数学期望的计算方法及其应用

数学期望的计算方法及其应用

摘要：在概率论中，数学期望是随机变量一个重要的数字特征，它比较集中的反映了随机变量的某个侧面的平均性，而且随机变量的其他数字特征都是由数学期望来定义的，因此对随机变量的数学期望的计算方法的研究与探讨具有很深的实际意义。本论文着重总结了随机变量的数学期望在离散型随机变量分布与连续型随机变量分布下的一些常用的计算方法，如利用数学期望的定义和性质，利用不同分布的数学期望公式等等，并通过一些具体的例子说明不停的计算方法在不同情况下的应用，以达到计算最简化的目的。本文还通过介绍了一些随机变量数学期望的计算技巧，并探讨了各种简化计算随机变量数学期望的方法，利用一些特殊求和与积分公式，利用数学期望定义的不同形式，利用随机变量分布的对称性、重期望公式以及特征函数等，并通过例题使我们更加了解和掌握这些计算技巧，已达到学习该内容的目的。

关键词：离散型随机变量 连续型随机变量 数学期望 计算方法 ABSTRACT ：

第一节 离散型随机变量数学期望的计算方法及应用

1.1 利用数学期望的定义，即定义法[1]

则随机变量Ｘ的数学期望E(X)=

)(1

i

n

i i

x p x ∑=

学期望不存在[]2

例1 某推销人与工厂约定，永川把一箱货物按期无损地运到目的地可得佣金10元，若不按期则扣2元，若货物有损则扣5元，若既不按期又有损坏则扣16元。推销人按他的经验认为，一箱货物按期无损的的运到目的地有60﹪把握，不按期到达占20﹪，货物有损占10﹪，不按期又有损的占10﹪。试问推销人在用船运送货物时，每箱期望得到多少？

按数学期望定义，该推销人每箱期望可得

=)(X E 10×0.6＋8×0.2＋5×0.1－6×0.1＝7.5元

1.2 公式法

对于实际问题中的随机变量，假如我能够判定它服从某重点性分布特征（如二项分布，泊松分布，超几何分布等），则我们就可以直接利用典型分布的数学期望公式来求此随机变量的期望。

（1） 二点分布：X ~⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-p p 101

，则()p X E =

（2） 二项分布：),(~p n B X ，10 p ，则np X E =)(

（3） 几何分布：)(~p G X ,则有p

X E 1

)(=

（4） 泊松分布：)

(~λP X ，有λ=)(X E （5） 超几何分布：

),,(~M N n h X ,有N

M n

X E

=)( 例2 一个实验竞赛考试方式为：参赛者从6道题中一次性随机抽取3道题,按要求独立完成题目.竞赛规定：至少正确完成其中2题者方可通过,已知6道备选题中参赛者甲有4题能正确分别求出甲、乙两参赛者正确完成题数的数学期望.

解 设参赛者甲正确完成的题数为X ,则X 服从超几何分布,其中

6,4,3N M n ===,

设参赛者乙正确完成的题数为Y ,则

)32,3(~B Y ,23

2

3)(=⨯==np Y E

1.3 性质法

利用数学期望的性质求期望，主要性质有：

c c E =)( )()(X aE aX E = b X aE b aX E +=+)()(

其中X 为随机变量，c b a ,,为常数。

（2）社该工程队所获利润为)13(50X Y -=,单位为万元。试求工程队的平均利润。 解（1）根据题意，我们可求平均月数为：

111.0132.0123.0114.010)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E 月

（2）由（1）知11)(=X E ，则可得

))13(50()(X E Y E -=

100

1150650)(50650)

50650(=⨯==-=-=X E X E

1.5 利用逐项微分法

这种方法是对于概率分布中含有参数的随机变量而言的，我们可以通过逐项求微分的方法求解出随机变量的数学期望，关键步骤是对分布列的性质11

=∑∞

=i i

p

两边关于参数进行求

导，从而解出数学期望。

例5 设随机变量)(~p G X ，求)(X E 。 解 因为)(~p G X ，故1

)1()(--==k p p k X P 其中10 p

,2,1=k

则

1)

1(1

1

=-∑∞

=-k k p p （1）

对（1）式两边关于p 求导得 ()

[]

0)1)(1(11

21

=----∑∞=--k k k p k p p

()

()

()()()0111111110

1)

1(11

1

11111

2

1

2

1

1

=--+----=-+---∑∑∑∑∑∑∞

=-∞

=-∞

=-∞

=-∞

=-∞

=-k k k k k k k k k k k k p p p p kp p p p p p p p kp p

根据数学期望的定义知：()()

∑∞

=--=

1

1

1k k p kp X E 且知

1)

1(1

1

=-∑∞

=-k k p p

因此上式可以写成：

()011

111=-+--P X E p p 从而解得 ()p

X E 1=

1.6 利用条件数学期望公式法

条件分布的数学期望称为条件数学期望，它主要应用于二维随机变量()Y X ,。在()Y X ,为二维离散随机变量场合下，其计算公式为：()(

)()∑=====i

i

i

y Y x X P x y Y X E X E

或()(

)()∑===

==j

j

j x X y

Y P y x X Y E Y E

例6 设二维离散随机变量()Y X ,的联合分布列为

试求()2=Y X E 和()

0=X Y E

解 要求()2=Y X E ，首先得求()

2=Y X P