绝对值不等式的综合应用..

(2)f(3)＝3＋1a＋|3－a|.
当
a>3
时，f(3)＝a＋1a，由
f(3)<5
得
5＋ 3<a< 2
21.当
0<a≤3 时，f(3)＝6－a＋1a，由 f(3)<5 得1＋2 5<a≤3.
综上，a 的取值范围是1＋2 5，5＋2 21wk.baidu.com.
3．设函数 f(x)＝|x－a|＋3x，其中 a>0. (1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)≥3x＋2 的解集； (2)若不等式 f(x)≤0 的解集为{x|x≤－1}，求 a 的值．
解：(1)当 a＝1 时，f(x)≥3x＋2 可化为|x－1|≥2. 由此可得 x≥3 或 x≤－1. 故不等式 f(x)≥3x＋2 的解集为{x|x≥3，或 x≤－1}．
(2)由 f(x)≤0 得|x－a|＋3x≤0. 此不等式化为不等式组
x≥a， x－a＋3x≤0
或xa<－a， x＋3x≤0，
或0x＋≤2x≤－12，x≤4 或xx>＋12，x－2≤4 ，
解得 x∈－23，0或 x∈[0,1]或 x∈(1,2]， ∴不等式解集为－23，2. (2)原不等式化为 f(x)＝|x|＋2|x－a|
＝22aa－－x3x0≤x<x0≤，a， 3x－2ax>a，
x≥a， x<a，
即x≤a4
或x≤－a2.
因为 a>0，所以不等式组的解集为xx≤－a2

.

由题设可得－a2＝－1，故 a＝2.
(2013·课标全国Ⅰ)已知函数 f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|， g(x)＝x＋3. (1)当 a＝－2 时，求不等式 f(x)<g(x)的解集； (2)设 a>－1，且当 x∈[－a2，12)时，f(x)≤g(x)，求 a 的取值范围．
当 x≤2 时，由 f(x)≥3，得－2x＋5≥3，解得 x≤1；
当 2<x<3 时，f(x)≥3 无解；
当 x≥3 时，由 f(x)≥3，得 2x－5≥3，解得 x≥4；
所以 f(x)≥3 的解集为{x|x≤1 或 x≥4}．
绝对值不等式的综合应用
【例 1】 已知函数 f(x)＝|x|＋2|x－a|(a>0)． (1)当 a＝1 时，解不等式 f(x)≤4； (2)若不等式 f(x)≥4 对一切 x∈R 恒成立，求实数 a 的取值范围．
不等式恒成立问题转化为最值问题求 解．
【解】 (1)当 a＝1 时，x－<0x－，2x＋2≤4
∴当 x＝a 时，f(x)取得最小值 a， ∴a≥4.
(2014·新课标全国卷Ⅱ)设函数 f(x)＝x＋1a＋|x－a|(a>0)． (1)证明：f(x)≥2； (2)若 f(3)<5，求 a 的取值范围．
解：(1)由 a>0，有 f(x)＝x＋1a＋|x－a| ≥x＋1a－x－a＝1a＋a≥2. 所以 f(x)≥2.
例 5 (2012·课标全国)已知函数 f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.
(1)当 a＝－3 时，求不等式 f(x)≥3 的解集；
(2)若 f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求 a 的取值范围．
【解析】
－2x＋5，x≤2， (1)当 a＝－3 时，f(x)＝1，2<x<3， 2x－5，x≥3.