数学建模第四章矩阵分析建模新

=(u1,…,un)=vT
fnn/un
其中,ui=j=1nfji
求奖金向量方法与例
方法:
首先由历史记录确定胜负概率矩阵 F; 其次由 F 确定矩阵 A; 最后由适当数学 软件,例如,Matlab,求出对应于 A 的特 征值1的任一个正特征向量 x,则此向量 x 可取为合理的奖金向量.
对于前面讨论的例1:我们首先由胜负概率 矩阵F求得矩阵A为:

问题分析与假设
公平地决定向量v=(v1,…,vn)和u=(u1,…,un) 体现在:v1: :vn=u1: :un,或存在正数 满足 =v1/u1=…=vn/un 即 v=u. (2) 将(2)代入(1)得 Fu=u. (3) 结论:胜负概率矩阵F是本原矩阵(F2为正矩 阵),从而由前面的定理4.1,F恰有一个正 特征值,其所对应的任何正特征向量(只 有倍数差别)都可取为得分向量v或评分向 量u.因向量v与u相差正常数倍,故可按u的 各分量的大小为各队排名次.
队的比赛记录,试用本节方法为这4支球队 排名次. T2 T3 T4
3:0, 1:1, 2:2 2:1, 2:3, 0:0 1:4 2:1, 3:1 T1 3:1, 2:3 T2 5:2, 4:2 T3
规定fij=0.6uij+0.4vij, uij为平均场分;vij为平均进球分. 场分:胜2,平1,负0;进球分:进一球1分.

或
n
a x x , i 1 ,..., n ij j i j 1
Ax=x (2)
★ 因Ti可期望战胜Tj而获奖金数为fijxja, j=1,…,n,故Ti可期望共获奖金数为: j=1nfijxja.
因Tj可期望战胜Ti而获奖金数为fjixia, j=1,…,n,故Ti可期望共失奖金数为: j=1nfjixia. 这样一来,上述两个求和式就有了它们的实际意 义.在数学的学习中,我们经常要对一个死的 数学式子,通过对它的含义的解释,而赋予它 生命,这种所谓”理解性的翻译”,对数学建 模尤为重要.
问题分析与假设

奖金向量的公平性体现在: Ti越强 xi越大. (战胜强队是衡量球队发挥好的标志)
各队强弱程度用胜负概率矩阵 F=(fij) 来刻画,fij 表示过去 Ti 战胜 Tj 的概率. 假设: n 个队中没有特别强或特别弱的 队(否则该队早已升级或降级离开了),即 i,j,0<fij<1,fij=1-fji; 为方便起见,更设 i,fii=0.
A2=AA=
0 0 0 0 0 0
vTA=(u1,…,un)
f11/u1


f1n/u1

fn1/un
数学建模
Ti可期望共获奖金数为: j 1 f ij x j a
n
★
Ti可期望共失奖金数为: j 1 f ji xi a
n
易见奖金向量为公平的充要条件是:

n
j 1 ij
f x j a j 1 f ji xi a, i 1,..., n
n
(1)
令 ui=j=1nfji,aij=fij/ui,则(1)等价于
A=
0 2/7 1/3 6/7 0 8/9 1 1/7 0
其次,利用数学软件 Matlab 的行命令:
A=[0,6/7,1;2/7,0,1/7;1/3,8/9,0];[V,D]=eig(A)
(D的对角元是特征值,V的第i列是对应第i特征 值的正特征向量)求得对应于A的最大特征值 为1,对应于1的一个正特征向量是: xT=(0.7910,0.3020,0.5321), 这个正向量就是我们要求的奖金向量.

