第16章 轴对称图形培优

第16章轴对称图形培优

一．解答题（共33小题）

1．（2016•南昌校级自主招生）（1）数学课上，老师出了一道题，如图①，Rt△ABC中，∠C=90°，，求证：∠B=30°，请你完成证明过程．

（2）如图②，四边形ABCD是一张边长为2的正方形纸片，E、F分别为AB、CD的中点，沿过点D的折痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，折痕交AE于点G，请运用（1）中的结论求∠ADG的度数和AG的长．

（3）若矩形纸片ABCD按如图③所示的方式折叠，B、D两点恰好重合于一点O（如图④），当AB=6，求EF的长．

【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．

【专题】16 ：压轴题．

【分析】（1）Rt△ABC中，根据sinB═=，即可证明∠B=30°；

（2）求出∠FA′D的度数，利用翻折变换的性质可求出∠ADG的度数，在Rt△A'FD中求出A'F，得出A'E，在Rt△A'EG中可求出A'G，利用翻折变换的性质可得出AG的长度．

（3）先判断出AD=AC，得出∠ACD=30°，∠DAC=60°，从而求出AD的长度，根据翻折变换的性质可得出∠DAF=∠FAO=30°，在Rt△ADF中求出DF，继而得出FO，同理可求出EO，再由EF=EO+FO，即可得出答案．

【解答】（1）证明：Rt△ABC中，∠C=90°，，∵sinB==，∴∠B=30°；

（2）解：∵正方形边长为2，E、F为AB、CD的中点，∴EA=FD=×边长=1，

∵沿过点D的抓痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，∴A′D=AD=2，∴=，

∴∠FA′D=30°，可得∠FDA′=90°﹣30°=60°，

∵A沿GD折叠落在A′处，∴∠ADG=∠A′DG，AG=A′G，∴∠ADG===15°，∵A′D=2，FD=1，∴A′F==，∴EA′=EF﹣A′F=2﹣，

∵∠EA′G+∠DA′F=180°﹣∠GA′D=90°，∴∠EA′G=90°﹣∠DA′F=90°﹣30°=60°，

∴∠EGA′=90°﹣∠EA′G=90°﹣60°=30°，则A′G=AG=2EA′=2（2﹣）；

（3）解：∵折叠后B、D两点恰好重合于一点O，∴AO=AD=CB=CO，∴DA=，

∵∠D=90°，∴∠DCA=30°，∵AB=CD=6，

在Rt△ACD中，=tan30°，则AD=DC•tan30°=6×=2，

∵∠DAF=∠FAO=∠DAO==30°，∴=tan30°=，∴DF=AD=2，∴DF=FO=2，同理EO=2，∴EF=EO+FO=4．

【点评】本题考查了翻折变换的知识，涉及了含30°角的直角三角形的性质、平行四边形的性质，综合考察的知识点较多，注意将所学知识融会贯通．

2．（2016•于田县校级模拟）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．

（1）如图1，△ABC中，∠B=2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．求证：AE是△ABC的一条特异线；

（2）如图2，若△ABC是特异三角形，∠A=30°，∠B为钝角，求出所有可能的∠B的度数．【考点】KH：等腰三角形的性质；KG：线段垂直平分线的性质．

【分析】（1）只要证明△ABE，△AEC是等腰三角形即可．

（2）如图2中，当BD是特异线时，分三种情形讨论，如图3中，当AD是特异线时，AB=BD，AD=DC根据等腰三角形性质即可解决问题，当CD为特异线时，不合题意．

【解答】（1）证明：如图1中，

∵DE是线段AC的垂直平分线，∴EA=EC，即△EAC是等腰三角形，∴∠EAC=∠C，

∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，

∵∠B=2∠C，∴∠AEB=∠B，即△EAB是等腰三角形，∴AE是△ABC是一条特异线．

（2）解：如图2中，

当BD是特异线时，如果AB=BD=DC，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=120°+15°=135°，

如果AD=AB，DB=DC，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=75°+37.5°=112.5°，

如果AD=DB，DC=CB，则ABC=∠ABD+∠DBC=30°+60°=90°（不合题意舍弃）．

如图3中，当AD是特异线时，AB=BD，AD=DC，则∠ABC=180°﹣20°﹣20°=140°

当CD为特异线时，不合题意．

∴符合条件的∠ABC的度数为135°或112.5°或140°．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，学会画出图形，借助于图形解决问题，学会利用方程去思考问题，属于中考创新题目．

4．（2013•汕尾模拟）如图，△ABC中，AB=AC，D、E分别是BC、AC上的点，∠BAD与∠CDE 满足什么条件时AD=AE？写出你的推理过程．

【考点】KH：等腰三角形的性质．

【专题】16 ：压轴题；26 ：开放型．

【分析】若∠BAD=2∠CDE，设∠CDE=x，则∠BAD=2x，根据角之间的关系可求得∠1=x+∠C=∠2，即AD=AE，所以当∠BAD=2∠CDE时，AD=AE．

【解答】解：当∠BAD=2∠CDE时，AD=AE

证明：若∠BAD=2∠CDE，设∠CDE=x，则∠BAD=2x，∵AB=AC，∴∠B=∠C

∵∠2=∠CDE+∠C，∠ADC=∠BAD+∠B，∴∠2=x+∠C，∠1+x=2x+∠B=2x+∠C

∴∠1=x+∠C=∠2，∴AD=AE．

【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质的理解及运用．通过方程解题是正确解答本题的关键．

8．（2012•遵义）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．

（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；

（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．

【考点】KK：等边三角形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；KO：含30度角的直角三