函数逼近(三角插值)

4、三角插值递归公式
n −1 ⎧ p( x2 j ) = f ( x 2 j ) p( x)在{x 2 j }j =0 插值f ( x) ⎪ ⎨ π n −1 ⎪q ( x 2 j ) = f ( x 2 j +1 ) q( x)在{x 2 j }j =0 插值f ( x + ) n ⎩ πj 其中 x j = , j = 0,1.....n − 1 。则在 x0 , x1 ,......, x 2 n −1 上的插值指数多项式为 n π 1 1 P ( x) = (1 + e inx ) p ( x) + (1 − e inx )q( x − ) n 2 2
p1 ( x) =
例 2：求 f 的三阶三角插值。 n=2, 上面已求出在 x0 = 0 、 x1 = π 的一阶三角插值 p1 ( x ) 。现在要求在 x0 = 0 、 x1 = π 插 值 g ( x) = f ( x +
π
2
) 的一阶三角插值。由例 1 知，它为
q1 ( x) = =
1⎛ ⎜ 2⎝
第一章 函数逼近（三角插值）
1、 三角插值 定理 设函数 f 的周期为 2π 、且具有连续的一阶导数，则 Fourier 级数
a0 ∞ + ∑ (a k cos kx + bk sin kx) 2 k =1
一致收敛于 f.。其中系数是由下列公式计算
ak = bk =
1
π
1
∫ π f (t ) cos ktdt
{ }
的条件下，要求函数值 f ( x j )
{
}
k =0 N −1 j =0
有两种方法，我们即可以做 Fourier
逆变换，也可以利用关系 f ( 2π − x j ) = N < g , E j > N 而继续做离散 Fourier 变换。 类似地可以求函数在 n 个非插值点 t − x j 取值为 c j e
ikx
1 2π
∫ π f ( x) g ( x)dx
−
2
π
（其中 k = 0,±1,±2,.... ） ，则函数集 {E k } 构成复 Hilbert 空间 L [−π , π ] 中
的完备的标准正交系。 证明思路 首先可以直接检验标准正交性：
⎧1 当k = m时 < Ek , Em >= ⎨ 其他 ⎩0
∑ a k ∑ E k ( x j ) E n (− x j ) = ∑ f ( x j ) E n (− x j )
a n = ∑ a k < E k , E n > N =< f , E n > N
k =0 N −1
推论：函数值 f ( x j )
{
}
N −1 j =0
，频率 c j )
{ }
N −1 j =0
明 an = cn ≡< f , En > N 。 由于插值特性：
∑a
k =0
N −1
k
Ek ( x j ) = f ( x j )
所以
∑a
k =0 N −1 k =0
N −1
k
E k ( x j ) E n (− x j ) = f ( x j )E n (− x j )
N −1 j =0 N −1 j =0
∑E
k =0
N −1
k
= ∑ f ( xm )
m =0 N −1
∑E
k =0
N −1
m
= ∑ f ( xm ) < E j , Em > N
m =0
= f (x j )
唯一性： 假设
∑a
k =0
N −1
k
E k ( x) 是一个是在节点 {x j }j =0 上插值 f(x)的指数多项式。下面证
N −1
− −
π
1
π
ikt
ˆ (k ) dt ≡ f
∞ ∞ a0 ∞ ˆ (k )eikx + ∑ (ak cos kx + bk sin kx) = ∑ ck eikx = ∑ f 2 k =1 k =−∞ k =−∞
证明：
k =−∞
∑
∞
ck eikx = c0 + ∑ (ck eikx + c− k e− ikx )
k =1 −
1
π
a0 ∞ + ∑ (ak cos kx + bk sin kx) 2 k =1
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2、内积、伪内积、伪范数 复 Hilbert 空间 L [−π , π ] 中的内积定义为
2
< f , g >=
注：Hilbert 空间是完备的内积空间，即 L2 [−π , π ] 的基本序列皆收敛。 定理 设 E k = e
]
j
