汽车钢板弹簧

０．２ ９０
０． ３０ １
０ ．３ １６
０．３ ４１
０． ３４ ９
Ｌ ｅｎｇｔｈ（l ）
１
０． ９８ ２
０ ．８ ６４
０．７ ３４
０． ６０ ９
＊ l ｉｓ ｄｉｍ ｅｎｓｉｏｎｌｅｓｓ．
第１ 期
杨 华， 等： 汽车钢板弹簧的非线性分析与数值计算
５ ５
其中 α＝ １，２； β＝ １，２， 下同． 设现实构形上梁的轴线为
γ： y ＝ y ０ （s）（s 为 γ的弧参数），
γ的自然标架为｛b１ ，b２ ，b３ ｝， 形心主轴标架为｛B １ ，B ２ ，B ３ ｝． 从初 始构形到现实构形 梁上的 p 点经过 运动
Σij ＝ λθδij ＋ ２GE ij ，
式中 θ＝ E kk ， λ，G 是 Ｌ ａｍ ｅ 常数， 则
５ ６
吉 林 大 学 学 报 （理 学 版）
第 ４２ 卷
Σ３３ ＝
１ ２
（λ＋
２G）［（A２ －
１） ＋
２η１ （k０ －
kA３ ） ＋
（k２ A４ －
k
２ ０
＋
A２ ）η２ ］，
N３ ＝
Table 1 Original curvatur e and length of spr ings＊
Ｓ ｐ ｒｉｎｇ
Ｔ ｈｅ ｆｉｒｓｔ ｐｉｅｃｅ Ｔ ｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｐｉｅｃｅ Ｔ ｈｅ ｔｈｉｒｄ ｐｉｅｃｅ Ｔ ｈｅ ｆｏｕｒｔｈ ｐｉｅｃｅ Ｔ ｈｅ ｆｉｆｔｈ ｐｉｅｃｅ
Ｏ ｒｉｇｉｎａｌ ｃｕｒｖａｔｕｒｅ（kc）
N ３ （i）h２
，
Σ３３ （i） ＝ Σ３３ （i ＋ １），
n
∑H （i） － nk０ ＝ ０， i ＝ １，２，…，n．
i＝ １
第１ 期
杨 华， 等： 汽车钢板弹簧的非线性分析与数值计算
５ ７
上述方程组中要求的主要是片间的分布力 f １ ， 可使用延拓法、中点求积牛顿法［２］ 解上述非线性方程组． 3 数值算例及结果分析
g ２３ ＝ ０， g ３３ ＝ （１ － kAη１ ）２ A２ ＋ A ２ η２１ ，
其中 A 为 B １ （B ３ ）的模，
k＝
１ A３
［ （V １
＋
k０ V３ ） ·（V３ －
２k０V１ －
k
２ ０
V３
）
－
（１ ＋
V３ ＋
k０V１ ）］ ·（V１ ＋
２k０V３ ＋
k０ －
k
２ ０
V
１
）
］．
用初始构形和现实构形上度量张量的改变来描述变形， Ｇ ｒｅｅｎ 应变张量为
M ′＝ M １B １ ＋ M ２ B２ ＋ M３ B ３ ．
于是可得到建立在初始构形上的平衡方程
（AN １ ＋ AN １ ＋ kA ２N ３ ）b１ ＋ （AN ３ ＋ A N ３ － kA２ N １ ）b３ ＋ ρf ＝ ０， （ ７）
AM２ ＋ M２A ＋ A２N １ ＝ ０．
１．３ 本构方程 设 Ｋ ｉｒｃｈｈｏｆｆ 应力张量 Σ～ 与 Ｇ ｒｅｅｎ 应变张量 E～ 之间满足线性各向同性弹性方程， 即 ～Σ与 E～ 满足方程：
（ ９）
（２） 应力边界条件： 在 s＝ s１ 处， N １ ＝ AN ′１ ０ （１ －
V１ （s） ＝ V１０ ； k０ V１ ＋ V３ ） ＋ AN ′３０ （V１ ＋
k０ V３ ），
N ３ ＝ － AN ′１ ０ （V１ ＋ k０ V３ ） ＋ AN ′３０ （１ － k０ V１ ＋ V３ ），
１ ２
（ λ＋
２G）［（A２ －
１）η１ ＋
（k２ A４ －
k２０ ＋
A ２ ）I ］，
（ ８）
M２ ＝ （λ＋ ２G）（k０ － kA２ ）I ，
其中
１．４ 边界条件 给出如下边界条件：
∫ I ＝ η２１ ｄc． c
（１） 位移边界条件： 在 s＝ s０ 处，
V１ （s） ＝ V１０ ，
V３ （s） ＝ V３０ ，
设计汽车钢板 弹簧传统的方法 是共同曲率法和 集中荷载法［１ ］ ， 这两种 方法均以 线性、小变形理 论
为依据． 但是随着汽车向大吨位和高重量级发展， 钢板弹簧在工作中将产生大变形， 因此传统的设计
方案不再符合钢板弹簧的实际工作情况． 本文假设片间的分布力为幂级数形式， 对片间的作用力进行
数值模拟， 数值结果较传统的线性设计结果更接近实验值， 这样就克服了传统设计方案的缺陷．
