2020版一轮复习(浙江版)：第十三章-第四节 随机事件的概率与古典概型(课时跟踪检测)

第四节随机事件的概率与古典概型
[选题明细表]
知识点、方法题号
概率与频率 1
事件的判断 2
互斥事件、对立事件的概率14
简单古典概型3,4,5,7,11,15
古典概型综合问题6,8,9,10,12,13,16
一、选择题
1.下列说法:
①频率反映事件发生的频繁程度,概率反映事件发生的可能性大小;
②做n次随机试验,事件A发生m次,则事件A发生的频率就是事件A发生的概率;
③百分率是频率,但不是概率;
④频率是不能脱离n次试验的试验值,而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值;
⑤频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.
其中正确的是( A )
(A)①④⑤(B)①②④(C)①③(D)②⑤
解析:由频率与概率的定义知①④⑤正确,故选A.
2.从1,2,…,9中任取两数,给出下列事件:①恰有一个偶数和恰有一个奇数;②至少有一个奇数和两个数都是奇数;③至少有一个奇数和两个数都是偶数;④至少有一个奇数和至少有一个偶数.其中是对立事件的是( C )
(A)① (B)②④(C)③ (D)①③
解析:根据题意,从1,2,…,9中任取两数,其中可能的情况有“两个奇数”“两个偶数”“一个奇数与一个偶数”三种情况.依次分析所给的4个事件可得:①恰有一个偶数和恰有一个奇数都是“一个奇数与一个偶数”这种情况,不是对立事件;②至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况,与“两个数都是奇数”不是对立事件;③至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况,和“两个数都是偶数”是对立事件;④至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况,至少有一个偶数包括“两个偶数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况,不是对立事件.
故选C.
3.(2019·全国Ⅰ卷)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“——”和阴爻“- -”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是( A )
(A)(B)(C)(D)
解析:一共有26=64种可能,其中满足恰有3个阳爻的有=20种,故概率为=.故选A.
4.从4,5,6,7,8这5个数中任取两个数,则所取两个数之积能被3整除的概率是( A )
(A)(B)(C)(D)
解析:从4,5,6,7,8这5个数中一次性随机地取出两个数,共有10种取法,其中所取两个数之积能被3整除,则必选6,再从4,5,7,8中任选一个,共四种取法.所以概率为=.故选A.
5.袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个,从袋中一次任取3个小球,每个小球被取出的可能性都相等,则取出的3个小球上的数字互不相同的概率为( C )
(A)(B)(C)(D)
解析:根据题意“一次取出3个小球上的数字互不相同”的事件记为A,P(A)==.故选C.
6.锅中煮有芝麻馅汤圆6个,花生馅汤圆5个,豆沙馅汤圆4个,这三种汤圆的外部特征完全相同.从中任意舀取4个汤圆,则每种汤圆都至少取到1个的概率为( C )
(A)(B)(C)(D)
解析:根据题意总的取法为种,而所求事件的取法分为三种,即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆、豆沙馅汤圆取得个数分别为2,1,1;1,2,1;1, 1,2,
故所求概率为P==.
7.“序数”指每个数字比其左边的数字大的自然数(如1 246),在两位的“序数”中任取一个数比36大的概率是( A )
(A)(B)(C)(D)
解析:十位是1的两位的“序数”:8个;十位是2的:7个,
依此类推:十位分别是3,4,5,6,7,8的各有6,5,4,3,2,1个,
故两位的“序数”共有8+7+6+5+4+3+2+1=36个,
比36大的有:十位是3的:3个;十位是4的:5个,
依此类推:十位分别是5,6,7,8的各有4,3,2,1个,
所以比36大的两位的“序数”有3+5+4+3+2+1=18(个),
所以所求概率P==.故选A.
8.(2019·台州模拟)已知六人站成一排,其中甲、乙、丙三人两两不相邻,甲、丁两人必须相邻的概率为( A )
(A)(B)(C)(D)
解析:六人站成一排包含的基本事件总数为N==6×5×4×3×2×
1=720种,
设另外两人为戊、己,可以分步完成,
①甲丁捆绑后排序有=2种,
②捆绑后的甲丁、戊、己排序有=6种,
③将乙、丙插空,四个空位中与甲相邻的空位不能选择,故有=6种, 所以共有2×6×6=72种排法.
故甲、乙、丙三人两两不相邻,甲丁两人必须相邻包含的基本事件的个数为72种,
所以概率为P==.
故选A.
二、填空题
9.10件产品中有6件正品,4件次品,从中任取3件,则没有次品的概率为;至少有一件正品的概率为.
