数学中的分形

理解分形

摘要：分形（Fractal）理论，主要研究和揭示复杂的自然现象和社会现象

中所隐藏的规律性、层次性和标度不变性，为通过部分认识整体、从有限中认识无限提供了一种新的工具。分形理论，是在“分形”概念的基础上升华和发展起来的。分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的。分形的类型有自然分形、时间分形、社会分形、经济分形、思维分形等。分形理论，被广泛地应用于自然科学和社会科学的各个领域，从而形成了许多新的学科生长点。

关键词：分形；自相似；分数维；Koch曲线

引言

1967年在国际权威的美国《科学》杂志上发表了一篇划进代的的论文《英国的海岸线有多长？统计自相似性与分数维数》，文章作者曼德布罗（Beonit Mandelbrot）是一位当代美籍法国数学家和计算机专家，他的答案颇为出人意料：他认为，无论你做得多么认真细致，你都不可能得到准确答案，因为根本就不会有准确的答案[1]。

正文

关于“海岸线有多长”的问题，好像很简单，因为长度依赖于测量单位，以1km为单位测量海岸线，得到的近似长度将短于1km的迂回曲折都忽略掉了，若以1m为单位测量，则能测出被忽略掉的迂回曲折，长度将变大，测量单位进一步变小，测得的长度将愈来愈大，这些愈来愈大的长度将趋近于一个确定值，这个极限值就是海岸线的长度。

答案似乎解决了，但Mandelbrot发现：当测量单位变小时，所得的长度是无限增大的。他认为海岸线的长度是不确定的，或者说，在一定意义上海岸线是无限长的。为什么？答案也许在于海岸线的极不规则和极不光滑。我们知道，经典几何研究规则图形，平面解析几何研究一次和二次曲线，微分几何研究光滑的曲线和曲面，传统上将自然界大量存在的不规则形体规则化再进行处理，我们将海岸线折线化，得出一个有意义的长度。但是曼德布罗突破了这一点。

海岸线长度问题，曼德尔布罗特最初是在英国数学家理查逊（Lewis Fry Richardson）的遗稿中一篇鲜为人知的晦涩的论文中遇到的。这个问题引起他极大的兴趣，并进行了潜心的研究。其中他所摸索的一大堆争议性主题，后来成为混沌理论（Chaos Theory）的一部份。

当初Lewis Fry Richardson 为了想要了解一些国家锯齿形的海岸线长度，所以翻阅西班牙、葡萄牙、比利时与荷兰的百科全书，他发现书上在估计同一个国家的海岸线长度时，竟然有百分之二十的误差，Lewis Fry Richardson 指出：这种误差是因为他们使用不同长度的量尺所导致的。他同时发现海岸线长度L 与测量尺度s 的关系如下，其中，值得注意的是log(1/s) 与log(L) 呈线性关系，其

斜率为一定值d：，即，其中lgk≈3.7，d≈0.24.很明显，如果我们以对lgL作图，所得到的直线斜率为d。

曼德尔布罗特独具慧眼地发现了1961年理查逊得出的边界长度的经验公式L (r)= Kr1-a中的a就可以作为描述海岸线特征的这种参量，他称之为“量规维数”，这就是著名的分数维数之一。这一问题的研究，成为曼德尔布罗特思想的转折点，分形概念从这里萌芽生长，使他最终把一个世纪以来被传统数学视为“病态的”、“怪物类型”的数学对象，——康托尔三分集、科赫曲线等统一到一个崭新的几何体系中，让一门新的数学分支——分形几何学跻身于现代数学之林。

那么，“分形”究竟是什么呢？

谈到分形，就不得不提非线性。

所谓线性，是指变量之间的数学关系，是直线的属性。从数学意义上来讲，是指方程的解满足线性叠加原理。即方程任意两个解的线性叠加，仍然是方程的一个解。线性意味着系统的简单性。非线性是指变量之间的数学关系，不是直线，而是曲线、曲面、或不确定的属性。非线性是自然界复杂性的典型性质之一；与线性相比，非线性更接近客观事物性质本身，是量化研究认识复杂知识的重要方法之一；凡是能用非线性描述的关系，通称非线性关系。然而，自然现象就其本质来说，都是复杂的，非线性的。所幸的是，自然界中的许多现象都可以在一定程度上近似为线性。传统的物理学和自然科学就能为各种现象建立线性模型，并取得了巨大的成功。但随着人类对自然界中各种复杂现象的深入研究，越来越多的非线性现象开始进入人类的视野。

在非线性科学中，混沌(chaos)、分形(fractal)和孤立子(soliton)是三个最重要的概念。在这三个概念中，分形是应用领域最广的一个研究方向。

分形理论是一门交叉性的横断学科，从振动力学到流体力学、天文学和计算机图形学，从分子生物学到生理学、生物形态学，从材料科学到地球科学、地理科学，从经济学到语言学、社会学等等，无不闪现着分形的身影。分形理论已经对方法论和自然观产生强烈影响，以分形的观点看世界，我们发现，这个世界是以分形的方式存在和演化着的世界。

作为一个非线性科学中的概念，由于其本身的复杂性，“分形”至今没有一个确定的科学定义。英国数学家Falconer认为：分形的定义应该以生物学家给出“生命”定义的类似方法给出，即不寻求分形的确切简明的定义，而是寻求分形的特性，将分形看作具有某些性质的集合[2]。那么根据分形的一些特征，可以将分形看作具有以下特征的集合F：

1. F具有精细结构，即在任意小的比例尺度内包含整体。

2. F是不规则的，以致于不能用传统的几何语言来描述。

3. F通常具有某种自相似性，或许是近似的或许是统计意义下的。

4. F在某种方式下定义的“分维数”通常大于F的拓扑维数。

5. F的定义常常是非常简单的，或许是递归的。

简单来讲，就是指系统具有“自相似性”和“分数维度”。

所谓自相似性，是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的，或者某系统或结构的局域性质或局域结构与整体类似。另外，在整体与整体之间或部分与部分之间，也会存在自相似性。一般情况下自相似性有比较复杂的表现形式，而不是局域放大一定倍数以后简单地和整体完全重合。。

所谓分数维, 是相对于欧氏几何中的直线、平面、立体而言的, 它们分别对应整数一、二、三维，当然分数维度“空间”不同于人们已经习惯的整数维度空