80分小题精准练2统考版2021届高三高考数学(文)二轮复习 含答案

80分小题精准练(二)
(建议用时：50分钟)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，x ∈R }，集合B ＝{(x ，y )|y ＝x 2，x ∈R }，则集合A ∩B 的子集个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
D [集合A ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，x ∈R }，集合B ＝{(x ，y )|y ＝x 2，x ∈R }，
由题意得，直线y ＝x ＋1与抛物线y ＝x 2有2个交点，故A ∩B 的子集有22＝4.故选D ．]
2．已知复数z 满足z ＝2－i 1＋i
，则z ＝( ) A ．1＋3i 2 B ．1－3i 2 C ．3＋i 2 D ．3－i 2
B [z ＝2－i 1＋i ＝(2－i )(1－i )(1＋i )(1－i )
＝1－3i 2，故选B ．] 3．已知a ＝312
，b ＝log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＞b ＞c
B ．a ＞c ＞b
C ．b ＞a ＞c
D ．c ＞b ＞a
A [∵312＞30＝1，12＝log 22＜log 23＜log 22＝1，log 32＜log 33＝12
∴a ＞b ＞c .故选A ．] 4．在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上取一个实数x ，则sin x 的值在区间⎣⎡⎦
⎤－12，32上的概率为( ) A ．13 B ．12 C ．23 D ．1＋34
B [∵－12≤sin x ≤32，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时， x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3.∴所求概率P ＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6π2－⎝⎛⎭
⎫－π2＝12，故选B ．]
5．若S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＋a 3＝－10与a 7＋a 8＝12，则S 10＝( )
A ．16
B ．18
C ．20
D ．24
C [设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1＋a 3＝－10，a 7＋a 8＝12，
∴2a 1＋2d ＝－10,6d ＋5d ＝22，联立解得a 1＝－7，d ＝2.
则S 10＝－7×10＋10×92
×2＝20.故选C ．] 6．被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生
产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比m ＝
5－12
的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin 18°，则m 4－m 2
2cos 227°－1＝( ) A ．4 B ．5＋1 C ．2 D ．5－1 C [由题意，2sin 18°＝m ＝5－12，∴m 2＝4sin 218°，则m 4－m 22cos 227°－1
＝2sin 18°·4－4sin 218°cos 54° ＝2sin 18°·2cos 18°cos 54°＝2sin 36°cos 54°
＝2.故选C ．] 7．已知|a |＝2，(2a －b )⊥a ，则b 在a 方向上的投影为( )
A ．2
B ．－2
C ．4
D ．－4
C [因为|a |＝2，(2a －b )⊥a ，所以(2a －b )·a ＝2a 2－a ·b ＝2×4－a ·b ＝0，解得a ·b ＝8. 所以b 在a 方向上的投影为|b |cos θ＝a·b |a |＝82
＝4.故选C ．] 8．设m ，n 表示不同的直线，α，β表示不同的平面，且m ⊂α，n ⊂β，则“α∥β”是“m ∥β且n ∥α”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
A [m ，n 表示不同的直线，α，β表示不同的平面，且m ⊂α，n ⊂β，则“α∥β”⇒“m ∥β且n ∥α”，反之不成立．
∴“α∥β”是“m ∥β且n ∥α”的充分不必要条件．故选A ．]
9．设函数f (x )＝lg(x 2＋1)，则使得f (3x －2)＞f (x －4)成立的x 的取值范围为( )
A ．⎝⎛⎭⎫13，1
B ．⎝
⎛⎭⎫－1，32 C ．⎝
⎛⎭⎫－∞，32 D ．()－∞，－1∪⎝⎛⎭
⎫32，＋∞ D [根据题意，函数f (x )＝lg(x 2＋1)，其定义域为R ，有f (－x )＝lg(x 2＋1)＝f (x )，即函数f (x )为偶函数，设t ＝x 2＋1，则y ＝lg t ，
在区间[0，＋∞)上，t ＝x 2＋1为增函数且t ≥1，y ＝lg t 在区间[1，＋∞)上为增函数， 则f (x )＝lg(x 2＋1)在[0，＋∞)上为增函数，
f (3x －2)＞f (x －4)⇒f (|3x －2|)＞f (|x －4|)⇒|3x －2|＞|x －4|，解得x ＜－1或x ＞32
，即x 的取值范围为(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞.故选D ．]
10．在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥BD ，AB ＝BD ＝2，E 为CD 的中点，若异面直线AC 与BE 所成的角为60°，则BC ＝( )
A ． 2
B ．2
C ．2 2
D ．4
