重点高中数学选修2-2微积分基本定理

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[学习目标] 1.了解导数和微积分的关系.2.掌握微积分基本定理.3.会用微积分基本定理求一些函数的定积分.

知识点一导数与定积分的关系

f(x)d x等于函数f(x)的任意一个原函数F(x)(F′(x)＝f(x))在积分区间[a，b]上的改变量F(b)－F(a). 以路程和速度之间的关系为例解释如下：

s ＝v(t)d t.]内物体

定积分

思考

(1)若f(x

(2)若f(x

(3)若f(x

(4)若f(x

(5)若f(x

(6)若f(x

(7)若f(x

知识点二微积分基本定理

一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)d x＝F(b)－F(a).

思考(1)函数f(x)的原函数F(x)是否唯一？

(2)用微积分基本定理计算简单定积分的步骤是什么？

答案(1)不唯一.

(2)①把被积函数f(x)变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等初等函数与常数的和或差；

②用求导公式找到F(x)，使得F′(x)＝f(x)；

③利用微积分基本定理求出定积分的值.

题型一求简单函数的定积分

例1计算下列定积分.

(1)3d x；

(3)(4x－x2

解(1)

所以3d x

(2)因为(

所以(2x

＝22＋3

(3)因为

所以(4x

＝－＝.

(4)因为

所以(x

＝(x－1)6

＝(2－1)6－(1－1)6＝.

反思与感悟(1)用微积分基本定理求定积分的步骤：

①求f(x)的一个原函数F(x)；

②计算F(b)－F(a).

(2)注意事项：

①有时需先化简，再求积分；

②若F(x)是f(x)的原函数，则F(x)＋C(C为常数)也是f(x)的原函数.随着常数C的变化，f(x)有无穷多个原函数，这是因为F′(x)＝f(x)，则[F(x)＋C]′＝F′(x)＝f(x)的缘故.因为f(x)d x＝[F(x)＋C]|＝[F(b)＋C]－[F(a)＋C]＝F(b)－F(a)＝F(x)|，所以利用f(x)的原函数计算定积分时，一般只写一个最简单的原函数，不用再加任意常数C了.

(1)2d x；

解(1)2

＝d x

＝x2d x＋

＝x3+2x

＝×(23

＝.

(2)(1＋

＝(＋x)d

＝

＝－

＝.

题型二求分段函数的定积分

例2求函数f(x)＝在区间[0,3]上的定积分.

解由定积分的性质知：

f(x)d x＝f(x)d x＋f(x)d x＋f(x)d x

＝x3d x＋x2d x＋2x d x

＝＋＋

＝＋－＋－

＝＋.

反思与感悟(1)分段函数在区间[a，b]上的定积分可分成几个定积分的和的形式.(2)分段的标准是

(1)|x2－

解(1)

∴|x2－

＝＋

＝＋－

＝2.

(2),)d x

＝,)|sin x

＝,)(cos x

＝(sin x

＝－1＋(－1)－

＝2－2.

题型三定积分的简单应用

例3已知f(a)＝(2ax2－a2x)d x，求f(a)的最大值.

解∵′＝2ax2－a2x，

∴(2ax2－a2x)d x＝

＝a－a2，

即f(a)＝a－a2＝－＋

＝－2＋，

∴当a＝时，f(a)有最大值.

c的值. 解由f

又f′(x)

而f(x)d x

＝

＝a＋b

∴a＋b

由

1.,)d x

A.2(－

C.－1

D.2－

答案 C

解析结合微积分基本定理，得

,)d x＝,)(cos x－sin x)d x＝(sin x＋cos x)＝－1.

2.下列定积分的值等于1的是()

A.x d x

B.(x＋1)d x

C.1d x

D.d x

答案 C

解析x d x＝x2＝，(x＋1)d x＝＝＋1＝，1d x＝x＝1，d x＝x＝.故选C.

3.d x＝.

答案

解析d

4.

答案

解析f(

＝＋＝.

5.

答案

解析

1.

(1)

(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和.

(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分.

2.由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数.

一、选择题

1.函数y＝cos x d x的导数是()

A.cos x

B.－sin x

C.cos x－1

D.sin x

答案 A

解析(sin x)′＝cos x，cos x d x＝sin x＝sin x，故选A.

2.若F′(x)＝x2，则F(x)的解析式不正确的是()

A.F(x)＝

B.F(x)＝

C.F(x)＝

D.F(x)＝

答案

解析

3.|x＋2|d

A.(x＋

B.(－x－

C.(x＋

D.(－x

答案

解析∵|x＋2|＝

∴|x＋2|d x＝(－x－2)d x＋(x＋2)d x.

故选D.

4.已知f(x)＝则－1f(x)d x的值为()

A.B.C.D.－