判定中性随机泛函微分方程的Razumikhin指数稳定性条件
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（（ ０ ； ｃ 一 ， Ｒ ） （ ， ； ） 【 】 卜 ｏ ” 成立 。 ］
本文研 究 如下 中性 随机 功 能微 分方 程 ： 维
ｄ ｘ ｔ一Ｇ（ ， ＝／ ， ， ｔ （ Ｘ） （ ， ≥０ ［（ ） ｘ） ］ ’， ） ＋ｇ ｔ ， （Ｘ ｄ ， ，， ）
一
般 来 说 ， 我 们 研 究 的 随 机 变 量 和 过 程 都 是 定 义 在 由 标 准 的ｍ 维 布 朗 运 动
∞＝｛ ｆ｝０ ＝（ １ ）０ （ … … （） （ ， ， ０ （ ， ２ ） ９ ３ｆ ９ ） ， 产生的具有 自 ） 然滤子的完备概率空问 （ ， ｝ 中，即 Ｑ， ｛ ）
立 ，即对于 任意 ｔ ０，
）Ｇ ， ）Ｇ ）ｆｓ， （ （ 一（ ＝（一（十ｆ，） ｇ， ０ （ 十 ） ｘ ）
０ ０
（ ２ ）
定义 ：存在一个常数 ｋ∈（， ，并且对 于所有 ｌ ２∈ （ ，］Ｒ ） ｏ） １ ， 卜 ０ ； ”
ｌ 一 （ ）２ ｐ￡ ｔ一 １ Ｇ ） Ｇ ｋｓ （） （ ｌ （ ｕ ９ ９ ）
一
ｒ
Ｏ
函数 ／， ｇ一 致Ｉ ｓｈｔ连续 或者 局 部ｌ ｓｈｔ连 续并 且满足 线 性增 长条 件 。 ｉ ｃｉ ｐ ｚ ｉ ｃｉ ｐ ｚ
收 稿 日期 ：２ １ －５２ ０ １ —７ ０
［，到Ｒ具 范 ｌｓ － ＿ （．（ ］ ”的 续 数 ， （ ］ 是 有 ＿０ 有 数 ＝ｕ ｒ＜ ｔ ［ ，； ） 连 函 族 当 ［，， ］ 所 ］ Ｐ＿ｏ ９ 一０ ｌ ＜ｌ ） ａ 一０Ｒ ）
Ｃ ［ ，， 值随 量 （ ｒ ］ ） 机变 ＝ ｔ， ～ ０使得ｓ 一 。 （）１ 。， 且仅当 种 － ０Ｒ ｛（）９ ｝ ９ｔ ｕ １ ＜。 当 ｐ ９ 这 情况下
话， 程１ 在 一的 且 足ｓ 一 Ｅ （￣ ｏ 对 有 ＞所 勒 格 Ｄ 分 是 义 方 （存 唯 解 满 ｕ ｌｔ ） ＜。 所 ｏ 有 贝 和 Ａ 都 定 ） ｐ ｘ；ｌ ， 积
好 的。
下 列不 等式 （） 是在 我 们 证 明 中常用 的 ： ３
ｘ＋ｙ ＋
］
第２ 卷 第３ ｌ 期 ２１年９ ０ １ 月
洛 阳理 工 学 院 学 报 （ 自然科 学版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｏ ａ ｇ Ｉ ｓｉ ｔ ｆ Ｓ ｉｎ ｅ ｎ ｅ ｈ ｏ ０ ｙ Ｎａ ｕ ａ Ｓ ｉｎ ｅＥ ｉ ｏ ） ｏ ｒ ａ ｙ ｎ ｎ ｔｔ ｅｏ ｃ ｃ ｄ Ｔ ｃ ｎ ｌｇ （ ｔ ｒ ｌ ｃ ｃ ｄ ｔ ｎ ｏ Ｌｕ ｕ ｅ ａ ｅ ｉ
（） １
这里初值 Ｘ ＝ ＝｛ （ ） Ｉ ｏ ∈ （ ｏ； ） ， ｏ １， ９一 ９ ） ［ ，］ ＿ Ｒ”， ＝吼０一 ｔ ０，方程系数满足 ： ，
Ｇ ： 一 ，）Ｒ ） － ， Ｒ × ［／ ］Ｒ ） ｃ（ Ｏ； －． ｆ： ＋ ｃ（ － ； ” ） Ｒ” 一， ０
人关注中性随机微分方程解 的稳定 性。本文讨论 了中性随机功 能微分方程和 中性随机 时滞微分方程 时刻的指数稳 定性，主要采用 的是Ｒ ｚ ｍｉｈｎ ａ ｕ ｋ ｉ方法 ， 目的是使用该方法比构造 ｌａ ｕ ｏ 函数判定方程解稳定性更 易验证 。 ｙｐ ｎｖ 关键 词：中性随机 功能微分 方程 ； 时刻指 数稳 定；Ｒ ｚ ｍｉｈｎ Ｐ ａ ｕ ｋ ｉ方法
