细观力学1

σ ij = Cijkl ε kl
0 eff 0 σ ij = Cijkl ε kl
0 0 σij εkl 为宏观应力和宏观应变
ε ij = fijklσ kl
0 eff 0 ε ij = fijkl σ kl
effective properties
四、线弹性复合材料的均匀化
2、有效刚度和有效柔度的均匀化过程 、
3.Homogeneous boundary conditions 均匀边界条件 ui ( S ) = ε x j
0
ij
ε 0 单值不变
ij
0 Ti ( S ) = σ ij n j
σ 0 单值不变
ij
0 σ ij = σ ij 0 ε ij = ε ij
场量在RVE内的平均值与复合材料内的平均值相等 内的平均值与复合材料内的平均值相等 场量在
四、线弹性复合材料的均匀化
对多相复合材料，平均应力、 对多相复合材料，平均应力、应变等可用体积分数表示
F
V
=
1 1 F dV = ( ∫ F dV + ∫ F dV + L) V2 V ∫V V V1
V1 1 V2 1 = ∫V1FdV + V V2 ∫VF dV + L 2 V V1
= v1 F
matrix and inclusion
RVE
由各种力学和几何特征所集合的非均匀材料构成了RVE。 。 由各种力学和几何特征所集合的非均匀材料构成了 宏观上表现为一点，表现为细观结构时，作用于RVE上的荷 宏观上表现为一点，表现为细观结构时，作用于 上的荷 载产生复杂的局部场量，并通过宏观变量表现出来。 载产生复杂的局部场量，并通过宏观变量表现出来。 RVE尺度的二重性：宏观上足够小，可看做物质点，因而RVE 尺度的二重性：宏观上足够小，可看做物质点，因而 尺度的二重性 中的宏观应力、应变可视为均匀；细观上足够大， 中的宏观应力、应变可视为均匀；细观上足够大，包含足够的 细观结构信息，可代表局部连续介质的统计平均性质。 细观结构信息，可代表局部连续介质的统计平均性质。
建立复合材料宏观性能与组分性能及结构之间的 定量关系。 定量关系。 揭示复合材料结构在一定工况下的相应规律及本 质 为复合材料优化设计、性能评价提供必要的理论 为复合材料优化设计、 依据及手段。 依据及手段。
一、细观力学的研究内容
非均质介质等效性能的预测（刚度、热物理特性） 非均质介质等效性能的预测（刚度、热物理特性）
r ijkl
ε ij
(r )
−C
0 ijkl
∑v
r =1
n
r
ε ij
(r
C
eff ijkl
=C
0 ijkl
+ ∑ vr (C
r =1
( 0)
n
r ijkl
− C ) ε kl
0 ijkl
(r )
/ ε ij
eff σ ij = Cijkl ε ij
ε ij = v0 ε ij
n
+ ∑ vr ε ij
Mori-Tanaka方法 方法
T.Mori and K.Tanaka, Acta Metall., vol.21, 571-574, 1973
微分法
R.A.Roscoe, J. Apl. Phys. Solids, vol.3, 267-269, 1952
变分原理求上下限方法
Z.Hashin and S.Shtrikman, J. Mech. Phys. Solids, vol.11, 127-140, 1963
引理的说明： 对Hill引理的说明： 引理的说明 1、应力、应变不一定满足本构关系。当用于满足 、应力、应变不一定满足本构关系。 本构关系的情况，则有宏观功（能量） 本构关系的情况，则有宏观功（能量）与微观功 能量）的体积平均相等。 均匀化条件） （能量）的体积平均相等。（Hill均匀化条件） 均匀化条件
RVE
V
∫
V
udV =
1 V
1 1 σ ij ε ij dV = ∫V 2 V
1 1 Cijkl ε ij ε kl dV = ∫V 2 V
1 ∫V 2 fijklσ ijσ kl dV
细观应力应变场通过体积平均值对宏观性能产生影响。 细观应力应变场通过体积平均值对宏观性能产生影响。
） 三、均匀化方法（homogenization theory for heterogeneous）
