一类三阶逐段常变量微分方程渐近概周期解的存在性
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（，） ， ￡为Ｒ的相对稠密子集．
由渐近 概周期性 的定义， 不难看 出， （） ｚ 当｛ ｎ｝ 为渐近概周期序 列， （ 为渐近概周 期函数 ， ）
时， 命题１ 的结论也成立．
命 题２１ 设｛ ｎ｝∈ 为 渐 近 概周 期序 列 ， 为 关 于ｔ ［＿ Ｏ （） ｚ ９ ＿ 在Ｒ ×Ｒ一致 的渐 近概 周 期 函数，
ｔｔ ＿ ， ＋７∈Ｒ — ， ７∈Ｔ（，） （，） ＿ ｆ￡， ＸＹ ∈
Ｔ ｘｇ ＝｛ ∈Ｚ： （ ＋７ 一ｘｎ ｌ ， （，） ７ － ｌ ｎ － （）＜￡ｎ∈ｚ ｚ ） ）
在ｚ中足相对稠密的， 记这类 函数 的全体为Ａ Ｚ ． Ｐ（）
定 义５１ 称序列 ： ＋一 Ｒ为渐近概周期序列， １］ ｏ Ｚ 是指序 列 可写为和式 函数， 如果对每个Ｅ＞ ０ 存 在Ｒ＋ ， 的相对稠密
子集Ｔ（ ，） ｆ ￡和有界子集 使得
ｆｔ ） （ ｌ ， （＋丁 ～ｆｔ ＜Ｅ ）
ｔｔ － ， ＋７∈Ｒ＋一 ， ∈Ｔ（，） ７ ． ｆ￡
这类 函数 的全体 为ＡＡ Ｒ＋ ．若ｌ Ｐ（ ） 厂∈Ａ ＡＰ（ ）则ｌ Ｒ＋ ， 厂 可写为和式：ｆｔ ＝ ｇｔＬ－＋ ｔ， （ ） （ ￣－ （ 其 ） ）
Ｔ ｆ￡ 一｛ （，） 丁∈Ｒ： （＋７ 一．ｔ ＜￡ｔ ｌ ｔ ＿ 厂 ） ， ∈Ｒ｝ ｆ ） （ｌ
在Ｒ中是相对稠密 的， 这类函数 的全 体为ＡＰ Ｒ） 记 （ ．Ｒ的一个子集Ｓ 为是相对稠密 的， 称 是指存
／Ｌ＞０ ＇ ｔ ！ 满足［， ｎａ＋Ｌ ｎｓ≠ ， ］ 对任意的ｎ∈Ｒ．
￣ Ｔ（，） ｇ ￡ ） ｌ ｘ ￡ ｎＴ（，， 为相对稠 密子集 ， 中 ｃ Ｒ ×Ｒ为任一紧子集． 其
一
ｐ
一
ｌ ｊ
ｇ
＝
ｑ
Ｚ
Ｚ
＼ ＼ 、 ＝ 、 ＝
摘
要 ： 过 构 造 差 分 方程 的 渐 近 概 周 期 序 列 解 ， 究 了三 阶 中 立 型 逐 段 常 变量 微 分 通 研
ⅢⅢ 一～ ３
、● ／ 、 ●
方程 渐 近 概 周 期 解 的存 在 性 ．
关 键 词 ： 近概 周 期 解； 近概 周 期 序 列 ： 段 常 变量 渐 渐 逐 中图 分 类 号 ： ７ ． Ｏ１ ５１
文献标识码： Ａ
文章编号： ００４ ２（０２０—１７０ １ １０—４４２ １）２０ ５ １
§ 引 言 １
逐 段 常 变 量 微 分 方 程 是 连 续 和 离 散 动 力 系 统 的 混 合 形 式 ， 不但 具 有 微 分 方 程 的性 质 ， 它 而
