结构设计原理——第二节(受弯构件强度计算)

试验研究表明：钢筋混凝土受弯构件的破 (a)
P
P
坏性质与配筋率ρ、钢筋强度等级、混凝
土强度等级有关。对常用的热轧钢筋和普
通强度混凝土，破坏形态主要受到配筋率 (b)
P
P
ρ的影响。正截面破坏的三种形态：
（a）少筋梁破坏 （b）适筋梁破坏
P
P
(c)
（c）超筋梁破坏
受弯构件正截面承载力计算
根据弯矩组合设计值Md来确定钢筋混凝土梁和板截面上纵向受力钢筋的所需 面积并进行钢筋的布置。
2、第二类T形截面 ( x hf )
计算图式
γ
基本计算公式：
C1 C2 T fcdbx fcdh'f b'f b fsd As
（3-43）
M 0
0 M d
Mu
f cd bx(h0
x) 2
f cd
b
' f
b
h
' f
(h0
h
' f
2
)
（3-44）
适用条件： （1）x≤ b；h0（2） ≥ 。 m in
单筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算图式
基本公式（基本方程）
∑X=0
fcdbx fsd As
（3-13）
∑MT=0
0Md
Mu
f cd bx(h0
x) 2
（3-14）
∑MC=0
0Md
Mu
f sd
As (h0
x) 2
（3-15）
两个独立的基本方程：公式（3-13）、（3-14）或者（3-15）。
适用条件：
（1）为防止出现超筋梁情况，计算受压区高度 x 应满足：
x b h0
(3-16)
b
ξb——相对界限受压区高度
由混凝土强度等级别和钢筋种类确定（可查表确定）
(3-16)亦可理解为： ➢ 限制受压区最大高度，保证适筋梁的塑性破坏 ➢ 限制承载力上限值
由
fcdbx fsd As
则相对受压区高度ξ为
两个适用条件也防止了脆性破坏
从这里可以看到钢筋混凝土结构的特点：两种性能不同的材料组 成的构件，受力和变形存在相互协调、相互制约的问题，强度和数 量上的比例超过一定界限，就会引起构件受力性能的改变，这是单 一材料所没有的。
双筋矩形截面受弯构件
• 定义：受拉和受压区均配置受力钢筋的矩形截面 • 通常不采用双筋截面（理由：不经济） • 采用双筋截面的情况
坏特征。受压区混凝土仍可采用等效矩形应力图形和混凝土抗压设计强度 fcd。
受压钢筋的应力：可以证明，当x≥ 2a时s' ，普通钢筋均能达到受压屈服强度：
' s
xc as' (1 as' ) (1 0.8as' )
cu
xc
xc
x
' s
0.0033 (1
0.8as' ) x
as' 1 x2
受弯构件的设计包括正截面承载能力计算和斜截面承载能力计算。
梁内钢筋的组成：
纵向受力钢筋（主钢筋）、弯起钢筋或斜钢筋、箍筋、架立筋、水平纵向钢筋
钢筋骨架的形式： 绑扎钢筋骨架 —将纵向钢筋与横向钢筋通过绑扎而成 的空 间钢筋骨架，一般用于整体现浇； 焊接钢筋骨架 —先将纵向受拉钢筋（主钢筋）、弯起钢筋
2
-
0
（3-40） （3-41） （3-42）
适用条件
（1） x b h0
第一类T形截面的x= bh0 ≤ h'f，即 ≤ hh0'f。
由于一般T形截面的h
' f
较小，因而 值也小，所以一般均能满足这个条件。
h0
（2） min
As ，b为T形截面的梁肋宽度
bh0 在验算T形截面的值时，近似地取梁肋宽b来计算，为什么？
实际压应力分布
翼板全宽
2）T形截面翼缘计算宽度 b'的f 取值:
T形截面 b'f越宽, 越h0大, 抗弯内力臂越大。但实际压区应力分布如 图所示。纵向压应力沿宽度分布不均匀。
办法：限制 b'的f 宽度, 使压应力分布均匀, 并取 。fcd
实际应力图块
有效翼缘宽度 bf 等效应力图块
实际中和轴
《公路桥规》规定，T形截面梁（内梁）的受压翼板有效宽度
（2）保持合力C的大小不变。 （等效矩形应力图形与实际抛物线应力图形的面积相等）
引入 无量纲参数 和
——受压区等效矩形换算高度系数， =x/xc（中和轴高度） ——矩形压应力图应力与受压区混凝土最大应力σ0的比值
1
2 3
( 0 cu
)
1 6
( 0 cu
)
2
(1 1 0 )
3 cu
x≥
2as'
（二）基本公式及适用条件
基本假定：
1. 平截面假定
2. 受压区混凝土应力图形采用等效矩形，其压力强度取 fcd 3. 不考虑截面受拉混凝土的抗拉强度
4.
