17.2.3复数的代数运算(解方程)
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b x1 2a 4ac b 2 b i，x2 2a 2a 4ac b 2 i 2a
说明：关于x的方程ax bx c 0(a 0)
2
当 0时方程有两个根，且这两个根
在复数范围内韦达定理 仍然成立
互为共轭虚数,此时韦达定量仍然成立。
2
x ,x
1
2
是方程a x bx c 0的两个根
2 2
是4 20i的共轭复数，求实数 x ?
解：因为 4 20i 的共轭复数是 4 20i， 根据复数相等的定义，可得
x x 2 4, 解得 2 x 3 x 2 20.
2
x 3或x 2 x 3或x 6
所以 x 3 ．
b c 则 x1 x 2 , x1 x 2 a a 若 0则有两个互为共轭复数 的虚根
一些常用的计算结果
①如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i.(事实上 可以把它推广到n∈Z.
1 3 ②设 ,i则有: 2 2
__
1; ;1 0.
17.2.3复数的代数运算
解实系数一元二次方程
2016
铜山中等专业学校对口升学班二年级 课件制作人 李巧玲
2i 计算: (1+i)2= ___, -2i (1-i)2= ___;
1 i 1 i i -i ____; ____; 1 i 1 i
1 i 2000 1 ( ) ______ . 1 i
2
x ( 3) x
( 2)
所以
2 2
4x 4 0 x 1 0
2
解：（ 1 ）因为
b
4ac 1 0
x
1, 2
b 31 , 2a 4
x
1
1 , 2
x
2
1
（ 2 ）因为 所以 x1, 2
b
2
2
4ac 0
b 40 2 2a 2
100 50
实系数一元二次方程
ax2 bx c 0( a 0 )
b
2
4ac 0时方程有两个不相等的 实数根 b
2a 0时有两个相等的实数根 b x1 x2 2a
2
x
b
2
4ac
1, 2
b 4ac 0时，方程无实数根 .有一对共轭虚根
b
b
2
4ac
2a
0时有两个相等的实数根
x
1
x
2
b 2a
回顾：ax bx c 0(a 0)
2
b 2 b 4ac b 2 b 4ac a( x ) (x ) 2 2a 4a 2a 4a
2
2
b 4ac 0时，方程无实数根 . 虚数根呢？
在复数范围内韦达定理 仍然成立
x ,x
1
2
是方程a x bx c 0的两个根
2
b c 则 x1 x 2 , x1 x 2 a a 若 0则有两个互为共轭复数 的虚根
wenku.baidu.com
例.已知2i 3是关于x的方程 2 x px q 0的一个根，求实数
2
p，q的值。
知识回顾： 共轭复数：
Z a bi, Z a bi(a ，b R)
| Z || Z |
Z Z
2 bi
2
2a
a b
2
回忆一元二次方程的求根公式：
ax2 bx c 0( a 0) b 4ac 0时方程有两个不相等的 实数根
2
x
1, 2
问题分析与练习： 1 3 设 i .求证： 2 2 2 3 (1).1 0.(2). 1
反思：在复数范围解方 程x 1
3
课堂练习：
1 3 6 1.( i) 2 2
2. 1 3i
2
1
( 3 i)
1 i 3.当z 时，求 2 z z 1 的值. -i
3 2 2
__
__
与 统称为1的立方虚根,而且对于 ,也有类似于 事实上, 上面的三个等式.
③
1 1 i 1 i (1 i ) 2i; i; i; i. i 1 i 1 i
2
作业：课本69页习题2（1）（2） 课外作业：学习指导书做到49页
2
b 2 4ac b (x ) 2 2a 4a
2
b 4ac b x ( ) i 2 2a 4a
2
2 2
b 4ac b b 4ac b x1 i，x2 i 2a 2a 2a 2a
例6：解下列一元二次方程
（ 1 ） 2 x 3x 1 0
( 3)因为 所以 x1, 2
b
4ac 3 0 i 2a 1 3i 2
b
1 3 i 2 2
0时方程有一对共轭虚数 解
说明：关于x的方程ax bx c 0(a 0)
2
当 0时方程有两个根，且这两个根
互为共轭虚数,此时韦达定量仍然成立。
解： 2i 3的共轭复数是- 3 - 2i p 由韦达定理得： 2i 3 ( 3 2i ) 2 q ( 2i 3) ( 3 2i ) 2 p 所以， -6 即p 1 2 2 q 13 即q 2 6 2
例：已知复数 x x 2 ( x 3 x 2)i
说明：关于x的方程ax bx c 0(a 0)
2
当 0时方程有两个根，且这两个根
在复数范围内韦达定理 仍然成立
互为共轭虚数,此时韦达定量仍然成立。
2
x ,x
1
2
是方程a x bx c 0的两个根
2 2
是4 20i的共轭复数，求实数 x ?