Nonlinear analysis and numer ical computation of autom obile steel plate spr ing
Ｙ Ａ Ｎ Ｇ Ｈ ｕａ， Ｘ Ｕ Ｘ ｕ， Ｈ Ｕ Ｃ ｈｅｎｇ－ｄｏｎｇ
（I nstitute of Ma thema tics， J ilin University， Chang chun １３００１２， China ）
u１ （i）（l′i＋ １ ） － w １ （i）（l′i＋ １ ） ＝ u１ （i ＋ １）（l′i＋ １ ） － w １ （i ＋ u１ （i）（l″i＋ １ ） － w １ （i）（l″i＋ １ ） ＝ u１ （i ＋ １）（l″i＋ １ ） － w １ （i ＋ N １ （i） ＋ k（i）N ３ （i ） ＋ ρ（D ０ ＋ D １ X ＋ D ２X ２ ） ＝ ０，
变为 p ′点， p ′点向径可表示为（见图 ２）
y （ηα，t） ＝ Y０ （t） ＋ V（t） ＋ ηαB α，
（ ３）
F ig．1 p point diagram
F ig．2 p ′point diagram
由此得到现实构形上的度量张量：
g αβ ＝ δαβ，
g １３ ＝ AAη１ ， （ ４）
矩为－ M ′和 M ′＋ ｄM ′， 质量力为 ρ′ｄsf （ρ′为现实构形的质量密度）． 当梁平衡时有方程
ｄN ｄt
′＋
ρf ＝
０，
（ ６）
ｄM ｄt
′＋
B３×
N ′＝
０，
其中 ρ为初始构形的质量密度． 由 Ｋ ｉｒｃｈｈ ｏｆｆ 应力的定义有
N ′＝ N １B １ ＋ N ２ B ２ ＋ N ３ B３ ，
Abs tra ct： Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ， Ｌ ａｇｒａｎｇｅ＇ｓ ｔｙｐｅ ｏｆ ｄｙｎａｍ ｉｃｓ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｂ ｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｌａｒｇｅ ｄｅｆｏｒｍ ａｔｉｏｎ ｏｆ ａｕｔｏｍ ｏｂｉｌｅ ｓｔｅｅｌ ｐｌａｔｅ ｓｐｒｉｎｇ ａｒｅ ｄｅｄｕｃｅｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｃｏｎｔｉｎｕｕｍ ｍ ｅｃｈ ａｎｉｃｓ ｍ ｅｔｈ ｏｄ． Ａ ｎｄ ｔｈｅ ｎｕｍ ｅｒｉｃａｌ ｒｅｓｕｌｔ ａｐｐｒｏａｃｈ ｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｅｘｐｅｒｉｍ ｅｎｔａｌ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ ａｃｈｉｅｖｅｄ ｂｙ ｓｉｍ ｕｌａｔｉｎｇ ｔｈｅ ｆｏｒｃｅ ｂｅｔｗ ｅｅｎ ｔｈ ｅ ｐｉｅｃｅｓ． Ｔ ｈｅ ｍ ｅｔｈ ｏｄ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｈａｓ ｉｍ ｐｒｏｖｅｄ ｔｈ ｅ ｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎａｌ ｄｅｓｉｇｎｉｎｇ ｍ ｅｔｈ ｏｄ． Ke ywords ： ｓｔｅｅｌ ｐｌａｔｅ ｓｐｒｉｎｇ； ｎｏｎｌｉｎｅａｒ； Ｌ ａｇｒａｎｇｅ＇ｓ ｔｙｐｅ ｏｆ ｄｙｎ ａｍ ｉｃｓ ｅｑｕａｔｉｏｎ
设预压缩是通过纯弯曲完成的， 因此未受外荷载作用时装配后的各片弹簧在同一截面上的弯距和等于
零． 如果在静荷载作用下各片弹簧的最大正应力趋于一致， 则认为各片弹簧经最大变形后都能参加工
作． 用最大正应力的互等来确定初曲率． 由以上分析， 提出如下假设：
（１） 各片间的作用力只有法向分量， 没有切向分量， 即 f ３ ＝ ０； （２） 梁的轴线在变形前后不变， 即 A＝ １， A＝ ０； （３） 主片端部 作用一 静荷载 P ， 片 间的分布 力为幂 级数 形式， 即 f １ ＝ D ０ ＋ D １ X ＋ D ２ X ２ ， 其中 D０ ， D １ ，D ２ 是待定参数． 由此得到简化后的方程组：