Ｖ０ ． １ １ ＮＯ ３ ２ ． Ｓ ｐ ｅ ．２ １ ０ １
判定 中性 随机 泛 函微分 方程 的Ｒ ｚ ｍｉｈｎ ａｕ ｋ ｉ指数稳定 性条件
张五立，赵灿省．刘 志伟
（ 兰州交通 大学 数理 与软件工程 学院 ，甘肃 兰州 ７０ ７ ） ３００
摘
要：近来随机微分方程引起 了越来越多的关注，如微分方程的解的存在性、唯一性和指数稳定性，但很少有
（） ３
式（ 中令 ＝ ／１ ，其中０ ｓ＜ 得到如下不等式： ３ （一 ） ） ＜ １
ＩＹ≤ ｘ ｌ ＋
定理 ：Ｒ ｚｌ ｋ ｉ方 法 ： ａ ｌ ｈｎ ｍｉ
＋ ｐ
（） ４
￣ （ ） （ （） ，（） ＋１ ）［ ’，） ，（） ］ ３ ｔ ＝ ， ０ ＋ ｏＩ ，） （２ｒ ０ ｇ ，） ／， ， ） ） 厂 ／ ｔｇ ）
” Ｒ × ［ｒＯ； ） ． ＋ ｃ（ ，］Ｒ” ｇ： －
Ｇ， ， － ｇ都是连续函数， Ｘ ＝｛（＋ｔ，ｇ ｔ ０ 是一个 Ｃ（ ０； ） 厂 ， ｆ ９ 一－ ９ ｝ ） ［ ，］ 一 ” 值随机过程 。
一
来自百度文库
个 ， 适应过程 Ｘ＝｛ （ ， ｆ ０ 是方程（） ， 一 ） ＜０） １的解如果满足初值和相应 的可积方程几乎必然成
作者简介：张五立（ ８一男， １ Ｏ ， 河南开封人， ９ ） 在读硕士研究生， 主要从事随机微分方程方面的研究．
第３ 期
张五立等 判定中性随机 泛函微分方程 的Ｒ ｚ ｍｉｈｎ ａ ｕ ｋ ｉ￣数稳 定性 条件
６ ７
此外，若 ∈ （一 ， ； ） ［ ０ Ｒ” 那么存在一个 ］ 时刻 的解 ｘ ｔ ） （ ，在后面 的论述 中，如果没有强调的 ，
ＤＯＩ１．９ ９ ．ｓ ． ７ －０ ３２ １．３０６ ：０ ６ ／ｉ ｎ １ ４５ ４．０ １ ．１ ３ ｊｓ ６ ０ 中 图 分 类 号 ：Ｏ２ １ ３ １． ６ 文 献 标 志 码 ：Ａ 文 章编 号 ： １７ —０ ３２ １）３０ ６ —４ ６４５ ４ （０ １ ．０ ６０ ｏ
１ 预备知识
， ｛ ， Ｓ ） 表示矩阵或向量的转置，用Ｉ ＝ （） ０ ， ． Ｉ 来定义欧几里德范数，为了简便，迹泛数用
ｆ ］ Ａ ，Ｉ 表 矩 的 子 数，Ｉ ＝ ｐｌ Ｉ ＝ ， ” ，ｃ［ ，； ） 从 ＝ Ｉ ｉＩ 示 阵 算 范 ｆｆ．｛ｘ： ｌ Ａ ｆ Ａ ｓ Ａ ∈ ｝ （ 】 为 Ｉ ＿ ０
本文研 究 如下 中性 随机 功 能微 分方 程 ： 维
ｄ ｘ ｔ一Ｇ（ ， ＝／ ， ， ｔ （ Ｘ） （ ， ≥０ ［（ ） ｘ） ］ ’， ） ＋ｇ ｔ ， （Ｘ ｄ ， ，， ）
一
般 来 说 ， 我 们 研 究 的 随 机 变 量 和 过 程 都 是 定 义 在 由 标 准 的ｍ 维 布 朗 运 动
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０ ０
（ ２ ）
定义 ：存在一个常数 ｋ∈（， ，并且对 于所有 ｌ ２∈ （ ，］Ｒ ） ｏ） １ ， 卜 ０ ； ”
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收 稿 日期 ：２ １ －５２ ０ １ —７ ０
［，到Ｒ具 范 ｌｓ － ＿ （．（ ］ ”的 续 数 ， （ ］ 是 有 ＿０ 有 数 ＝ｕ ｒ＜ ｔ ［ ，； ） 连 函 族 当 ［，， ］ 所 ］ Ｐ＿ｏ ９ 一０ ｌ ＜ｌ ） ａ 一０Ｒ ）