受拉区、受压区钢筋应力分别取
fsd
、f
/ sd
。
5.
γ
基本计算公式：
双筋矩形截面的正截面承载力计算图式
x 0
fcd bx
➢ 单筋截面 ，b且 b、h、 受f到cd限制
➢ 截面承受异号弯矩，则必须采用双筋截面 ➢ 结构本身受力图式的原因，例如连续梁的内支点处截面，将会产生事
实上的双筋截面 ➢ 可提高截面延性,减少长期荷载作用下的变形
（一）受压钢筋的应力
受力特点和破坏特征：与单筋截面相似，只要满足≤b ， 双筋截面仍具有适筋破
第一类T形截面 ( x hf )
hf ) 视同 b'f×h的矩形截面，基本计算公式 ：
f
cd
b
' f
x
f sd As
0Md
Mu
f
cd
b
/ f
x
h0
x 2
0Md
Mu
f sd
As
h0
x 2
计算图式
γ0
对HRB335、HRB400和KL400级钢筋
' s
' s
E
' s
0.002 2 10 5
400 MPa
f sk
由此可见，当 x 2as' 时，普通钢筋均能达到屈服强度
受压钢筋有必要采用高强钢筋吗
受压钢筋不宜用高强钢筋
为了充分发挥受压钢筋的作用并确保其达到屈服强度，规范规
定取 s'时必fs须'k 满足：
b
' f
用下列三
者中最小值：
（1）简支梁计算跨径的1/3。
（2）相邻两梁的平均间距。
（3） b 2bh 12h'f 。当
hh
bh
1
3 时，取（ b 6hh
12h' ） f
此处，b 、bh 、hh和 h'f分别如图示，hh 为承托根部厚度。
翼板
边梁梁肋
内梁梁肋
承托
二、基本公式及适用条件
按受压区高度的不同分为两类：
显然，适筋梁的配筋率ρ应满足：
ρ≤ρmax
（3-19） （3-20）
x≤ bh0 ρ≤ ρmax
意义相同，防止超筋梁 在实际计算中，多采用前者
（2）为防止出现少筋梁的情况，计算的配筋率ρ应当满足：
ρ≥ρmin
（3-21）
min ——最小配筋率
少筋梁与适筋梁的界限。
ρmin=Max（0.2，45ftd / fsd） %
翼缘板（简称翼板）：截面伸出部分 梁肋或梁腹：其宽度为b的部分
判断一个截面在计算时是否属于T形截面，不是看截面本身形状，而是要 看其翼缘板是否能参加抗压作用。
I字形截面、箱形截面均可按T形截面处理。
倒T梁（图b）只能按矩形截面处理。
翼板
梁肋
翼板
梁肋
T形梁截面
受压翼缘有效宽度 b的'f 确定
1） 翼缘有效宽度： 翼缘上应力分布非均匀。为便于计算，设计中，根据等效受力原则，把与 梁肋共同工作的翼板宽度限制在一定的范围内，称为受压翼板的有效宽度。
计算依据 1）Ⅰa可作为受弯构件抗裂度计算的依据； 2）Ⅱ可作为使用阶段的变形和裂缝开展计算时的依据； 3）Ⅲa可作为极限状态的承载力计算的依据。
受弯构件正截面破坏形态
钢筋混凝土受弯构件有两种破坏性质：
塑性破坏（延性破坏）：结构或构件在破坏前有明显变形或其他征兆；
脆性破坏：结构或构件在破坏前无明显变形或其他征兆。
即 x 2as' 时, 可得到:
' s
0.0033(1
0.8as' 2as'
)
0.00198
双筋截面受压钢筋应变计算分析图
因此，《公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范》取受压钢筋应变：
' s
0.002
对R235级钢筋
' s
' s
Es'
0.002 2.110 5
420 MPa
f sk
（2）为了保证受压钢筋达到抗压强度设计值，应满足：
x
a
' s
若求得x＜2 a，s' 则表明受压钢筋 A可s' 能达不到其抗压强度设计值（基本方 程多一未知数）。
规定这时可取x
=2a
' s
，即假设混凝土压应力合力作用点与受压区钢筋合力
作用点相重合，对受压钢筋 A合s' 力作用点取矩，可得到正截面抗弯承载力的 近似表达式为
正截面工作的三个阶段
φ
φ
φ
Ⅰ
Ⅰa
裂缝即将出现
y
u
=
Ⅱ
Ⅱa
纵向钢筋屈服
=
Ⅲ
=
Ⅲa 破坏
三个阶段