且还具有差分方程的性质， 因而在控制理论和生物模型理论 中有重要意义． 已有 的大部分文献都 是讨论这类方程解 的稳定性 ［、扰 动性［、周期解及 概周期解 ［６ ］ 。 】 。］ 一 的存在性 ． 相对地 ， 讨论这类 方程渐近概周期解存在性 的文章还不多 Ｉ８ 三阶 以上微 分方程的结论就更少．本文研究如下三 Ｔｌ 一，
（） （ ＋ｐ （一１的三阶导数在除点［外处处存在， ｂ ｘｔ ｘｔ ） ） 而在 单侧导数存在，
（） 在每个区间（ ， ＣＸ ｎ 礼＋ １上满足方程 （） ｎ∈Ｚ． ） １，
１８ ５
高 校 应 用 数 学 学 报
第 ２卷 第２ ７ 期
§ 一些定 义和基本 结果 ２
定 义１ ］ 称 函数． Ｒ — Ｒ为概周期函数 ， ［ 。 厂： 如果对每个￡ ０ ， 一位移集， ＞ ， 的 即
高校应用数学学报
２ １ ， ７２：１７１ ７ ０ ２ ２ （） ５ －６
一
类 三 阶 逐段 常变 量微 分 方 程渐 近 概 周 期解 的存 在 性
＋
＋
庄容坤 吴洪 武 张 留伟。 ， ，
（１ 州 学 院 数 学 系， 东 惠 州 ５ ６ ０ ； ．惠 广 １０ ７ ２ ．华 南理 工 大学 数 学 科 学 学 院 ， 东广 州 ５ ０ ４ ； 广 １６ ０ ３ ．中 山 大学 中 法核 工 程 与技 术 学 院， 东珠 海 ５ ９ ８ ） 广 １ ０ ２
个Ｅ＞０ 紧子集Ｗ ×Ｒ， 和 ｃＲ 存在Ｒ的相对稠密子集Ｔ（，） ｆ￡和有界子集 使得 ｆｔ ＿ ，） （， Ｙｌ ， （＋７ｚＹ 一ｆｔ ）＜￡ ， ，
记这类函数的全体 为Ａ ＡＰ（ ×Ｒ ×Ｒ） Ｒ ．
定义４１］ 称序列 ： ［ ｏ Ｚ— Ｒ为概周期序列， 如果对每个Ｅ＞０ ， 的￡ 位移集， 一 即
中夕 Ｐ Ｒ ， ∈Ａ （ ） ∈Ｃ （ ） ∈Ｃ Ｒ ） ｌ 一 。Ｉ（ ｌ ） ｏ Ｒ＋ ＝｛ （ ＋ ：ｍｔ ＋。 ￡ ＝０ ． ｉ ）
定 义 ３１ 称 函数 ． Ｒ ×Ｒ ×Ｒ — Ｒ是 关 于 在 Ｒ ×Ｒ一 致 的渐 近 概 周 期 函 数 ， 果对 每 ［］ ０ 厂： 如
（ ） Ｘ （ ） ＋＋Ｘ （） ｎ ＝ ｌ佗 ｌ ｚ ２ｒ ｔ
其中 １ Ｐ（ ）Ｘ ∈Ｃ （ ＋ ＝ ｛ ∈Ａ Ｚ ，２ ｏＺ ） ∈ｃ（ ＋ ：ｉ —＋。（礼 ｌ ｝ ｚ ） ｌ 。 ｌ（）＝０ ． ｍ ｉ ） 命 题１。 ］ 设｛ （）＂ ｚ 概 周 期 序 列，， 为概 周 期 函数 ． 则 （，）ｎＺ 【 礼 ）∈ 为 （ ） ．￡ 与Ｔ（，） 厂 ｘＥ ｎ
阶中立型逐段 常变量微 分方程
４， ， － （ ）
（） １
＋ｇｔ （ ，（ ） （ ｚｔ ｚ ㈤ ， ）
（ ２ ）
的渐 近 概 周 期 解 的存 在 性． 其 中ｐ≠ ０，ｑ≠ ０为 常 数，ｆ ： — Ｒ为 渐 近 概 周 期 函数， （ ） （ ） Ｒ
ｇ： ×Ｒ ×Ｒ — Ｒ是 关于ｔ Ｒ 在Ｒ ×Ｒ一致的渐近概周期 函数 ，． ｆ表示取整 函数 ． ］ 称ｚ： — Ｒ为 Ｒ 方程 ｆ）的解 ， １ 如果下列条件被满足： ｆ） 在Ｒ上是连续的， ａｘ
