2011高中数学总复习课件：抛物线
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（D） A. C.
3 2 1.已知抛物线 y x ， 则它的焦点坐标是 4
B. D.
4 焦点 抛物线的标准方程为 x y， 3 1
2
在y轴上，其坐标为（0, ），选D. 3 易错点：研究抛物线的几何性质时， 方程必须是标准方程.
2.若抛物线 y 2 px 的准线过双曲线
2
y2 2 x 1 的左焦点，则p的值为（ A ） 3
2 设A（x1, 2x12 ）,B（x2, 2x2）, 将y=kx+2代入，得2x2-kx-2=0. k 由根与系数的关系，得x1+x2= ；x1x2=-1.
2
kl=kAB. 所以l∥AB，即l∥AB.
例4 已知点A(-1,0)，
F(1,0)和抛物线C：y 2 =4x， O为 坐 标 原 点 ， 过 点 A的 动直线l交抛物线C于M、 P两点，直线MF交抛物线 C于另一点Q，如图 5 (Ⅰ)若△POM的面积为 ，求向量 OM 2 与 OP 的夹角； (Ⅱ)判断直线PQ与y轴的位置关系，并说 明理由.
4
设A（x1,y1）,B（x2,y2），M是线段 AB的中点，
4 所以 y1 y2 4， 得k=1， k 1
则
4
y2-y=0，得y=0或y=4.
所以A（0,0）,B（4,4），
所以 AB 42 42 4 2， 4 2. 填
1.抛物线的定义平面内到一定点F的距离 与到一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做 抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程 (1)方程y2=±2px(p>0)，x2=±2py(p>0)叫 做抛物线的标准方程，其中“±”号决定抛物 线的开口方向.
1 2 由（Ⅰ） x1 x2 p ，代入上式， 4 1 1 2 化简可得 . FA FB p
p （Ⅲ）因为点D的坐标为（- ,y2），直 2 y1 x1 ， 线OA的方程为 y x
要证A、O、D三点共线，只要证明点D
在直线OA上即可， py1即可，
py1 因此只需证明 y2 2 x ， 即证明2x1y2=1
(Ⅰ)利用点A到准线的距离
可求得P. (Ⅱ)可求点A的坐标，联立两直线方 程，看求得交点N的坐标. (Ⅰ) 抛 物 线 y2=2px(p>0) 准 线 为
p p x=- ，于是4+ =5，所以p=2，所以抛物 2 2
线的标准方程y2=4x.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得点A的坐标是(4,4)，由题意
4 得B(0,4),M(0,2),又因为F(1,0),所以kFA= ， 3 3 因为MN⊥FA,所以kMN=- ,则FA所在的 4 4
（Ⅱ）因为 FA x1 p ， x2 p ， FB
2 2
1 1 1 1 所以 FA FB x p x p 1 2 2 2 4 x1 x2 4 p （ ） 2 2 2 2 x1 p 2 x2 p 4 x1 x2 2 p x1 x2 p （ ）
(Ⅰ)由已知直线AB的方程为y=k(xkp2=0(k≠0)，
p ) 与 y2=2px 联 立 ， 消 去 x ， 得 ： ky2-2py2
根据韦达定理，y1y2=-p2.
2 2 2 2 y1 2 px1，y2 2 px2， y1 y2 4 p 2 x1 x2， 因为 所以
所以 (当AB⊥x轴时，上述的结论显然成立)
设△ABC为等腰三角形， ∠ABC=120°,则已知抛物线C：y=2x2，直 线y=kx+2交C于A、B两点，M是线段AB的 中点，过M作x轴的垂线交抛物线C于点N.
变式练习3
求证：抛物线C在点N处的切线l与AB 平行.
x1 x2 k 因为 x N xM ， 2 4 2 k k 所以N点的坐标为（ , ），又因为 4 8 2，所以y′=4x， y=2x k 所以过N点切线的斜率kl=4· =k，即 4
(Ⅰ)设M(x1,y1),P(x2,y2)，利用A、 M、P三点共线及OP · 与SΔMOP的关系求解. OM (Ⅱ)求出点P、Q坐标的关系，可判断结论. 因为P、M、A三点共线，
y1
2 y2 (Ⅰ)设点M( y ,y1)、P( ,y2), 4 4 2 1
y1 y2 2 ， 2 2 y1 y2 所以kAM=kPM,即 y1 1 4 4 4 y1 1 ， 则 2 所以y1y2=4. y1 4 y1 y2
抛物线x2=2py(p>0)的焦点坐标是(0,
抛 物 线 x2=-2py （ p>0 ） 的 焦 点 坐 标 是
(3)抛物线y2=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦
p 点F的距离 MF x0 ； 2
抛物线y2=-2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点
p F的距离 MF x0 . 2
直线方程为y=
3 3 为y-2=- x， 4
(x-1)，MN所在的直线方程
4 8 y= (x-1) x 3 5 ， 得 解方程组 4 3x y-2=y 5 4 8 4 所以 N ( , ). 5 5
求抛物线的标准方程常采 用待定系数法，利用已知条件确定抛 物线的焦点到准线的距离p的值.