解析::由题意知:基本事件的总数应为n==120,“没有次品”包含的基本事件的个数为m==20,所以“没有次品”的概率为P===; “至少有一件正品”的对立事件是“都是次品”,它包含的基本事件的个数为=4,
所以“至少有一件正品”的概率为P=1-=.
答案:
10.(2019·暨阳4月联考)袋中有2个红球,2个白球,2个黑球共6个球,现有一个游戏:从袋中任取3个球,恰好三种颜色各取到1个则获奖,否则不获奖.则获奖的概率是,有3个人参与这个游戏,则
恰好有1人获奖的概率是.
解析:设中奖的事件为A,则事件A包含的基本事件的个数为=8,
所有的基本事件共有=20个,所以中奖概率为P(A)==;有3个人参与这个游戏,设中奖人数为X,则X～B(3,),所以
P(X=1)=××(1-)2=.
答案:
11.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,其中a,b∈{1,2,3,4,5, 6},若|a-b|≤1,就称甲、乙“心相近”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心相近”的概率为.
解析:甲、乙“心相近”,他们所有的选择如下:(1,1),(1,2),(2,1), (2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5), (5,6),(6,5),(6,6)共有16种情况,两人猜数的所有情况有36种,所以所求的概率为=.
答案:
12.投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次,第一次出现向上的点数为a,第二次出现向上的点数为b,直线l1的方程为ax-by-3=0,直线l2的方程为x-2y-2=0,则直线l1与直线l2有交点的概率为.
解析:投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次,向上的点数的结果有36种情况,直线l1与直线l2有交点即两直线斜率不相等,b≠2a,所以除(1,2),(2,4),(3,6)这3种情况外,其余都符合题意,即直线l1与直线l2有交点的情况有33种,故所求概率为=.
答案:
13.袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为,现有甲、乙两人从袋中轮流摸球,甲先取,乙后取,然后甲再取,…,取后不放回,直到两人中有一人取到白球时即终止,每个球在每一次被取出的机会是等可能的,袋中原来有个白球;取球2次即终止的概率是.
解析:设袋中原有n个白球,从袋中任取2个球都是白球的基本事件个数为,从袋中任取2个球包含的基本事件个数为.
所以任取2球都是白球的概率P==,则n(n-1)=6,解得n=3(舍去n=-2),即袋中原有3个白球;事件A为“取球2次即终止”.取球2次即终止,即甲取到的是黑球而乙取到的是白球P(A)==.
答案:3
三、解答题
14.(2019·全国Ⅱ卷)11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束.
(1)求P(X=2);
(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.
解:(1)X=2就是双方打成10∶10平后,两人又打了2个球该局比赛结束,则这2个球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.5×0.4+ (1-0.5)×(1-0.4)=0.5.
(2)X=4且甲获胜,就是双方打成10∶10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.
因此所求概率为[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1. 15.一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率;
(2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.
解:(1)由题意知,(a,b,c)所有的可能为(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3), (1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2, 1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3, 3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1), (3,3,2),(3,3,3),共27种.
设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A,
则事件A包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3种.
所以P(A)==.
因此,“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为.
(2)设“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”为事件B,则事件包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3种.
所以P(B)=1-P()=1-=.
因此,“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率为.
16.在一次抽奖活动中,被记为a,b,c,d,e,f的6人有获奖机会,抽奖规则如下:主办方先从这6人中任意抽取2人均获一等奖,再从余下的4人中随机抽取1人获二等奖,最后还从这余下的4人中随机抽取1人获三等奖,如果在每次抽取中,参与当次抽奖的人被抽到的机会相等.
(1)求a获一等奖的概率;
(2)若a,b已获一等奖,求c能获奖的概率.
解:(1)记“a获一等奖”为事件A,
从这6人中随机抽取两人,其一切可能的结果组成的基本事件有: {a,b},{a,c},{a,d},{a,e},{a,f},{b,c},{b,d},{b,e},{b,f}, {c,d},{c,e},{c,f},{d,e},{d,f},{e,f},共15个.
事件A包含的基本事件有:{a,b},{a,c},{a,d},{a,e},{a,f},共5个. 所以P(A)==,故a获一等奖的概率为.
(2)记“若a,b已获一等奖,c能获奖”为事件B,
a,b已获一等奖,余下的四个人中获二、三等奖,其一切可能的结果组成的基本事件有:{c,c},{c,d},{c,e},{c,f},{d,c},{d,d},{d,e}, {d,f},{e,c},{e,d},{e,e},{e,f},{f,c},{f,d},{f,e},{f,f}共16个,事件B包含的基本事件有{c,c},{c,d},{c,e},{c,f},{d,c},{e, c},{f,c},共7个,所以P(B)=,故若a,b已获一等奖,c能获奖的概率为.。