由渐近 概周期性 的定义， 不难看 出， （） ｚ 当｛ ｎ｝ 为渐近概周期序 列， （ 为渐近概周 期函数 ， ）
时， 命题１ 的结论也成立．
命 题２１ 设｛ ｎ｝∈ 为 渐 近 概周 期序 列 ， 为 关 于ｔ ［＿ Ｏ （） ｚ ９ ＿ 在Ｒ ×Ｒ一致 的渐 近概 周 期 函数，
ｔｔ ＿ ， ＋７∈Ｒ — ， ７∈Ｔ（，） （，） ＿ ｆ￡， ＸＹ ∈
Ｔ ｘｇ ＝｛ ∈Ｚ： （ ＋７ 一ｘｎ ｌ ， （，） ７ － ｌ ｎ － （）＜￡ｎ∈ｚ ｚ ） ）
在ｚ中足相对稠密的， 记这类 函数 的全体为Ａ Ｚ ． Ｐ（）
定 义５１ 称序列 ： ＋一 Ｒ为渐近概周期序列， １］ ｏ Ｚ 是指序 列 可写为和式 函数， 如果对每个Ｅ＞ ０ 存 在Ｒ＋ ， 的相对稠密
子集Ｔ（ ，） ｆ ￡和有界子集 使得
ｆｔ ） （ ｌ ， （＋丁 ～ｆｔ ＜Ｅ ）
ｔｔ － ， ＋７∈Ｒ＋一 ， ∈Ｔ（，） ７ ． ｆ￡
这类 函数 的全体 为ＡＡ Ｒ＋ ．若ｌ Ｐ（ ） 厂∈Ａ ＡＰ（ ）则ｌ Ｒ＋ ， 厂 可写为和式：ｆｔ ＝ ｇｔＬ－＋ ｔ， （ ） （ ￣－ （ 其 ） ）
Ｔ ｆ￡ 一｛ （，） 丁∈Ｒ： （＋７ 一．ｔ ＜￡ｔ ｌ ｔ ＿ 厂 ） ， ∈Ｒ｝ ｆ ） （ｌ
在Ｒ中是相对稠密 的， 这类函数 的全 体为ＡＰ Ｒ） 记 （ ．Ｒ的一个子集Ｓ 为是相对稠密 的， 称 是指存
／Ｌ＞０ ＇ ｔ ！ 满足［， ｎａ＋Ｌ ｎｓ≠ ， ］ 对任意的ｎ∈Ｒ．
￣ Ｔ（，） ｇ ￡ ） ｌ ｘ ￡ ｎＴ（，， 为相对稠 密子集 ， 中 ｃ Ｒ ×Ｒ为任一紧子集． 其
一
ｐ
一
ｌ ｊ
ｇ
＝
ｑ
Ｚ
Ｚ
＼ ＼ 、 ＝ 、 ＝
摘
要 ： 过 构 造 差 分 方程 的 渐 近 概 周 期 序 列 解 ， 究 了三 阶 中 立 型 逐 段 常 变量 微 分 通 研
ⅢⅢ 一～ ３
、● ／ 、 ●
方程 渐 近 概 周 期 解 的存 在 性 ．
关 键 词 ： 近概 周 期 解； 近概 周 期 序 列 ： 段 常 变量 渐 渐 逐 中图 分 类 号 ： ７ ． Ｏ１ ５１
文献标识码： Ａ
文章编号： ００４ ２（０２０—１７０ １ １０—４４２ １）２０ ５ １
§ 引 言 １
逐 段 常 变 量 微 分 方 程 是 连 续 和 离 散 动 力 系 统 的 混 合 形 式 ， 不但 具 有 微 分 方 程 的性 质 ， 它 而
且还具有差分方程的性质， 因而在控制理论和生物模型理论 中有重要意义． 已有 的大部分文献都 是讨论这类方程解 的稳定性 ［、扰 动性［、周期解及 概周期解 ［６ ］ 。 】 。］ 一 的存在性 ． 相对地 ， 讨论这类 方程渐近概周期解存在性 的文章还不多 Ｉ８ 三阶 以上微 分方程的结论就更少．本文研究如下三 Ｔｌ 一，
