高考数学二轮复习精品资料 解析几何中的范围、定值和探索性问题
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解析几何中的定点、定值,最值、范围及探索性问题主要以解答题形式考查,往往是试卷的压轴题之一,一般以椭圆或抛物线为背景,考查定点、定值、最值、范围问题或探索性问题,试题难度较大.复习时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上,要在解题方法、解题思想上深入下去.解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质,代数方程是解题的桥梁,要掌握一些解方程(组)的方法,掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用,掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法;其次注意分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想等的应用,如解析几何中的最值问题往往需建立求解目标的函数,通过函数的最值研究几何中的最值.下面对这些难点一一分析:
难点一.圆锥曲线中的定点、定值问题
该类问题多以直线与圆锥曲线为背景,常与函数与方程、向量等知识交汇,形成了过定点、定值等问题的证明.难度较大.定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量,那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等,这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值,就是要求的定点、定值.化解这类问题难点的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等,根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.
【典例分析】
例一.【山东省淄博市2014届高三上学期期末考试】
已知动圆C与圆相外切,与圆相内切,设动圆圆心的轨迹为,且轨迹与轴右半轴的交点为.
(I)求轨迹的方程;
(Ⅱ)已知直线:与轨迹为相交于两点(不在轴上).若以
为直径的圆过点,求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.
例二.【广东省广州市海珠区2014届高三上学期综合测试二】
已知椭圆的离心率为,直线与以原点为圆心、
椭圆的短半轴长为半径的圆相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)如下图,、、是椭圆的顶点,是椭圆上除顶点外的任意点,直线交轴于点,直线交于点,设的斜率为,的斜率为,求证:为定值.
【解析】
【方法总结】定值问题是解析几何中的一种常见问题,基本的求解思想是:先用变量表示所需证明的不变量,然后通过推导和已知条件,消去变量,得到定值,即解决定值问题首先是求解非定值问题,即变量问题,最后才是定值问题.1.求定值问题常见的方法有两种:
(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.
(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.
2.定点的探索与证明问题:
(1)探索直线过定点时,可设出直线方程为,然后利用条件建立等量关系进行消元,借助于直线系的思想找出定点.
(2)从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关.
【变式训练】
1.【重庆八中2014届高三期末数学试题】
已知椭圆的中心为原点,长轴长为,一条准线的方程为.
(Ⅰ)求该椭圆的标准方程;
(Ⅱ)射线与椭圆的交点为,过作倾斜角互补的两条直线,分别与椭圆交于两点(两点异于).求证:直线的斜率为定值.【解析】
2.【辽宁省沈阳二中2014届高三上学期期中考试】
在平面直角坐标系中,直线l与抛物线相交于不同的两点A,B. (I)如果直线l过抛物线的焦点,求的值;
(II)如果,证明直线l必过一定点,并求出该定点坐标.
【解析】
难点二.圆锥曲线中的最值、范围问题
圆锥曲线中参数的范围及最值问题,由于其能很好地考查学生对数学知识的迁移、组合、融会的能力,有利于提高学生综合运用所学知识分析、解决问题的能力.该类试题设计巧妙、命制新颖别致,常求特定量、特定式子的最值或范围.常
与函数解析式的求法、函数最值、不等式等知识交汇,成为近年高考热点.
解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系,根据目标函数和不等式求最值、范围,因此这类问题的难点,就是如何建立目标函数和不等关系.建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量,其原则是这个变量能够表达要解决的问题,这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等,要根据问题的实际情况灵活处理。
【典例分析】
例三.【陕西宝鸡市金台区2014届期末高三联考试题】
设椭圆:的左、右焦点分别是、,下顶点为,线段
的中点为(为坐标原点),如图.若抛物线:与轴的交点为,且经过、两点
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设,为抛物线上的一动点,过点作抛物线的切线交椭圆于、两点,求面积的最大值.
【解析】
=,
例四.【黑龙江省佳木斯市第一中学2013—2014年度高三第三次调研试卷数学试卷】
已知圆,若椭圆的右顶点为圆的圆心,离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若存在直线,使得直线与椭圆分别交于两点,与圆分别交于两点,点在线段上,且,求圆的半径的取值范围. 【解析】
【方法总结】这类问题在题目中往往没有给出不等关系,需要我们去寻找。求最值或范围常见的解法:(1)几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,可考虑利用图形性质来解决;(2)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立目标函数,再求最值,求函数最值常用的方法有配方法、判别式法、导数法、基本不等式法及函数的单调性、有界性法等.用这种方法求解圆锥曲线的最值与范围问题时,除了重视建立函数关系式这个关键点外,还要密切注意所建立的函数式中的变量是否有限制范围,这些限制范围恰
好制约了最值的取得,因此在解题时要予以高度关注.
【变式训练】
3.【江西省赣州市四所重点中学(赣州一中、平川中学、瑞金中学、赣州三中)2013-2014学年度第一学期期末联考高三数学试题】
如图,设F(-c, 0)是椭圆的左焦点,直线l:x=-与x轴交于P点,MN为椭圆的长轴,已知|MN|=8,且|PM|=2|MF|。
(Ⅰ)求椭圆的标准方程
(Ⅱ)过点P的直线m与椭圆相交于不同的两点A, B。
①证明:∠AFM=∠BFN;
②求△ABF面积的最大值。
【解析】