的计算
4、根式的恒等变形和化简
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一、有理分式的恒等
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二、根式的定义和意义
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三、复合根式的计算
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四、根式的恒等变形的化简
类型1 多元代数式型
基本思想：观察代数式的结构，转化为基 本对称多项式的形式
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类型2 一元代数式型根式 基本思想：转化为一元代数方程式
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（一）解析式的定义和恒等
1、定义：用运算符号把数、表示数的字母连 接而成的式子叫做解析式。
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说明：
1、在研究解析式恒等时，一定要清楚他
们在什么范围内讨论。（公共定义域）
2、解析式的恒等变形，可能引起定义域
的变化。
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（二）一元多项式理论
1、一元多项式的标准形式
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多项式理论是方程理论、函数理论、不等 式理论的基础。
2、多项式的恒等
定理1：数域F上的两个具有相同变数字母的 多项式，如果对于变数字母的所有取值，这 两个多项式的值都相等，那么称这两个多项 式是恒等的。
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特别地：一个一元n次多项式，如果对于 变数字母的任意取值，以标准形式给出的多 项式的值恒为0，那么这个多项式的系数都等 于0，这个多项式称为0多项式。
第二讲 多项式理论
题记: 克莱因评价高斯在数学中的地位：“我们会
得出这样一个数学场景，如果把18世纪的数学界 想象成为一系列高山峻岭，那么最后一个令人肃 然起敬的峰巅便是高斯，如果把18世纪的数学界 想象成为一条条江河，那么源头便是高斯，他是 那样一个广大丰富的区域中充满了生命的新元 素。”
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定理2：数域F上以标准形式给出的两个多项 式恒等的充要条件是这两个多项式的对应项 分别具有相同系数的同类项。
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定理3：数域F上以标准形式给出的两个多 项式，对于变数x的n+1个不同的值有相同 的取值，那么这两个多项式恒等。
定理2、定理3是“待定系数法”的理论依据。
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3、多项式的整除
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类型3 一元代数式型 基本思想：降低次数法
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类型4 方程型无理根式
基本思想：构造对偶式、函数等方法， 利用相关性质求解
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5、代数代换法
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6、函数型根式——构造几何模型法
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历史背景
16世纪的欧洲，资本主义迅速发展， 科学和技术迅猛发展。天文、航海、测绘、 造船等行业不断向数学提出新的课题。令 人头痛的问题是：星体的轨迹运算、船只 的位置确定、大地的形貌测绘、船舶的结 构设计等一系列课题中，人们遇到的数据 越来越庞杂，所需的计算越来越繁难，耗 费了科学家们宝贵的时间和精力。路在何 方？
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7、三角形代换法
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（三）三角方法的应用
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指数式与对数式
题记
如果计算生命的长短 不以活着的年龄为标准， 而以人的贡献来计算的话， 那么对数的发现将人类的 寿命延长了两倍。
——拉普拉斯
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主要内容
1、对数的起源和发展； 2、指数式与对数式的相互关系； 3、指数式与对数式的恒等变形。
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判断下列多项式是否是对称多项式
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（2）基本对称函数（基本对称多项式）
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广义韦达定理：
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结论1：任何对称多项式都可以表示成基本 对称函数的形式。
结论2：两个对称多项式的和、差、积、 商、乘方（幂）也是对称多项式。
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定义分析：
1、轮换：轮流替换；
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关于因式分解理论，有两个基本问题： （1）怎样判断一个多项式是否可约？ （2）如果一个多项式是可约的，如何分解？
对于（1）高等代数作出了回答：在复数域 中，一次多项式是既约的，任何次数大于1 的多项式都是可约的；在实数域中，次数大 于等于3的多项式是可约的；在有理数域中， 情况比较复杂，具体问题具体讨论 。