（） （ ＋ｐ （一１的三阶导数在除点［外处处存在， ｂ ｘｔ ｘｔ ） ） 而在 单侧导数存在，
（） 在每个区间（ ， ＣＸ ｎ 礼＋ １上满足方程 （） ｎ∈Ｚ． ） １，
１８ ５
高 校 应 用 数 学 学 报
第 ２卷 第２ ７ 期
§ 一些定 义和基本 结果 ２
定 义１ ］ 称 函数． Ｒ — Ｒ为概周期函数 ， ［ 。 厂： 如果对每个￡ ０ ， 一位移集， ＞ ， 的 即
高校应用数学学报
２ １ ， ７２：１７１ ７ ０ ２ ２ （） ５ －６
一
类 三 阶 逐段 常变 量微 分 方 程渐 近 概 周 期解 的存 在 性
＋
＋
庄容坤 吴洪 武 张 留伟。 ， ，
（１ 州 学 院 数 学 系， 东 惠 州 ５ ６ ０ ； ．惠 广 １０ ７ ２ ．华 南理 工 大学 数 学 科 学 学 院 ， 东广 州 ５ ０ ４ ； 广 １６ ０ ３ ．中 山 大学 中 法核 工 程 与技 术 学 院， 东珠 海 ５ ９ ８ ） 广 １ ０ ２
个Ｅ＞０ 紧子集Ｗ ×Ｒ， 和 ｃＲ 存在Ｒ的相对稠密子集Ｔ（，） ｆ￡和有界子集 使得 ｆｔ ＿ ，） （， Ｙｌ ， （＋７ｚＹ 一ｆｔ ）＜￡ ， ，
记这类函数的全体 为Ａ ＡＰ（ ×Ｒ ×Ｒ） Ｒ ．
定义４１］ 称序列 ： ［ ｏ Ｚ— Ｒ为概周期序列， 如果对每个Ｅ＞０ ， 的￡ 位移集， 一 即
中夕 Ｐ Ｒ ， ∈Ａ （ ） ∈Ｃ （ ） ∈Ｃ Ｒ ） ｌ 一 。Ｉ（ ｌ ） ｏ Ｒ＋ ＝｛ （ ＋ ：ｍｔ ＋。 ￡ ＝０ ． ｉ ）
定 义 ３１ 称 函数 ． Ｒ ×Ｒ ×Ｒ — Ｒ是 关 于 在 Ｒ ×Ｒ一 致 的渐 近 概 周 期 函 数 ， 果对 每 ［］ ０ 厂： 如
（ ） Ｘ （ ） ＋＋Ｘ （） ｎ ＝ ｌ佗 ｌ ｚ ２ｒ ｔ
其中 １ Ｐ（ ）Ｘ ∈Ｃ （ ＋ ＝ ｛ ∈Ａ Ｚ ，２ ｏＺ ） ∈ｃ（ ＋ ：ｉ —＋。（礼 ｌ ｝ ｚ ） ｌ 。 ｌ（）＝０ ． ｍ ｉ ） 命 题１。 ］ 设｛ （）＂ ｚ 概 周 期 序 列，， 为概 周 期 函数 ． 则 （，）ｎＺ 【 礼 ）∈ 为 （ ） ．￡ 与Ｔ（，） 厂 ｘＥ ｎ
阶中立型逐段 常变量微 分方程
４， ， － （ ）
（） １
＋ｇｔ （ ，（ ） （ ｚｔ ｚ ㈤ ， ）
（ ２ ）
的渐 近 概 周 期 解 的存 在 性． 其 中ｐ≠ ０，ｑ≠ ０为 常 数，ｆ ： — Ｒ为 渐 近 概 周 期 函数， （ ） （ ） Ｒ
ｇ： ×Ｒ ×Ｒ — Ｒ是 关于ｔ Ｒ 在Ｒ ×Ｒ一致的渐近概周期 函数 ，． ｆ表示取整 函数 ． ］ 称ｚ： — Ｒ为 Ｒ 方程 ｆ）的解 ， １ 如果下列条件被满足： ｆ） 在Ｒ上是连续的， ａｘ