条件极值

可见向量( f x , f y )与向量 ( y , x )正交. 注意到向量 ( x , y )也与向量
( y , x )正交, 即得向量( f x , f y )与向量 ( x , y )线性相关, 即存在实数 , 使
( fx , fy ) + ( x , y )0.
亦即
fx x 0 ,
Lz xy 0,
z2
L
1 x
1 y
1 z
1 r
0.
由 上 述 方 程 组 的 前 三 式 , 易 得 1 1 1 xyz . 从 而 函 数 L 的 稳 定 点 为 xyz
x y z 3r , (3r)4 .
为 了 判 断 f (3r,3r,3r) (3r)3 是 否 为 所 求 条 件 极 ( 小 ) 值 , 我 们 可 把 条 件
由此可见, 所求得的稳定点为极小值点, 而且可以验证是最小值点. 这样就有不等式
xyz 3r 3 (x 0, y 0, z 0 且 1 1 1 1) . xyz r
令 x a, y b, z c , 则 r ( 1 1 1)1 , 代入上不等式有 abc
abc [3( 1 1 1)1]3 abc
1.极值的定义:
定义:设 y=f(x)在 x0 某一邻域内有定义,如果对于该邻域内 异于 x0 的任意点 x 都有:
(1) f(x)< f(x0),则称 f(x0)为 f(x)的极大值, x0 称为 f(x)的 极大值点;
(2) f(x)> f(x0),则称为 f(x0)为 f(x)的极小值, x0 称为 f(x) 的极小值点;
二、条件极值的必要条件
设在约束条件 (x, y) 0 之下求函数 z f (x, y) 的极值 . 当满足约束条件的点
(x0 , y0 ) 是函数 f (x, y) 的条件极值点 , 且在该点函数 (x, y) 满足隐函数存在条件时, 由
方程(x, y) 0 决定隐函数 y g(x) , 于是点 x0 就是一元函数 z f x , g(x)的极限点 ,
1 zx x2
1 z2
,
z2
x2
zy
z2 y2
, Fxx
yz x
yz x
xyz xx
2 yz 3 x3
,
Fxy
z
yz y
xz x
xyz xy
z
z2 y
z2 x
2z3 xy
,
Fyy
2 xz 3 y3
.
当 x y z 3r 时,
Fxx 6r Fyy , Fxy 3r , FxxFyy Fxy2 36r 2 9r 2 27r 2 0 .
1 1 1 1 看 作 隐 函 数 z z(x, y) ( 满 足 隐 函 数 定 理 条 件 ), 并 把 目 标 函 数 xyz r
f (x, y, z) xyz(x, y) F(x, y) 看作 f 与 z z(x, y) 的复合函数. 这样, 就可应用极值
充分条件来做出判断. 为此计算如下:
1 ) xy , x
然后按 (Fx , Fy ) (0,0) ,
求出稳定点 x
y3
2V
,
并有
z 1 3 2V , 最后判定在此稳定点上取的最小面积 S 33 4V 2 . 2 然而, 在一般情形下条件组中解出 m 个变元并不总是可能的.下面介绍的拉格朗日乘
数法就是一种不直接依赖消元而求解条件极值问题的有效方法.
极大值,极小值统称为极值;极大值点,极小值点统称为极值
点.
注: (1) 极值是局部概念,极值不一定是最值;
(2) 极值不唯一,极大值不一定比极小值大.
2.极值存在的必要条件和充分条件:
(1) (1) 必要条件
定理 若函数 f(x)在 x0 可导,且在 x0 处取得极值,则 f (x0 ) 0
证:设 f(x)在 x0 可导, f (x0 ) 为极大值,由极大值定义,
f
y
y
0.
三、 Lagrange 乘数法:
由上述讨论可见 , 函数 z f (x, y) 在约束条件(x, y) 0 之下的条件极值点应是方
f x (x, y) x (x, y) 0 ,
程组
f
y
(
x,
y)
y
(
x,
y)
0
,
的解.
(x, y) 0 .
