高中数学不等式的分类、解法

高中数学不等式的分

类、解法

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

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高中数学简单不等式的分类、解法 一、知识点回顾

1.简单不等式类型：一元一次、二次不等式，分式不等式，高次不等式，指数、对数不等式，三角不等式，含参不等式，函数不等式，绝对值不等式。

2.一元二次不等式的解法

解二次不等式时，将二次不等式整理成首

项系数大于0的一般形式，再求根、结合图像

写出解集

3三个二次之间的关系：

二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系(见复习教材P228)

二次函数的零点---对应二次方程的实根----对应二次不等式解集区间的端点 4.分式不等式的解法

法一：转化为不等式组；法二：化为整式不等式；法三：数轴标根法 5.高次不等式解法

法一：转化为不等式组；法二：数轴标根法

6.指数与对数不等式解法

a>1时)()()()(x g x f a a x g x f >⇔>；

0)()()(log )(log >>⇔>x g x f x g x f a a

0；

)

()(0)(log )(log x g x f x g x f a a <<⇔>

7.三角不等式解法

利用三角函数线或用三角函数的图像求解 8.含参不等式解法

根据解题需要，对参数进行分类讨论 9.函数不等式解法

利用函数的单调性求解，化为基本不等式

（有时还会结合奇偶性）

10.绝对值不等式解法（后面详细讨论）

二、练习：

（1）23440x x -++>解集为

（2

23x -<< ）（一化二算三写）

（2）213

022

x x ++>解集为

（R ） (变为≤，则得∅)（无实根则配方） 三、例题与练习

例1已知函数)()1()(b x ax x f +•-= ，若不等式0)(>x f 的解集为)3,1(-，则不等式

0)2(<-x f 的解集为 ),2

1

()23,(+∞--∞

解法一：由根与系数关系求出3,1-=-=b a ，得32)(2++-=x x x f ，再得出新不等式，求解 解法二：由二次不等式0)(>x f 的解集为

)3,1(-得0)(

由

∈-x 2),3()1,(+∞--∞ 得解集

3

变式1. 已知关于x 的不等式20x mx n -+≤的解集是{|51}x x -≤≤，则不等式0>+n mx 的解集为

（m, n ）=（-4，-5），解集为)4

5

,(--∞

例2：不等式22

32

x x x -++≥0的解集是_____．

答案：（-2，-1）∪[2，+∞）

法一：化为不等式组 法二：数轴标根法 法三：化为整式不等式（注意等价性） 变式2：不等式03323<+--x x x 的解集为 . 答案：)1,()3,1(--∞

例3：解关于x 的不等式ax x ax -≥-222 分析：化为02)2(2≥--+x a ax ，考虑分类标准：①a 与0的关系②

a

2

与-1的关系 变式3：①解关于x 的不等式ax 2

－(a ＋1)x ＋1<0

解:原不等式可化为（ax-1）（x-1）<0

当a<0时，原不等式解集为),1()1

,(+∞-∞ a

当a=0时，x-1>0, 原不等式解集为(1,+ ∞)

当0

,1(a

当a=1时，0)1(2<-x ，原不等式解集为φ

当a>1时，原不等式解集为)1,1

(a

②.解关于x 的不等式0)1(log 12<--x a a

答案：当a>1时，解集为)2log 21

,0(a

当0

,(a -∞

（总结指数与对数不等式解法）

思维点拨:含参数不等式,应选择恰当的讨论标准对所含字母分类讨论,要做到不重不漏.

例4：已知函数⎩⎨⎧≤≥+=)

0(,1)

0(,1)(2x x x x f ，则不等式

)2()1(2x f x f >-的解集为

分析：考虑解题思路，有两种方向---函数不等式或分段解不等式

画出函数图像，结合图像易得不等式组

⎩⎨⎧>-<01022x x 或⎩⎨⎧≥-≥x

x x 210

22

得解集为)12,1(-- 变式4：定义在R 上的偶函数，当0≥x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f ≥)(的解集为

法一：结合图像求解；法二：化为不等式组 解集为{}),5[0]3,(+∞--∞

例5：)(x f 是定义在R 上的偶函数，当0≥x 时，

a x e x f x --=sin )(，解不等式)2()1(f x f >-

分析：0≥x 时，0cos )(>-='x e x f x

，)(x f 在),0[+∞上单调增，又它为偶函数，所以，不等式

转化为)2()1(f x f >-，化为21>-x ，得解集为

),3()1,(+∞--∞

探究：改为奇函数，解集为

变式5：函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )为f (x )的导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如右图所示，且f (－2)＝1，f (3)＝1，则不等式f (x 2－6)>1的解集为__________________．

答案：(2,3)∪(－3，－2)

解析 由导函数图象知f (x )在(－∞，0)上为增函数；在(0，＋∞)上为减函

数，故不等式f (x 2－6)>1等价于－2

1.含参不等式求解要先考虑分类标准，做到不漏不重

2.要善于转化，化为不等式组或整式不等式或代数不等式，注意数形结合。 五、课后思考题

1.已知函数)(x f 的大致图像如图，则不等式

0)

1)((>-x

x x f 的

解集为

分析：化为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>>-0)(01x f x x 或⎪⎩⎪⎨⎧<<-0

)(0

1x f x x