非线性分数阶泛函微分方程解的存在性
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数学物理学报
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非线性分数阶泛函微分方程解 的存在性
，
张海
郑祖庥
蒋威
（ 安庆师 范学院数学与计算科学学院 安徽 安庆 ２ ６３ ； 安徽大学数学科学学院 合肥 ２ ０３ ） ４ １３ ３０ ９
口 －ｒ０ ∈［ ，］
则 （ ７０， 为 Ｂ ｎ ｃ 【－ ｌ ＿ ， Ｒ） ａ ａｈ空间 ，并 且 Ｘ（） ｘｔ ）０∈ｆ下０． ｔ ＝ （＋ ， 一 ，１ 本文 的 目的在 于 建立初 值 问题 （） 的存 在性条 件 ，应该 指 出初值 问题 （） ３解 ３ 在方 程 的非 线性部分包含了状态时滞项， 该时滞项在分析系统的性能方面具有重要的作用， 有时即使很 小 的时滞也 能对 系统造 成很 大 的影响 ．因此 ，我 们充分 利 用泛 函分 析 技巧来 克服 时滞 项在分 析 解 的存 在性 时带 来 的 困难 ．我 们分别 利 用 Ｂ ｎ ｃ 动 点定理 、 Ｓｈｕ ｅ 动 点定理 和 ａ ａｈ不 ｃａ ｄｒ不 逐 步逼 近法 获得 解 的存在性 结 果 ． 本文 内容 安排如 下 ： 二节 ， 第 简要介 绍分数 导数 、 数积 分概 念 以及 几个 引理 ； 三 节， 分 第 利 用不 动点定理 获得 解的存 在性 若干 结果 ；第 四节 ，给 出实例说 明所 得结 果 的有效性 和实 用 性 ；最后 ，我们提 出了进 一步要 解决 的 问题 ．
摘要 ：该文研 究了非 线性 分数阶泛函微分方程 的初值问题．分别 基于 Ｂ ｎ ｃ 不动 点定理 、 ａ ａｈ Ｓｈ ｕ ｅ ｃ ａ ｄ ｒ不动点定理和逐步逼近法获得解的存在性结果，该结果推广 了整数 阶常微分方程和 泛函微分方程的相应结果 ，并 给出实例说明了所得结果的有效 性和适用性．
（ａ ３）
｝基金项 目：国家 自 科学基金 （０ ７０ １ 、教育部 科学技术研究重点基金 （００ ８ 、高等学校博士学科点专 然 １７１０ ） ２５６ ） 项科研基 金 （０ ９４ １ｉ０ １ 安徽 省高校省级 自然科学研 究基金 （ ２０ Ｂ ５ ， ２０Ｂ ９ ） ２０ ３０ １００ ）、 ＫＪ０８ １２ ＫＪ ０９ ０８、 安徽省高校 自 然科学研究重点项 目 （ Ｊ ０ １ ９ ） Ｋ ２１Ａ１７ 和安徽 大学创新 团队基金资助
）丽 ／ 一一 ） ＝１ｏ ） （
为 ｌ 的 阶分数 积分 ． 厂） （ 定义 ２２（ｅ ｏｃ［ 设 Ｉｔ ∈ （ ， 。） ） ０ 对 Ｖ ． Ｄ ｌ ｓｏ ］ ｂ 。 ） （ ［ ＋ 。， ， ） ０ Ｒ ｔ ， ａ∈（，）称 ０１，
Ｄ ｘｔ ＝ｆｔ （ ， （一７） （ ） （ ｘｔ ＿ ， ） ） 这里 ７＞０ － 为常数．显然，当 ＝１时，方程 （） ２ 归结为文献 ［ — ２ 中整数阶泛函微分方 １ １】 １ 程；当 ７＝０时，方程 （） － ２ 归结为文献 ［ ４ ７１］ ２ ， ０ 中整数 阶常微分方程． — 考 虑更 一般 类型 的非 线性分 数 阶泛 函微分 方 程
关键词：分数阶泛函微分 方程；初值 问题；不动点定理 ；分数导数；分数 积分 ．
Ｍ Ｒ（０ ０ 主题分类： ４ ２ ３Ｋ ５ 中图分类号：０ ７． 文献标识码：Ａ ２０） ３Ａ１； ４ ０ １５ ７ 文章编号 ： ０ ３ ９８２ １）２２９０ １０— ９ （０１０—８—９ ３
１ 引言
Ｄ ｘｔ ＝ｆｔ ） 。（ ） （ （ ， ）