B [如图所示，取AD 的中点F ，连接EF ，BF ，则EF ∥A
C ．
所以∠BEF 为异面直线AC 与BE 所成的角，
∴∠BEF ＝60°.设BC ＝x ，则BE ＝EF ＝x 2＋42，BF ＝ 2.∴△BEF 为等边三角形，则x 2＋42
＝2，
解得x ＝2.故选B ．]
11．若将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4的图象向右平移a (a ＞0)个单位长度，所得图象关于坐标原点对称，则a 的最小值为( )
A ．π4
B ．5π4
C ．π12
D ．5π12
C [将函数f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎫3x ＋π4的图象向右平移a (a ＞0)个单位长度， 可得y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫3x －3a ＋π4的图象， 根据所得图象关于坐标原点对称， 可得－3a ＋π4
＝k π，k ∈Z ， 则a 的最小值为π12
，故选C ．] 12．已知双曲线x 2－y 2
3
＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且∠F 1PF 2＝120°，∠F 1PF 2的平分线交x 轴于点A ，则|P A |＝( )
A ．55
B ．255
C ．355
D ．5 B [由题意可得a 2＝1，b 2＝3，在△PF 1F 2中，设P 在右支上，由余弦定理可得
|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 120°
＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＋|PF 1||PF 2|，
即4c 2＝4a 2＋3|PF 1||PF 2|，
所以可得|PF 1||PF 2|＝4(c 2－a 2)3＝4b 23＝4×33
＝4，
|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，可得|PF 1|＝5＋1，|PF 2|＝5－1， 所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin 120°＝12×4×32＝3，因为P A 为角平分线， 所以∠F 1P A ＝∠F 2P A ＝60°，
而S △PF 1F 2＝S △PF 1A ＋S △PF 2A ＝12(|PF 1||P A |sin 60°＋|PF 2||P A |sin 60°)＝12
|P A |(|PF 1|＋|PF 2|)·32＝34|P A |(5＋1＋5－1)＝3·52
|PA |， 所以3＝3·52|P A |，所以|P A |＝255
，故选B ．] 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某校高二(4)班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时为7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二(4)班全体同学用餐平均用时为________分钟．
7.5 [因为有7人用时为6分钟，有14人用时为7分钟，有15人用时为8分钟，还有4
人用时为10分钟，所以平均用时为7×6＋14×7＋15×8＋4×107＋14＋15＋4
＝7.5.] 14．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ y ≤2，x ＋y ≥1，
y ≥2(x －2)，
若z ＝x ＋ty (t ＞0)的最大值为11，则实
数t ＝________.
4 [作出不等式组对应的平面区域如图：
由z ＝x ＋ty 得y ＝－1t x ＋z t
， 平移直线y ＝－1t x ＋z t
， 由图象知当直线y ＝－1t x ＋z t
经过点A 时，直线的截距最大，此时z 最大为11， 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝2，y ＝2(x －2)，得A (3,2)， 则3＋2t ＝11，得2t ＝8，t ＝4.]
15．已知数列{a n }(n ∈N *)满足a 1＝1，且a n ＋1＝n n ＋1a n ，则通项公式a n ＝________. 1n [数列{a n }(n ∈N *)满足a 1＝1，且a n ＋1＝n n ＋1a n
， 则a n ＋1a n ＝n n ＋1，a n a n －1＝n －1n ，…，a 3a 2＝23，a 2a 1＝12
， 所以a n a n －1
·…·a 3a 2·a 2a 1＝n －1n ·…·23×12， 所以a n a 1＝1n
， 故a n ＝1n
.] 16．已知C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线l 与x 轴交于点A ，点B ，P 在C 上，△ABF 是面积为
2的等腰直角三角形，则C 的方程为________，|PF ||P A |
的最小值为________． y 2＝4x 22
[因为△ABF 是面积为2的等腰直角三角形，所以|AF |＝|BF |＝p ，BF ⊥AF ，
所以S △AFB ＝12
p 2＝2，解得p ＝2，所以抛物线的方程为：y 2＝4x .过P 作PM 垂直准线交于M 点，|PF ||P A |＝|PM ||P A |＝cos ∠P AF ，所以|PF ||P A |
的最小值即是cos ∠P AF 的最小值，因为y 2＝4x ，由于抛物线的对称性设点P (x,2x )在x 轴上方，y ＝2x ，y ′＝
1x ， 所以在P 处的切线斜率为1x ，又过A 点，所以可得1x ＝2x x ＋1
，解得x ＝1，所以直线P A 的斜率k ＝1，即∠P AF ≤π4，所以cos ∠P AF ≥22，所以|PF ||P A |的最小值为22
.]。