0 eff 0 σ ij = Cijkl ε kl 0 eff 0 ε ij = fijkl σ kl
σ ij = Cijkl ε kl = Cijkl uk ,l 或 ε ij = fijklσ kl
可通过
σ ij , j = 0
0 0 Ti ( S ) = σ ij n j 或 ui ( S ) = ε ij x j
） 三、均匀化方法（homogenization theory for heterogeneous）
2.average fields and effective priperties
1 def ⋅ = ∫V (⋅)dV V 1 σ ij = ∫ σ ij dV V V 1 ε ij = ∫ ε ij dV V V u = 1 V
r =1
n
eff 0 r 0 f ijkl = f ijkl + ∑ vr ( f ijkl − f ijkl ) σ kl r =1
(r )
/ σ ij
四、线弹性复合材料的均匀化
各向同性的球形夹杂
k = k0 + ∑ vr (k r − k0 ) ε kk
statistical homogenneity
非均匀材料组分的特征尺寸＜ 尺寸＜ 非均匀材料组分的特征尺寸＜ ＜ RVE尺寸＜ ＜ 结构特征尺寸 尺寸
） 三、均匀化方法（homogenization theory for heterogeneous）
homogenization
Statistical homogenneity
细观力学
内容
材料细观力学基础 本征应变的基本理论 复合材料弹性性能的预测 复合材料热传导性能的预测
第一章 材料细观力学基础
细观力学的研究内容 代表体积单元 均匀化方法 homogenization theory for heterogeneous
一、细观力学的研究内容 基于材料微结构信息确定材料宏观性能
0 eff 0 ε ij = fijkl σ kl
当边界为均匀应变时
0 εij 0 ε ij = Aε ij
局部化
σ ij = Cijkl ε kl
均匀化
0 σkl = σij
0 eff 0 σ ij = Cijkl ε kl
四、线弹性复合材料的均匀化
3、有效刚度和有效柔度的性质 、 1）对称性。 ）对称性。 2）一般情况下有效刚度和有效柔度是不互逆的。 ）一般情况下有效刚度和有效柔度是不互逆的。 fC = I + 0(d 3 / l 3 ) 若满足d 若满足 ＜ ＜l，则两种边界下的局部解答与均匀化问题可 ， 得到统一。 得到统一。
） 三、均匀化方法（homogenization theory for heterogeneous）
4. Hill’s principle
有分别满足平衡条件和应变协调条件的两个独立的 应力场和应变场，它们不一定满足本构关系。 应力场和应变场，它们不一定满足本构关系。如果 σ ij 在边界上满足均匀应力边界条件， 在边界上满足均匀应力边界条件，或 ε ij 在边界满足均 匀应变条件，则有 匀应变条件，则有:
二、细观力学的研究方法
1、基于有限的统计信息描述非均匀材料细观特性 、 2、离散微结构的研究方法 、 Eshelby等效夹杂理论 等效夹杂理论
J.D.Eshelby, Proc. Roy. Soc. (London), vol.240(A), 367-396, 1957
自洽理论
R.Hill, J. Mech. Phys. Solids, vol.13, 213-222, 1965
ij ijkl
( ε ( r ) = f r σ klr ) r = 0,1,L n
ij ijkl
σ ij = v0 σ ij
= C v ε kl
0 ijkl 0
(0)
+ ∑ vr σ ij
r =1
0 ijkl
n
(r )
( 0)
+C
∑v
r =1
n
r
ε ij
(r )
+ ∑ vr C
r =1 (r )
n
） 三、均匀化方法（homogenization theory for heterogeneous）
0 Ti ( S ) = σ ij n j 均匀应力边界条件