其 中 ０＜Ｏ＜ １， （ 表 示 的 Ｏ 阶导数 ． ｚ Ｄ ｘｔ ） Ｌ 在 本文 中，我 们致 力于 讨论 非线性分 数 阶泛 函微分 方程 解 的存 在性 问题 ， 数 阶泛 函微 分 分 方 程 的应用 背景 来 源于 现 实问题 中状 态 变 量 的分 数 阶变 化 率依 赖于 状 态 的滞后 效应 ．最 简 单 的这 类 方程为 分数 阶微 分差 分方 程形 式
Ｄ ｘｔ＝ ｆｔＸ） （ ） （ ｔ ，
收稿 日期： ０ ８１ —３ 修订 日期： ０ ０ １— ３ ２ ０ —０２ ； ２ １ —００
Ｅ ｍ ａｌ ｈ ｎ ｈ ｉ ｑ ｃｅ ｕ ｏ ； ｈ ｎ ｚ ｘ ｕ ｍａ ｌ ｏ ｊ ｎ ｗｅ ＠ａ ｕ ｅ ｕ ｃ — ｉ ：ｚ ａ ｇ ａ＠ａ ｔ ．ｄ ． ｚ ｅ ｇ ｕ ｉ ＠ｇ ｉ ｔ ｍ； ｉ ｇ ｉ ｈ ．ｄ ．ｎ ｎ ． ａ
２０ ９
和初 始条 件
数
学
物
理
学
报
ຫໍສະໝຸດ Baidu
、 １１ ，． Ａ ｏ３
ｘｔ＝ ） ｔ ～ ，】 （ ０ ， ∈［丁０ ） ，
（ｂ ３）
其中 ０＜ ＜１ｆｔ ） （ ， ］ ， ）Ｃ＝ （ ０ Ｒ 表示映区间 ［７０ 到 Ｒ上的连 ，（ ∈ｃ ［ Ｔ ×Ｃ Ｒ ， ［ ］ ） ， ０ ＿ ， 一－］ ， 续 函数 空 间．对 于任 何 ＥＣ， 义范 数 定 ｌ ｌ ｓｐ （ ｌ ＝ ｕ ｌ ， ）
２ 定义 与引理
本 节我 们介 绍后 文需 要用 到 的几个 基本 定义 和 引理 设 ＞０为 给定 的常 数 ，定 义
＝
｛ ∈ｃ ［丁ｏ Ｒ ： 『 一 ，ｌ ） ＿ ｌ （ ， ｌ
） ．
定义 ２１（ ｌｒ］ 设 ｆｔ Ｅ （ ， 。） ） ０ 对 ∈Ｒ ， ． Ｍｉｅ［ ｌ。 ） （ ［ ＋ 。， ， ） ０ Ｒ ｔ ， ＋ 称
分数 导 数和分 数积 分 由于在 物理 学 、 械 、化 学和工 程 中的广 泛应 用 已引起诸 多学者 的 机 关注，并有相关论文 ［ ８发表和专著 ［ １ 出版． １］ － ９ ｏ －】 在文献 ［ ４ ７８ 中作者利用不同的方法 ３ ， ＿］ ～ 讨论 了如 下分 数 阶常微分 方程 解 的存在 性 问题
数学物理学报
ｈｔ ：ａｔｍｓ ｉ ａ． ｔ ／ ｃａ ． ｐ ｃ ｎ ｐ／ ｗ ｍ． ｃ
非线性分数阶泛函微分方程解 的存在性
，
张海
郑祖庥
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（ 安庆师 范学院数学与计算科学学院 安徽 安庆 ２ ６３ ； 安徽大学数学科学学院 合肥 ２ ０３ ） ４ １３ ３０ ９
口 －ｒ０ ∈［ ，］
则 （ ７０， 为 Ｂ ｎ ｃ 【－ ｌ ＿ ， Ｒ） ａ ａｈ空间 ，并 且 Ｘ（） ｘｔ ）０∈ｆ下０． ｔ ＝ （＋ ， 一 ，１ 本文 的 目的在 于 建立初 值 问题 （） 的存 在性条 件 ，应该 指 出初值 问题 （） ３解 ３ 在方 程 的非 线性部分包含了状态时滞项， 该时滞项在分析系统的性能方面具有重要的作用， 有时即使很 小 的时滞也 能对 系统造 成很 大 的影响 ．因此 ，我 们充分 利 用泛 函分 析 技巧来 克服 时滞 项在分 析 解 的存 在性 时带 来 的 困难 ．我 们分别 利 用 Ｂ ｎ ｃ 动 点定理 、 Ｓｈｕ ｅ 动 点定理 和 ａ ａｈ不 ｃａ ｄｒ不 逐 步逼 近法 获得 解 的存在性 结 果 ． 本文 内容 安排如 下 ： 二节 ， 第 简要介 绍分数 导数 、 数积 分概 念 以及 几个 引理 ； 三 节， 分 第 利 用不 动点定理 获得 解的存 在性 若干 结果 ；第 四节 ，给 出实例说 明所 得结 果 的有效性 和实 用 性 ；最后 ，我们提 出了进 一步要 解决 的 问题 ．
摘要 ：该文研 究了非 线性 分数阶泛函微分方程 的初值问题．分别 基于 Ｂ ｎ ｃ 不动 点定理 、 ａ ａｈ Ｓｈ ｕ ｅ ｃ ａ ｄ ｒ不动点定理和逐步逼近法获得解的存在性结果，该结果推广 了整数 阶常微分方程和 泛函微分方程的相应结果 ，并 给出实例说明了所得结果的有效 性和适用性．