1 1 − (e ) ⋅ 2π ( k − m ) i / N N 1− e
1 N
ikx N −1 j =0
2π ( k − m ) i / N
=
1 1− e ⋅ =0 N 1 − e 2π ( k − m ) i / N
1 N
2π ( k − m ) i
当 N 整除 k-m 时
< Ek , Em > N =
π 1 1 (1 + e inx ) p 0 ( x) + (1 − e inx )q 0 ( x − ) n 2 2 1 1 = (1 + e ix ) f (0) + (1 − e ix ) f (π ) 2 2 1 1 = ( f (0) + f (π ) ) + ( f (0) − f (π ) )e ix 2 2
∞
内积 < f , g > 定义中的定积分可按如下近似公式计算：N 等分区间 [ −π , π ] ，则
< f , g >=
1 2π
∫π
−
π
f ( x) g ( x)dx ≈ 1 N
N −1 j =0
1 2π ⋅ 2π N
∑ f (2πj / N ) g (2πj / N )
j =0
N −1
定义 < f , g > N =
ikx
，则
⎧1 若N整除k − m < Ek , Em > N = ⎨ 其他 ⎩0
证明：当 N 不整除 k-m 时
< Ek , Em > N = =
1 N
∑ Ek (2πj / N ) Em (2πj / N ) =
j =0 N
N −1
1 N
∑ [e π
N −1 j =0
2 ( k −m)i / N
N −1 j =0
取值为 c j )
{ }
N −1 j =0
N −1 j =0
的函数，注意到
N −1 k =0 N −1
f (2π − x j ) = f (− x j ) = ∑ c k E k (− x j ) = ∑ c k E j ( x k ) = N < g , E j > N
于是，在已知 c j
k =1 ∞
∞
π 1 ( f (t )eik ( x −t ) + f (t )eik (t − x ) )dt ∑ ∫ 2π k =1 −π 1 ∞ π = c0 + ∑ ∫ f (t ) cos k ( x − t )dt
= c0 +
π
k =1 ∞
−π
= c0 + =
∑ f (t )(cos kt cos kx + sin kt sin kx)dt π ∫π
k =0 k =0
n
n
( ) = ∑ c (λ )
k n k =0 k
k
定理 设 f(x)是定义在 [0,2π ] 的函数， < .,. > N 是定义在 x j = 2πj / N 设
{
}
N −1 j =0
上的伪内积。
P ( x) = ∑ c k E k ( x) 其中 c k =< f , E k > N
∑ Ek (2πj / N ) Em (2πj / N ) =
，则函数集 {E
∑1 = 1
j =0
N −1
推论：设 E k = e 3、三角插值
N −1 k k = 0 关于伪内积
}
< f , g > N 标准正交。
定义 一个次数至多是 n 次的指数多项式是指以下形式的函数：
P ( x) = ∑ c k E k ( x) = ∑ c k e ix
P( x j ) =
当 j 为奇数时
P( x j ) =
例 1：求 f 的一阶三角插值。 n = 1; 设 p 0 ( x) 在 x0 = 0 插值 f, q 0 ( x) 在 x0 = 0 插值 f ( x + π ) 。所以
p 0 ( x) = f (0) , q 0 ( x) = f (π )
则 P(x)是在节点 x j 证明：
N −1 k =0
{ }
N −1 j =0
上插值 f(x)的唯一的 N-1 次指数多项式。
P ( x j ) = ∑ c k E k ( x j ) =∑ < f , E k > N E k ( x j )
k =0 k =0
N −1
N −1
= =
1 N 1 N
∑ ∑ f (x
1 (g (0) + g (π ) ) + 1 (g (0) − g (π ) )e ix 2 2 π 3π ⎞ 1 ⎛ π 3π ⎞ f ( ) + f ( ) ⎟ + ⎜ f ( ) − f ( ) ⎟e ix 2 ⎠ 2⎝ 2 2 ⎠ 2
由递归公式