RVE
σ ij
1 1 = ∫ σ ij dV = ∫ (σ ik x j ),k dV V V V V 1 = ∫ σ ik x j nk dS 不计体力 σ ik ,k = 0 V S 1 0 1 0 0 = σ ik ∫ x j nk dS = σ ik ∫ x j ,k dV = σ ik S V V V
σ ij ε ij = σ ij ε ij σ ij ε ij = σ ε ij
0 ij 0 σ ij ε ij = σ ij ε ij
σ ij , j = 0
ε ij = (ui , j + u j ,i )
1 2
当边界为均匀应力时 当边界为均匀应变时
） 三、均匀化方法（homogenization theory for heterogeneous）
求解局部化问题
已知局部弹性刚度C或柔度 ， 已知局部弹性刚度 或柔度S，局部应力和局部应变 或柔度 可用宏观应力和宏观应变表示。 可用宏观应力和宏观应变表示。
四、线弹性复合材料的均匀化
当边界为均匀应力时
0 σij
局部化
0 σ ij = Bσ ij
ε ij = fijklσ kl
均匀化
0 εkl = εij
0 0 σ ij ε ij = σ ij ε ij
0 σ ij = σ ij 为Hill引理的特殊情况。 2、 引理的特殊情况。 、 引理的特殊情况 0 ε ij = ε ij
四、线弹性复合材料的均匀化
1、有效刚度和有效柔度的定义 、 考虑区V的线弹性非均匀复合材料 考虑区 的线弹性非均匀复合材料RVE，其边界 上作 的线弹性非均匀复合材料 ，其边界S上作 用均匀应力或均匀应变、材料各相之间保持连续、 用均匀应力或均匀应变、材料各相之间保持连续、处于自 然状态、等温状态。 的整体特征可认为是线弹性的。 然状态、等温状态。RVE的整体特征可认为是线弹性的。 的整体特征可认为是线弹性的 由局部本构 Def均匀化本构 均匀化本构 由局部本构 Def均匀化本构 均匀化本构
n
(1)
+ v2 F
(i )
( 2)
+L
σ源自文库ij = ∑ vi σ ij
i =1
ε ij = ∑ vi ε ij
i =1
n
(i )
u = ∑ vi u
i =1
n
(i )
四、线弹性复合材料的均匀化
对椭球形夹杂， 对椭球形夹杂，夹杂内的应力和应变是均匀的
( σ ( r ) = C r ε klr ) r = 0,1,L n
RVE
ε ij =
1 V
∫
V
0 ε ij dV = ε ij
ε ij
V
ui ni S
0 εik 称为宏观应变，即RVE边界上的均匀应变， 称为宏观应变， RVE边界上的均匀应变 边界上的均匀应变，
上的平均应变。 或RVE上的平均应变。 上的平均应变
0 σ ij = σ ij def 0 ε ij = ε ij
计算细观力学方法
） 三、均匀化方法（homogenization theory for heterogeneous）
1. RVE representative volum element and Effectiv fields RVE
homogenization
homogenneity
heterogeneous materials 等效均匀材料
等效介质与非均质材料有相同的响应规律
复合材料强度、 复合材料强度、断裂韧性等性能的预测
损伤演化过程
结构与功能材料一体化、 结构与功能材料一体化、多场的耦合作用
陶瓷基复合材料、 陶瓷基复合材料、新型功能材料
一、细观力学的研究内容
复 合 材 料 力 学 性 能
局部性—内部弹性场 局部性 内部弹性场 组分性能 刚度预测 微结构特征 宏观等效性能 强度预测
σ ij
V
Ti ni S
0 σik 称为宏观应力，即RVE边界上的均匀应力， 称为宏观应力， 边界上的均匀应力， 边界上的均匀应力
上的平均应力。 或RVE上的平均应力。 上的平均应力
） 三、均匀化方法（homogenization theory for heterogeneous）
0 ui ( S ) = ε ij x j 均匀应变边界条件