A 循环联赛的奖金分配问题
背景 已有多年循环比赛历史的 n支球队: T1,T2,…,Tn 今年照例举行无平局的循环联赛,约定 按下列规则发放奖金: 规则 战胜Ti得奖金 xia 元,a 为待定的奖金 单位(换句话说,战胜各队奖金按比例 x1:x2: :xn发放). 问题 如何合理地决定奖金(系数)向量 x=(x1,x2,…,xn)T(准确到相差正因子 a), 使对每一队来说都保持公平?
定理4.2 的证明
定理4.2: 奖金分配问题中定义的矩阵 A 是本原矩阵,并且 r(A)=1. 证: 因ij,aij=fij/ui 0,故当n3时, A2 是一个正矩阵,即 A 是本原矩阵. 从而,按定理4.1,有对应于 r(A)的正特 征向量x: Ax=r(A)x.令v=(u1,…,un)T, 则 vTA = vT. 于是 vTx = vTAx = r(A)vTx. 因 vTx 0,由上式推出 r(A)=1.
如何由奖金总额决定奖金单位?
方法: 设奖金总额预算值为S,则
S j 1 ( i 1 fij x j a) j 1 u j x j a
n n n
由上式立即求得 a=S/(x1u1+…+xnun). 对例1有 a=S/(0.79100.7+0.30201.4+0.53210.9)
胜 胜
中y 赛 2
小y 赛 3
x2
平 x3
负 x4
实 例
场次 等级 Ti:Tj
1 大赛 小胜
2 中赛 小负
3 小赛 大负论
如果仅用胜负次数计算Ti和Tj的胜负概率, 则因Ti是5场2胜;Tj是5场3胜,由此即得: fij=2/(2+3)=2/5; fji=3/(2+3)=3/5. 如果用上面介绍的加权办法计算Ti和Tj的 得分di和dj的话,则 di=42+0+0+0+22=12; dj=0+22+13+12+0=9. fij=12/(12+9)=4/7; fji=1-fij=3/7. 上述二结果大相庭径,哪个更合理?按体育 常识而论,正确的答案应该是后者.
第四章 矩阵分析方法建模
§4.1 循环联赛的奖金分配及排名次问 题 §4.2 有限网络的一些有趣问题 §4.3 数据处理的一些有趣问题
§4.1 循环联赛的数学建模问题
随着人们生活水平的提高,人们不但喜 爱体育,而且喜爱体育比赛,出现千千万 万的各种体育比赛迷. 随着我国经济的迅速崛起,各种超级联 赛也应运而生.大型赛事常常是人们饭 后茶余的主要话题. 体育比赛中也有数学建模问题,本节就 来介绍,循环联赛的奖金分配及排名次 所涉及的数学建模问题.
也可用奖金向量为各队排名次
例1:由合理奖金向量xT=(x1,…,xn)的性质 知:对任二球队Ti和Tj都有 xi xj Ti比Tj强.
因此,也可按x1,…,xn的大小为各队排名次. 例如,对于例1我们已求得合理的奖金 向量为 xT=(0.7910,0.3020,0.5321).按x 的分量的大小为各队排名次的结果是: T1, T 3, T2.
例1
例1:我们有胜负概率矩阵
0 0.6 0.7 F= 0.4 0 0.2 0.3 0.8 0
利用Matlab的下列行命令:
F=[0,0.6,0.7;0.4,0,0.2;0.3,0.8,0];[V,D]=eig(F)
求得对应于F的正特征值0.9414的一个特征 向量是:vT=(0.6985,0.4199,0.5794), 此向量v即可取为我们要求的得分向量.按v 的分量的大小为各队排名次的结果是: T1, T 3, T2
例如对例1,上述方程组的系数矩阵计 算如下:
0 0.6 0.7 F 0.4 0 0.2 , 0.3 0.8 0 0 6/7 1 A 2 / 7 0 1/ 7 1/ 3 8 / 9 0
基于上述分析得:
结论:如果由胜负概率矩阵 F 形成的矩阵 A 以1为单特征值,并且有对应于1的正特 征向量 x,则此向量 x 可取为唯一合理 的奖金向量. 证:我们所讨论问题的合理奖金向量,按所 定规则,必须是满足方程组(2)的一个 正向量,并要求这样的正向量不计较相 差一个任意常数因子是唯一的. 注:由下面的定理４.1与定理4.2推出,上 述结论所要求的条件总能满足,因此, 本问题恒有唯一解.
仅按过去Ti,Tj两队比赛总场数及胜负场 数之比确定fij,虽然操作简单,但是过于 粗糙,因为比赛有大赛,中赛和小赛之分. 对于较大比赛,两队都较重视,比赛成绩 较能反映两队的实际情况.反之,他们对 于较小比赛一般不够重视,其成绩不能 准确代表两队的实际情况.此外,也应把 大胜,中胜和小胜加以区分. 故要精细地确定fij,应区别对待大,中, 小赛.和区别对待大胜,中胜和小胜,并 用层次分析方法制定相应的权向量.
两个方法的比较
这个结果与前面按得分向量v的分量的大 小为各队排名次的结果相一致的事实也 说明我们以上的分析是正确的. 如果要对这两个方法进行评优的话,应该 说,本节的方法较优,因为此方法直接利 用矩阵F即可求出结果,而用上节的方法, 则还需要从F再计算矩阵A的额外工作量.
一个实例:下表为某个俱乐部的4支足球
有关数学背景知识
定义:实方阵 A=(aij)称为正(非负)矩阵,如 果i,j,aij >()0;非负方阵 A 称为本原矩 阵,如果存在正整数 m 使得 Am 为正矩阵. 定理4.1:任意本原矩阵A都恰有一个正特征 值r(A),其值大于其它特征值的模数(故 r(A)为单特征值,任意两个对应于它的 特征向量都线性相关),并且存在对应于 r(A)的正特征向量x. 定理4.2:当n3时,奖金分配问题中定义的 矩阵 A 是本原矩阵,并且 r(A)=1.
=S/1.455.
例如对例1有 a=S/1.455.
如果循环联赛组委会的奖金总额预算为 3 万元左右时,S=3(万).则 a=3/1.455=2.062. 所以, 战胜T1得奖金 x1a=0.7912.062=1.631(万元); 战胜T2得奖金 x2a=0.3022.062=0.623(万元); 战胜T3得奖金 x3a=0.5322.062=1.097(万元). 注:此三数之和为3.35万,并不正好是3万. 如果强队均输,则奖金总数为: 21.631+1.097=4.36(万元);如果弱队均输, 则奖金总数为20.623+1.097=2.34(万元),它 们的平均值正是3.35万元.