（ａ ３）
｝基金项 目：国家 自 科学基金 （０ ７０ １ 、教育部 科学技术研究重点基金 （００ ８ 、高等学校博士学科点专 然 １７１０ ） ２５６ ） 项科研基 金 （０ ９４ １ｉ０ １ 安徽 省高校省级 自然科学研 究基金 （ ２０ Ｂ ５ ， ２０Ｂ ９ ） ２０ ３０ １００ ）、 ＫＪ０８ １２ ＫＪ ０９ ０８、 安徽省高校 自 然科学研究重点项 目 （ Ｊ ０ １ ９ ） Ｋ ２１Ａ１７ 和安徽 大学创新 团队基金资助
）丽 ／ 一一 ） ＝１ｏ ） （
为 ｌ 的 阶分数 积分 ． 厂） （ 定义 ２２（ｅ ｏｃ［ 设 Ｉｔ ∈ （ ， 。） ） ０ 对 Ｖ ． Ｄ ｌ ｓｏ ］ ｂ 。 ） （ ［ ＋ 。， ， ） ０ Ｒ ｔ ， ａ∈（，）称 ０１，
Ｄ ｘｔ ＝ｆｔ （ ， （一７） （ ） （ ｘｔ ＿ ， ） ） 这里 ７＞０ － 为常数．显然，当 ＝１时，方程 （） ２ 归结为文献 ［ — ２ 中整数阶泛函微分方 １ １】 １ 程；当 ７＝０时，方程 （） － ２ 归结为文献 ［ ４ ７１］ ２ ， ０ 中整数 阶常微分方程． — 考 虑更 一般 类型 的非 线性分 数 阶泛 函微分 方 程
关键词：分数阶泛函微分 方程；初值 问题；不动点定理 ；分数导数；分数 积分 ．
Ｍ Ｒ（０ ０ 主题分类： ４ ２ ３Ｋ ５ 中图分类号：０ ７． 文献标识码：Ａ ２０） ３Ａ１； ４ ０ １５ ７ 文章编号 ： ０ ３ ９８２ １）２２９０ １０— ９ （０１０—８—９ ３
１ 引言
Ｄ ｘｔ ＝ｆｔ ） 。（ ） （ （ ， ）
其 中 ０＜Ｏ＜ １， （ 表 示 的 Ｏ 阶导数 ． ｚ Ｄ ｘｔ ） Ｌ 在 本文 中，我 们致 力于 讨论 非线性分 数 阶泛 函微分 方程 解 的存 在性 问题 ， 数 阶泛 函微 分 分 方 程 的应用 背景 来 源于 现 实问题 中状 态 变 量 的分 数 阶变 化 率依 赖于 状 态 的滞后 效应 ．最 简 单 的这 类 方程为 分数 阶微 分差 分方 程形 式
Ｄ ｘｔ＝ ｆｔＸ） （ ） （ ｔ ，
收稿 日期： ０ ８１ —３ 修订 日期： ０ ０ １— ３ ２ ０ —０２ ； ２ １ —００
Ｅ ｍ ａｌ ｈ ｎ ｈ ｉ ｑ ｃｅ ｕ ｏ ； ｈ ｎ ｚ ｘ ｕ ｍａ ｌ ｏ ｊ ｎ ｗｅ ＠ａ ｕ ｅ ｕ ｃ — ｉ ：ｚ ａ ｇ ａ＠ａ ｔ ．ｄ ． ｚ ｅ ｇ ｕ ｉ ＠ｇ ｉ ｔ ｍ； ｉ ｇ ｉ ｈ ．ｄ ．ｎ ｎ ． ａ
２０ ９
和初 始条 件
数
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、 １１ ，． Ａ ｏ３
ｘｔ＝ ） ｔ ～ ，】 （ ０ ， ∈［丁０ ） ，
（ｂ ３）
其中 ０＜ ＜１ｆｔ ） （ ， ］ ， ）Ｃ＝ （ ０ Ｒ 表示映区间 ［７０ 到 Ｒ上的连 ，（ ∈ｃ ［ Ｔ ×Ｃ Ｒ ， ［ ］ ） ， ０ ＿ ， 一－］ ， 续 函数 空 间．对 于任 何 ＥＣ， 义范 数 定 ｌ ｌ ｓｐ （ ｌ ＝ ｕ ｌ ， ）
２ 定义 与引理
本 节我 们介 绍后 文需 要用 到 的几个 基本 定义 和 引理 设 ＞０为 给定 的常 数 ，定 义
＝
｛ ∈ｃ ［丁ｏ Ｒ ： 『 一 ，ｌ ） ＿ ｌ （ ， ｌ
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分数 导 数和分 数积 分 由于在 物理 学 、 械 、化 学和工 程 中的广 泛应 用 已引起诸 多学者 的 机 关注，并有相关论文 ［ ８发表和专著 ［ １ 出版． １］ － ９ ｏ －】 在文献 ［ ４ ７８ 中作者利用不同的方法 ３ ， ＿］ ～ 讨论 了如 下分 数 阶常微分 方程 解 的存在 性 问题