Ｃ ［ ，， 值随 量 （ ｒ ］ ） 机变 ＝ ｔ， ～ ０使得ｓ 一 。 （）１ 。， 且仅当 种 － ０Ｒ ｛（）９ ｝ ９ｔ ｕ １ ＜。 当 ｐ ９ 这 情况下
话， 程１ 在 一的 且 足ｓ 一 Ｅ （￣ ｏ 对 有 ＞所 勒 格 Ｄ 分 是 义 方 （存 唯 解 满 ｕ ｌｔ ） ＜。 所 ｏ 有 贝 和 Ａ 都 定 ） ｐ ｘ；ｌ ， 积
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下 列不 等式 （） 是在 我 们 证 明 中常用 的 ： ３
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第２ 卷 第３ ｌ 期 ２１年９ ０ １ 月
洛 阳理 工 学 院 学 报 （ 自然科 学版 ）
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这里初值 Ｘ ＝ ＝｛ （ ） Ｉ ｏ ∈ （ ｏ； ） ， ｏ １， ９一 ９ ） ［ ，］ ＿ Ｒ”， ＝吼０一 ｔ ０，方程系数满足 ： ，
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人关注中性随机微分方程解 的稳定 性。本文讨论 了中性随机功 能微分方程和 中性随机 时滞微分方程 时刻的指数稳 定性，主要采用 的是Ｒ ｚ ｍｉｈｎ ａ ｕ ｋ ｉ方法 ， 目的是使用该方法比构造 ｌａ ｕ ｏ 函数判定方程解稳定性更 易验证 。 ｙｐ ｎｖ 关键 词：中性随机 功能微分 方程 ； 时刻指 数稳 定；Ｒ ｚ ｍｉｈｎ Ｐ ａ ｕ ｋ ｉ方法
Ｖ０ ． １ １ ＮＯ ３ ２ ． Ｓ ｐ ｅ ．２ １ ０ １
判定 中性 随机 泛 函微分 方程 的Ｒ ｚ ｍｉｈｎ ａｕ ｋ ｉ指数稳定 性条件
张五立，赵灿省．刘 志伟
（ 兰州交通 大学 数理 与软件工程 学院 ，甘肃 兰州 ７０ ７ ） ３００
摘
要：近来随机微分方程引起 了越来越多的关注，如微分方程的解的存在性、唯一性和指数稳定性，但很少有
（） ３
式（ 中令 ＝ ／１ ，其中０ ｓ＜ 得到如下不等式： ３ （一 ） ） ＜ １
ＩＹ≤ ｘ ｌ ＋
定理 ：Ｒ ｚｌ ｋ ｉ方 法 ： ａ ｌ ｈｎ ｍｉ
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Ｇ， ， － ｇ都是连续函数， Ｘ ＝｛（＋ｔ，ｇ ｔ ０ 是一个 Ｃ（ ０； ） 厂 ， ｆ ９ 一－ ９ ｝ ） ［ ，］ 一 ” 值随机过程 。
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来自百度文库
个 ， 适应过程 Ｘ＝｛ （ ， ｆ ０ 是方程（） ， 一 ） ＜０） １的解如果满足初值和相应 的可积方程几乎必然成
作者简介：张五立（ ８一男， １ Ｏ ， 河南开封人， ９ ） 在读硕士研究生， 主要从事随机微分方程方面的研究．
第３ 期
张五立等 判定中性随机 泛函微分方程 的Ｒ ｚ ｍｉｈｎ ａ ｕ ｋ ｉ￣数稳 定性 条件
６ ７
此外，若 ∈ （一 ， ； ） ［ ０ Ｒ” 那么存在一个 ］ 时刻 的解 ｘ ｔ ） （ ，在后面 的论述 中，如果没有强调的 ，
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