引进所谓 Lagrange 函数
即为条件组的个数.
(3) 求 拉 格 朗 日 函 数 的 稳 定 点 , 即 通 过 令 L 0, L 0 ,
xi
j
(i 1,2,, n, j 1,2,, m) 求出所有的稳定点, 这些稳定点就是可能的极值点.
(4) 对每一个可能的条件极值点, 据理说明它是否确实为条件极值点. 如果已知某实 际问题或根据条件确有极值, 而该问题的拉格朗日函数又只有一个稳定点, 且在定义域的 边界上(或逼近边界时)不取得极值, 则这个稳定点就是所求的条件极值点. 否则, 还需要
)
，
P2
(
1 6
,
ห้องสมุดไป่ตู้
2 , 1) . 66
由对称性得
P3,4
(
2 6
,
1 6
,
1) 6
，
P5,6
(
1 6
,
1 6
,
2) 6
也是稳定点.
四、 用 Lagrange 乘数法解应用问题举例: 例 3 用拉格朗日乘数法重新解决: 求容积为V 的长方体形开口水箱的最小表面积. 解 这时所求的问题的拉格朗日函数是
教学目的与要求：
§4 条件极值
了解拉格朗日乘数法的证明，掌握用拉格朗日乘数法求条件极值的方法，用条件极值的
方法证明或构造不等式
教学重点，难点： 重点：用拉格朗日乘数法求条件极值 难点：多个条件的条件极值问题
教学内容： 一、何谓条件极值
在讨论极值问题时，往往会遇到这样一种情形，就是函数的自变量要受到某些条件的限
在 x0 的某邻域内,对于任意 x≠x0,均有 f (x) f (x0) 成立,于是
f (x) f (x0 ) 0
当 x x0 时， x x0
；
f (x) f (x0 ) 0
当 x x0 时， x x0
f(x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
0
所以，
f(x0 )
L(x, y, ) f (x, y) (x, y) , ( 称其中的实数 为 Lagrange 乘数 )
则上述方程组即为方程组
LLxy
( (
x, x,
y, y,
) )
0 0
, ,
L
(
x,
y,
)
0
.
下面以三元函数 , 两个约束条件为例介绍 Lagrange 乘数法的一般情况 .
例 2 求函数 f xyz 在条件 x 2 y 2 z 2 1, x y z 0 下的极值。
lim
xx0
f
(x) f (x0 ) x x0
0
f(x0 ) f(x0 )
因为
，所以 f (x0 ) 0
注：极值点是驻点或不可导点，反之不成立。
（2）极值存在的第一充分条件
定理：设函数 f (x)在点 x0 的某一邻域内可导且 f (x0 ) 0 (1) (1) 若 x< x0 时， f (x0 ) 0 ;当 x>x0 时， f (x0 ) 0 ,则 f (x)在点 x0 处取得极大
小值问题.
又 如 ， 在 总 和 为 C 的 几 个 正 数 x1, x2 , xn 的 数 组 中 ， 求 一 数 组 ， 使 函 数 值 f x12 x22 xn2 为最小，这是在条件 x1 x2 xn C (xi 0) 的限制下， 求函数 f 的极小值问题。这类问题叫做限制极值问题（条件极值问题）.
k (x1, x2 ,, xn ) 0, k 1,2,, m (m n)
限制下， 求目标函数
y f (x1, x2 ,, xn )
的极值. 对这种问题的解法有: 化为无条件极值.
例 1 由 xyz V 解 出 z V , 并 代 入 函 数 S(x, y, z) 中 , 得 到 xy
F (x, y) 2V ( 1 y
由（1）得 2(x2 y 2 ) ( y x) ， 2( y 2 z 2 ) (z y) ,
当 x y z 时得 2(x y) ， 2( y z)
故得 x z ，代入（2）（3）式得 2x 2 y 2 1,
2x y 0.
解得稳定点 P1 (
1 ,2, 66
1 6
有
dz dx
fx
f y g(x)
0
.