1 1 π (1 + e inx ) p1 ( x) + (1 − e inx )q1 ( x − ) 2 2 n 1 1 ⎡1 ⎤ = (1 + e 2ix ) ⎢ ( f (0) + f (π ) ) + ( f (0) − f (π ) )e ix ⎥ 2 2 ⎣2 ⎦ p3 ( x) = ⎡1 ⎛ π 1 3π ⎞ 1 ⎛ π 3π ⎞ ⎤ + (1 − e 2ix ) ⎢ ⎜ f ( ) + f ( ) ⎟ + ⎜ f ( ) − f ( ) ⎟e ix ⎥ 2 2 ⎠ 2⎝ 2 2 ⎠ ⎦ ⎣2 ⎝ 2 = 1⎛ 3π ⎞ 1 ⎛ 3π ⎞ ix π π ⎜ f (0) + f ( ) + f (π ) + f ( ) ⎟ + ⎜ f (0) + f ( ) − f (π ) − f ( ) ⎟e 4⎝ 2 2 ⎠ 4⎝ 2 2 ⎠
定理：设 p 和 q 是次数小于 n 的指数多项式，满足
证明：首先 P( x) 是一个 2n-1 次指数多项式。以下直接验证 P( x) 在 x0 , x1 ,......, x 2 n −1 插 值 f。
P( x j ) =
当 j 为偶数时
π 1 1 (1 + e πij ) p ( x j ) + (1 − e πij )q ( x j − ) n 2 2 π 1 1 (1 + 1) p ( x j ) + (1 − 1)q( x j − ) = p( x j ) = f ( x j ) n 2 2 π π 1 1 (1 − 1) p( x j ) + (1 + 1)q( x j − ) = q( x j − ) = q ( x j −1 ) = f ( x j ) n n 2 2
k =0 m =0 N −1 m =0 m
N −1 N −1
m
) E k ( x m )E k ( x j )
k
∑ f ( x )∑ E
k =0
N −1
( x m )E k ( x j ) ( x m )E k ( x j ) ( x k )E j ( x k )
=∑
N −1
m =0 N −1
1 f ( xm ) N 1 N
完备性的证明有赖于以下三个结论： 1、 C[ −π , π ] 在 L [−π , π ] 中稠密。
2
2、 ∀f ∈ C[−π , π ] ，Fourier 级数
a0 ∞ + ∑ (a k cos kx + bk sin kx) 2 k =1
一致收敛于 f.。 3、 { Ek }−∞ 与 {1， cos t ,sin t ,...., cos nt ,sin nt ,.....} 可以互相线性表示。
{
}
N −1 j =0
上的值： 设 g(x)是一个在等分节点 x j
{ }
N −1 j =0
{
ijt N −1 的函数，则 j =0 N −1 k =0 N −1 k =0
}
f (2π + t − x j ) = f (t − x j ) = ∑ c k E k (t − x j ) = ∑ c k e ikt ⋅ E j ( x k ) = N < g , E j > N
之间的转换为
1 c j =< f , E j > N = N
N −1 k =0
∑ f (x
k =0 N −1 k =0
N −1
k
) E j ( xk )
f ( x j ) = ∑ ck Ek ( x j ) = ∑ ck E j ( xk )
点 xj
{ }
这两个分别称为离散 Fourier 变换和离散 Fourier 反变换。另外，设 g(x)是一个在等分节
−
π
π
∫ π f (t ) sin ktdt
−
π
显然系数满足 b0 = 0 ， a − k = a k ， b− k = −bk 定理（Fourier 级数定理） 设
1 1 ck = (ak − ibk ) = 2 2π
则
∫ π f (t )(cos kt − i sin kt )dt = 2π ∫ π f (t )e
∑ f (2πj / N ) g (2πj / N )
注意 < f , g > N 并不是内积，因为它不具有内积的一个重要的性质:如果
< f , f >= 0
则 f = 0。 除此之外， < f , g > N 具有其他内积性质： 1、 < f , f > N ≥ 0 2、 < f , g > N = < g , f > N 3、 < α f + β g , h > N = α < f , h > N + β < g , h > N 于是， < f , g > N 通常称为伪内积。 定理 设 E k = e