用层次分析合理决定胜负概率矩阵之例
计分规则
z
WZ(y)=(4/7,2/7,1/7);i, Wyi(x)=(3/6,2/6,1/6,0). 大 y 即,对比赛等级用4:2:1加权; 赛 1 对比赛胜负程度用3:2:1:0 加权. 例如,某两队的历史 记录由下表给定,用此公式 算出的胜负概率是: fij=4/7.大 x1 小

胜负概率矩阵简例
设 n=3;在过去的十场比赛中 T1 对 T2 6 胜 4负 ; T1 对 T3 7 胜 3负 ; T2 对 T3 2 胜 8负, 则胜负概率矩阵为:
0 0.6 0.7 F 0.4 0 0.2 0.3 0.8 0
胜负概率矩阵需要精细地确定
例如,u21=(2+1+1)/(2+2+2)=2/3(每场总分是2), v21=(3+1+2)/(3+2+4)=2/3; f21=0.6 u21+0.4 v21=2/3. f12=1-f21=1-2/3=1/3.
T2
T3
T4
3:0, 1:1, 2:2
2:1, 2:3, 0:0 1:4
2:1, 3:1 T1 3:1, 2:3 T2 5:2, 4:2 T3
B 循环联赛各队排名次问题
背景 已有多年循环比赛历史的俱乐部欲为 所属n支球队:T1,T2,…,Tn按强弱排名次. 方法 首先制定评分标准,即确立评分向量 u=(u1,…,un),uj的意义是每个战胜Tj的队 都得分uj;其次根据胜负概率矩阵F=(fij)和 评分向量u计算各队的得分向量v=(v1,…,vn) 其规则是: 规则 vi=j=1nfijuj, i=1,…,n 或 v=Fu (1) 问题 如何决定向量u(从而v),使对每一队 都保持公平?