解：因为 4 20i 的共轭复数是 4 20i， 根据复数相等的定义，可得
x x 2 4, 解得 2 x 3 x 2 20.
2
x 3或x 2 x 3或x 6
所以 x 3 ．
b c 则 x1 x 2 , x1 x 2 a a 若 0则有两个互为共轭复数 的虚根
一些常用的计算结果
①如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i.(事实上 可以把它推广到n∈Z.
1 3 ②设 ,i则有: 2 2
__
1; ;1 0.
17.2.3复数的代数运算
解实系数一元二次方程
2016
铜山中等专业学校对口升学班二年级 课件制作人 李巧玲
2i 计算: (1+i)2= ___, -2i (1-i)2= ___;
1 i 1 i i -i ____; ____; 1 i 1 i
1 i 2000 1 ( ) ______ . 1 i
2
x ( 3) x
( 2)
所以
2 2
4x 4 0 x 1 0
2
解：（ 1 ）因为
b
4ac 1 0
x
1, 2
b 31 , 2a 4
x
1
1 , 2
x
2
1
（ 2 ）因为 所以 x1, 2
b
2
2
4ac 0
b 40 2 2a 2
100 50
实系数一元二次方程
ax2 bx c 0( a 0 )
b
2
4ac 0时方程有两个不相等的 实数根 b
2a 0时有两个相等的实数根 b x1 x2 2a
2
x
b
2
4ac
1, 2
b 4ac 0时，方程无实数根 .有一对共轭虚根
b
b
2
4ac
2a
0时有两个相等的实数根
x
1
x
2
b 2a
回顾：ax bx c 0(a 0)
2
b 2 b 4ac b 2 b 4ac a( x ) (x ) 2 2a 4a 2a 4a
2
2
b 4ac 0时，方程无实数根 . 虚数根呢？
在复数范围内韦达定理 仍然成立
x ,x
1
2
是方程a x bx c 0的两个根
2
b c 则 x1 x 2 , x1 x 2 a a 若 0则有两个互为共轭复数 的虚根
wenku.baidu.com
例.已知2i 3是关于x的方程 2 x px q 0的一个根，求实数
2
p，q的值。
知识回顾： 共轭复数：
Z a bi, Z a bi(a ，b R)
| Z || Z |
Z Z
2 bi
2
2a
a b
2
回忆一元二次方程的求根公式：
ax2 bx c 0( a 0) b 4ac 0时方程有两个不相等的 实数根
2
x
1, 2
问题分析与练习： 1 3 设 i .求证： 2 2 2 3 (1).1 0.(2). 1
反思：在复数范围解方 程x 1
3
课堂练习：
1 3 6 1.( i) 2 2
2. 1 3i
2
1
( 3 i)
1 i 3.当z 时，求 2 z z 1 的值. -i
3 2 2
__
__
与 统称为1的立方虚根,而且对于 ,也有类似于 事实上, 上面的三个等式.
③
1 1 i 1 i (1 i ) 2i; i; i; i. i 1 i 1 i
2
作业：课本69页习题2（1）（2） 课外作业：学习指导书做到49页
2
b 2 4ac b (x ) 2 2a 4a
2
b 4ac b x ( ) i 2 2a 4a
2
2 2
b 4ac b b 4ac b x1 i，x2 i 2a 2a 2a 2a
例6：解下列一元二次方程
（ 1 ） 2 x 3x 1 0
( 3)因为 所以 x1, 2
b
4ac 3 0 i 2a 1 3i 2
b
1 3 i 2 2
0时方程有一对共轭虚数 解
说明：关于x的方程ax bx c 0(a 0)
2
当 0时方程有两个根，且这两个根
互为共轭虚数,此时韦达定量仍然成立。
解： 2i 3的共轭复数是- 3 - 2i p 由韦达定理得： 2i 3 ( 3 2i ) 2 q ( 2i 3) ( 3 2i ) 2 p 所以， -6 即p 1 2 2 q 13 即q 2 6 2
例：已知复数 x x 2 ( x 3 x 2)i