1）阶段Ⅰ：整体工作阶段 2）阶段Ⅱ：带裂缝工作阶段
3）阶段Ⅲ：破坏阶段
三个特征点
第I阶段末（Ia），裂缝即将出现； 第II阶段末（IIa），纵向受力钢筋屈服； 第III阶段末（IIIa），梁受压区混凝土被压碎，整个梁截面破坏。
M u （f3sd-A3s8(）h0 as' ) min 一般能满足
T形截面受弯构件正截面承载力计算
（一）概述 T梁的形成：矩形截面梁在破坏时，开裂截面处受拉区混凝土对截面的抗弯承 载力已退出工作，因此可将受拉区混凝土挖去一部分，将受拉钢筋集中布置在 剩余拉区混凝土内，形成T形截面。 优点：不降低截面承载能力，节省混凝土用量和减轻自重，增大跨越能力。
1 (1 1 0 )
3 cu
（3－9） （3－10）
确定ε0、εcu
等效矩形压应力分布图
单筋矩形截面受弯构件计算
（一）基本公式及适用条件 基本假定： 1.平截面假定
2.受压区混凝土应力图形采用等效矩形，其压力强度取fcd 3.不考虑截面受拉混凝土的抗拉强度 4.受拉区钢筋应力取fsd
基本计算原则：γo Md ≤ Mu
x f sd As f sd
h0
fcd bh0
fcd
（3-18）
可见 不仅反映了配筋率ρ，而且反映了材料的强度比值的影响，故又被称 为配筋特征值，它是一个比ρ更有一般性的参数。
As
bh0
ρ只反映了混凝土和钢筋数量的比例。
当 = b 时，最大配筋率ρmax为
max b
fcd f sd
勘察设计注册土木工程师（道路工程）资格考试 Engineering Mathematics
结构设计原理
受弯构件强度计算
• 受弯构件的截面形式与构造 • 受弯构件正截面受力全过程和破坏性特征 • 受弯构件正截面承载力计算 • 受弯构件斜截面承载力
概述
破坏形态 1、正截面受弯破坏：弯矩作用下产生的破坏（沿铅垂面）。 2、斜截面受剪破坏：弯矩和剪力共同作用下引起的破坏（倾斜面）
材料应力应变的物理关系
问题：材料力学中单向状态下应力应变的物理关系？
1)混凝土受压时－关系
常用的是二次抛物线及水平线组成的曲 线形式(如图)。其表达式为
0
2
0
0
2
0
0 0
CEB-FIP的标准规范采用的典型化混凝土 应力应变曲线
2)钢筋的－关系
采用简化的理想弹塑性应力应变关系。 普通钢筋的应力应变关系表达式为：
f
' sd
As '
f sd As
（3-33）
MT 0
0Md
Mu
fcd bx(h0
x) 2
f
' sd
As' (h0
as' )
（3-34）
M' T
0
0Md
Mu
x fcd bx( 2
as'
)
fsd As (h0 as' )（3-35）
适用条件：
（1）为了防止出现超筋梁情况，计算受压区高度 x 应满足： x b h0
架立钢筋
箍筋
弯起钢筋
纵向钢筋
绑扎钢筋骨架
架立钢筋
斜筋
弯起钢筋
斜筋
或斜筋和架立钢筋焊接成平面骨架，然后 用箍筋将数片焊接的平面骨架组成空间骨架。
纵向钢筋
焊接钢筋骨架
受弯构件正截面受力全过程和破坏特征
钢筋混凝土——物理力学性能不同的材料组成的复合材料，又是非均质、 非弹性的材料，受力后不符合虎克定理（不成正比），按材料力学公式计 算的结果与试验结果相差甚远，因此，钢筋混凝土结构的计算方法必须建 立在试验的基础上。
1 ( 0 12 cu
1 1 0 3 cu
)2
（3－5） （3－6）
式中ξc=xc/h0
显然，用混凝土受压时的应力应变
曲线σ=σ(ε)来求应力合力C和合力
作用点yc是比较麻烦的。
简化方法：用等效矩形应力图代替混凝土实际应力图。 等效原则：
（1）保持合力C的作用点位置不变。 （等效矩形应力图形与实际抛物线应力图形的形心位置相同）
s s Es s y
0 s y s y
压区混凝土等效矩形应力图 在前述假定的基础上：
由此假定
截面上混凝土压应力的分布图形与混凝土的应力应变曲线（受压时）是相似的
计算前提：压应力合力C及其作用位置 y c
由基本假定可以求得
C
0ch0b(1
1 3
0 cu
)
yc
ch0
1
1 2