(完整版)高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案,推荐文档

函数与方程

【知识梳理】

1、函数零点的定义

（1）对于函数y =f (x) ，我们把方程 f (x) = 0 的实数根叫做函数y =f (x) 的零点。（2）方程f (x) = 0 有实根⇔函数y =f (x) 的图像与 x 轴有交点⇔函数y =f (x) 有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程 f (x) = 0 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程 f (x) = 0 ，所得实数根就是

f (x) 的零点

（3）变号零点与不变号零点

左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数 f (x) 的变号零①若函数 f (x) 在零点x

点。

左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数 f (x) 的不变号②若函数 f (x) 在零点x

零点。

③若函数 f (x) 在区间[a, b]上的图像是一条连续的曲线，则 f (a) f (b) < 0 是 f (x) 在区间(a, b)内有零点的充分不必要条件。

2、函数零点的判定

（1）零点存在性定理：如果函数y =f (x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线，

并且有f (a) ⋅f (b) < 0 ，那么，函数y =f (x) 在区间(a, b)内有零点，即存在x0∈ (a,b) ，使

得f (x

) = 0 ，这个x0也就是方程f (x) = 0 的根。

（2）函数y =f (x) 零点个数（或方程f (x) = 0 实数根的个数）确定方法

① 代数法：函数y =f (x) 的零点⇔f (x) = 0 的根；

②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系

起来，并利用函数的性质找出零点。

（3）零点个数确定

∆> 0 ⇔y =f (x) 有2 个零点⇔ f (x) = 0 有两个不等实根；

∆= 0 ⇔y =f (x) 有1 个零点⇔ f (x) = 0 有两个相等实根；

∆< 0 ⇔y =f (x) 无零点⇔ f (x) = 0 无实根；对于二次函数在区间[a,b]上的零点个数，要结合图像进行确定.

1、二分法

（1）二分法的定义:对于在区间[a, b] 上连续不断且f(a)⋅f(b)<0的函数y=f(x),通过

不断地把函数y =f (x) 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;

（2）用二分法求方程的近似解的步骤:

① 确定区间[a, b],验证f (a) ⋅f (b) < 0 ,给定精确度;

②求区间(a, b) 的中点c ;

③计算 f (c) ;

(ⅰ)若 f (c) = 0 ,则c 就是函数的零点;

(ⅱ) 若 f (a) ⋅f (c) < 0 ,则令b =c (此时零点x0∈(a, c) );

(ⅲ) 若 f (c) ⋅f (b) < 0 ,则令a =c (此时零点x

∈(c, b) );

④判断是否达到精确度,即a-b<,则得到零点近似值为a (或b );否则重复②

至④步.

【经典例题】

1．函数 f (x)=2x +x3 - 2 在区间(0,1) 内的零点个数是（）

A、0

B、1

C、2

D、3

2．函数f(x)＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是

A、(－2，－1)

B、(－1,0) ( )

C、(0,1)

x , ] ( ) ( )

4 2 D 、(1,2)

3．若函数 f (x ) = a x

- x - a ( a > 0 且

a ≠ 1)有两个零点，则实数a 的取值范围是 .

4．设函数 f (x ) (x ∈ R ) 满足 f ( -x )=f (x )，f (x )=f (2 - x )，且当 x ∈[0,1] 时，f (x ) =x 3.又函数 g (x )= |x cos (x )|，则函数 h (x )=g (x )-f (x )在[- 1 3

2 2 上的零点个数

为 （ ）

A 、5

B 、6

C 、7

D 、8 5．函数 f (x ) = x cos x 2 在区间[0,4]上的零点个数为

（

）

A 、4

B 、5

C 、6

D 、7

6．函数 f (x ) = - cos x 在[0, +∞) 内 （

）

A 、没有零点

B 、有且仅有一个零点

C 、有且仅有两个零点

D 、有

无穷多个零点

7．对实数 a 和 b ，定义运算“?”：a ?b ＝Error!设函数 f (x )＝(x 2－2)?(x －x 2)，x ∈R ，

若函数 y ＝f (x )－c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是 (

)

－1，3 －1，－3

A 、(－∞，－2]∪

B 、(－∞，－2]∪

1 1 3 1

4 (－1，4) ( ，＋∞) (－1，－4) [ ，＋∞) C 、 ∪ D 、

∪ 4 8．已知函数f （x = log a x + x - b (a ＞0，且 a ≠ 1). 当 2＜a ＜3＜b ＜4 时，函数f （） 的零点 x 0 ∈(n , n +1), n ∈ N * ,则n=

.

9. 求下列函数的零点：

（1） f (x ) = x 3 - 2x 2 - x + 2 ； （2） f (x ) = x - 4

.

x

10. 判断函数 y ＝x 3－x －1 在区间[1,1.5]内有无零点，如果有，求出一个近似零点

(精确度 0.1)．

【课堂练习】

1、在下列区间中，函数 f (x ) = e x + 4x - 3 的零点所在的区间为 （ ） A 、(- 1

, 0) B 、 1 C

1 1 D

1 3

(0, ) 4

4

、( , )

4 2

、( , )

2 4

2、若 x 0 是方程lg x + x = 2 的解，则 x 0 属于区间 （ ）

A 、(0,1)

B 、(1,1.25)

C 、(1.25,1.75)

D 、(1.75, 2) 3、下列函数中能用二分法求零点的是 ( )