代
入
f x (x0 , y0 )
f y (x0 ,
y0
)
x y
(x0 (x0
, ,
y0 y0
) )
0,
g ( x0
)
x y
(x0 (x0
, ,
y0 y0
) )
,
就有
即 f x y f y x 0 , 亦即 ( f x , f y ) ( y , x ) 0 .
制。决定一给定点 (x0 , y0 , z0 ) 到一曲面 G(x, y, z) 0 的最短距离问题，就是这种情形。我 们 知 道 点 (x, y, z) 到 点 (x0 , y0 , z0 ) 的 距 离 为 F(x, y, z) (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 .现在的问题是要求出曲面 G(x, y, z) 0 上的点 (x, y, z) 使 F 为最小.即问题归化为求函数 F(x, y, z) 在条件 G(x, y, z) 0 下的最
解 令 L xyz (x2 y 2 z 2 1) (x y z)
Lx yz 2x 0 ,
Ly xz 2y 0 ,
Lz xy 2z 0 ,
得
2x2 x 2y 2 y 2z 2 z ,
（1）
又
x 2 y 2 z 2 1 ,（2）
xyz0 ,
（3）
L(x, y, z,) 2(xz yz) xy (xyz V )
对 L 求偏导数, 并令它们都等于 0:
Lx 2z y yz 0,
Ly 2z x xz 0,
Lz 2(x y) xy 0,
L xyz V 0.
求上述方程组的解, 得 x y 2z 3 2V , 4 . 3 2V
例 1 要设计一个容积为V 的长方体形开口水箱 . 确定长、宽和高 , 使水箱的表面积
最小 .
分别以 x 、 y 和 z 表示水箱的长、宽和高 , 该例可表述为 : 在约束条件 xyz V 之下求函数 S(x, y, z) 2(xz yz) xy 的最小值 .
条件极值问题的一般形式是在条件组
例 1 求 y (2x 5) 3 x2 的极值点与极值 解：定义域（— ，+ ）
下的极小值 ; 并证明不等式
3 1
1
1 1
3
abc
,
其中 a , b , c 为任意正常数 .
a b c
解 设拉格朗日函数为
L(x, y, z,) xyz (1 1 1 1 ) . x y zr
对 L 求偏导数, 并令它们都等于 0, 则有
Lx yz x 2 0,
Ly xz y 2 0,
或
3( 1 1 1)1 3 abc (a 0,b 0, c 0) .
abc
注 用拉格朗日乘数法求解条件极值问题的一般步骤如下:
(1) 根据问题意义确定目标函数与条件组.
m
(2) 作拉格朗日函数 L(x1, x2 ,, xn , 1, 2 ,, m ) f k k , 其中 i 的个数 k 1
值 f (x0)
(2) (2) 若 x< x0 时， f (x0 ) 0 ;当 x>x0 时， f (x0 ) 0 ,则 f (x)在点 x0 处取得极小
值 f (x0)
（3）若 x 从 x0 的左侧变化到右侧时， f (x0 ) 不变号，则 f (x)在 x0 处无极值
注：此定理也可以判断不可导点是否为极值点
采用无条件极值的充分条件来判定.
复习思考题、作业题：
1 (2), 2 (2) 节重点:极值的定义,极值存在的必要条件和充分条件,求极值的方法,求最值的方
法
本节难点: 极值和最值的关系,极值点和驻点 不可导点之间的关系, 求极值和最值的方法 教学方法:启发式 教学手段:多媒体课件和面授讲解相结合
一极值及其求法：
依题意, 所求水箱的表面积在所给条件下确实存在最小值. 由上可知, 当高为 3 V , 长与 4
宽为高的 2 倍时, 表面积最小. 最小值 S 3(2V )2 3 .
例 4 抛物面 x 2 y 2 z 被平面 x y z 1截成一个椭圆. 求该椭圆到坐标原点的最
长和最短距离 .
例 5 求函数 f (x, y, z) xyz 在条件 1 1 1 1 (x 0, y 0, z 0, r 0) . xyz r