数值计算中仅考虑 ５ 片弹簧， 且只考虑半段弹簧． 根据钢板弹簧的实际工作情况， 则简化为一端 固定， 另一端受力的悬臂 梁结构． 钢板的密度 ρ＝ ７．８× １０３ ｋｇ／ｍ ３ ， 横截面面积 S ＝ ２．７４４× １０－ ３ ｍ ２ ， 弹 性模量E ＝ ４× １０６ Ｐ ａ， 截面惯性矩I ＝ ４．４９２× １０－ ８ ｍ ４ ， 主片端部受力P ＝ ３７ ３１０ Ｎ ， k０ ＝ ０．３２５， 其 它参数列于表 １．
Y（ηα，t） ＝ Y０ （t） ＋ ηαaα， α＝ １，２，
（ １）
下标重复时表示求和， 下同． 由此得到初始构形上的度量张量：
Gαβ ＝ δαβ，
Gα３ ＝ ０，
（ ２）
G３３ ＝ （１ － k０ η１ ）２ ，
收 稿日 期： ２００３－０４－２９． 作 者简 介： 杨 华 （１９７３～）， 女， 博 士研 究生， 讲师 ， 从事 计算 数学的 研究， Ｅ －ｍ ａｉｌ： ｙｈｋａｌｉ＠ ２６３．ｓｉｎａ．ｃｏｍ ．
k（i） ＝ ［（u１ （i） － k２０ u１ （i） ＋ k０ ）２ ＋ （－ ２k０ u１ （i ））２ ］１／２ ，
k０ （i） ＝
［（w １ （i） －
k
２ c
w
１
（i
）
＋
kc）２ ＋
（－
２kcw １ （i））２ ］１／２ ，
u１ （i）（li＋ １ ） － w １ （i）（li＋ １ ） ＝ u１ （i ＋ １）（li＋ １ ） － w １ （i ＋ １）（li＋ １ ），
1 大挠度梁的基本边值问题 １．１ 几何 方程 汽 车钢板 弹簧在工 作中将 产生大变 形， 因 而要对 初始构形 和现实 构形 加以区 分． 设
¨
梁的初始构形轴线 Γ（见图 １）为： Y＝ Y０ （t）， 曲率 k＝ k０ （t）（t 为 Γ的弧参数）， 则 k０ （t）＝ ‖Y０ ‖．
Γ的自然标架为｛a １ ，a ２ ，a ３ ｝， 横截面 c 上的形心主轴标架为｛A１ ，A ２ ，A３ ｝， 梁上任意点 p 的向径为
E αβ ＝ ０，
E １３ ＝
１ ２
A
A
η１ ，
（ ５）
E ２３ ＝ ０，
E ３３ ＝
１ ２
［（A ２
－
１） ＋
２η１ （k０ －
kA ３ ） ＋
η２１ （k２ A４ －
k
２ ０
＋
A２ ）］．
１．２ 平衡方程 在现实构形上取一段微弧ｄs， 设作用在端部横截面上的内力为－ N ′和N ′＋ ｄN ′， 内力
１）（l′i＋ １ ）， １）（l″i＋ １ ），
M ２ （i） ＋ N １ （i） ＝ ０，
N ３ （i） ＝
１ ２
（
λ＋
２G）（k２ （i） －
k２０ （i ））I ，
（１ １）
M ２ （i） ＝ （λ＋ ２G）（k０ （i） － k（i））I ，
Σ３３ （i） ＝
１ I
１ ２
M ２ （i）h
＋
第 ４２ 卷 第 １ 期 ２ ０ ０ ４年１月
吉 林 大 学 学 报 （理 学 版）
ＪＯ Ｕ Ｒ Ｎ Ａ Ｌ Ｏ Ｆ ＪＩＬ ＩＮ Ｕ Ｎ ＩＶ Ｅ Ｒ ＳＩＴ Ｙ （ＳＣ ＩＥ Ｎ Ｃ Ｅ Ｅ Ｄ ＩＴ ＩＯ Ｎ ）
Ｖ ｏｌ．４２ Ｎ ｏ．１ Ｊａｎ ２００４
（１ ０）
M２ ＝ M２０． 2 汽车钢板弹簧在大变形下的理论模型
设计钢板 弹簧的主 要目的 是求出各 片的初曲 率半径、应力、应变， 并且 校核其 刚度． 由于各片 弹
簧在自由状态到夹紧状态的过程中不清楚各片的初曲率半径和外荷载， 因而求解必须联系弹簧的工作
wenku.baidu.com
状态． 弹簧片从初曲率 kc 经压缩变至 k０ （认为 k０ 是常量）在方程组中必须提及， 否则就无法反映弹 簧片 从初曲率不同变至曲率相同的预压缩过程． 假设钢板弹簧在变形过程中沿轴线方向的位移很小， 并假
研究简报
汽车钢板弹簧的非线性分析与数值计算
杨 华， 徐 旭， 胡成栋
（吉林大学数学研究所， 长春 １３００１２）
摘要： 利用非线性连续介质力学的方法推导了汽车钢板弹簧大变形问题的Ｌ ａｇｒａｎｇｅ 型动力学 方程和边界条件， 并根据其工作特点对方程进行简化， 从而建立了汽车钢板弹簧在大变形下 的理论模型． 对片间的作用力进行数值模拟， 数值结果和实验结果比较接近． 改进了传统的 设计方法． 关键词： 钢板弹簧； 非线性； Ｌ ａｇｒａｎｇｅ 型动力学方程 中图分类号： Ｏ ３４３．５ 文献标识码： Ａ 文章编号： １６７１－５４８９（２００４）０１－００５４－０４