变式练习2 抛物线的顶点在原点，焦点
ຫໍສະໝຸດ Baidu
变式练习1 在抛物线y 2 =4x上求点P到点
A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的 最小值. 如图，易知 抛物线的焦点为F(1,0)， 准线是x=-1，由抛物线 的定义知，点P到直线 x=-1的距离等于点P到 焦点F的距离，
于是问题转化为在曲线上求一点P， 使 点 P 到 点 A （ -1,1 ） 的 距 离 与 点 P 到 F （1,0）的距离之和最小，显然，连接AF 交曲线于P点时有最小值为 22 1， 5 . 即
所以A（±4,4），焦点坐标为（0,1），
由两点间距离公式知距离为
（ 4 2 4 1 2 25 5. ） （ ）
解法2：抛物线的准线方程为y=-1，所以A 到准线的距离为5.又因为A到准线的距离与A 到焦点的距离相等，所以距离为5,选D.
4.已知抛物线过点P（-1,2），则抛物线
在y轴上，抛物线上一点P（m,-3）到焦点的 距离为5，则抛物线的准线方程为y=2. 由题意可设抛物线方程为x 2 =-2py （p>0），因为P（m,-3）到焦点的距离为5，
p 所以P到准线的距离为 +3=5，所以p=4. 2
所以抛物线的准线方程为y=2，填y=2.
重点突破：直 线与抛物线的位置关系 例3 如图：AB是过 抛物线y2=2px(p>0)焦点 F的弦，M是AB的中点， l是抛物线的准线， MN⊥l ， N 是 垂 足 ， 设 A(x1,y1),B(x2,y2). 求证：(Ⅰ)y1y2=-p2，x1x2=
易错点：求抛物线的标准方程，应分
析焦点所在的位置.
5.已知过点M（2,2）的直线l与抛物线 C：y2=4x交于A,B两点，且M是线段AB的 中点,则弦长 AB = 4 2 . 显然直线l的斜率必存在，设l： y-2=k（x-2）， y-2=k（x-2） k 则由 2 ，消去x得 y2-y+2-2k=0 y =4x，
y 2 y 2 所以 OP · 1 · 2 y1 y2 5， OM 4 4 设∠POM=α，则 OP OM cos 5， 5 因为S△POM= ， 2 所以 OP · · 5， OM sin
由此可得tanα=1， 又α∈（0,π）， 所以α=45°，
2
(3)已知过抛物线y2=2px(p>0)焦点的直线 交抛物线于A、B两点，则线段AB称为焦点弦，
设A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长 AB =x1+x2+p或
2p AB (α为直线AB的倾斜角)，y1y2=-p2， 2 sin 2 x1x2= p ，AF x1 p ( AF 叫做焦半径). 2 4
1 设抛物线上的点P到准线l：x=- 的距离 2
PA PF PA d， 当PA⊥l 7 时，PA d 取到最小，为 .此时点P(2，2). 2 7 即 PA PF 的最小值为 ，且P(2，2). 2
由定义知
重视定义在解题中的应用， 灵活地进行抛物线上点到焦点的距离与 到准线的距离的等价转化，是解决抛物 线焦点弦有关问题的主要途径.
3.抛物线的几何性质 (1)抛物线的对称轴叫做抛物线的轴，只 有一条；抛物线和它的轴的交点叫做抛物线 的顶点，只有一个；抛物线上的点与焦点的 距离和它到准线的距离的比叫做抛物线的离 心率，其值为1. (2)设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)， p 则抛物线的焦点到其顶点的距离为 ，顶点 2 p ，焦点到准线的距离为p. 到准线的距离
(2)抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标是(
p 准线方程x=2 p ，开口向右； 2
,0)，
抛物线y2=-2px(p>0)的焦点坐标是(p 准线方程x= ，开口向左； 2 p 准线方程y=- ，开口向上； 2 p p （0,- ），准线方程y= ，开口向下. 2 2
p ,0)， 2 p )， 2
y12 因为2 x1 ， 所以只需证明 y12 y2 p 2 y1， p
即证明y1y2=-p2 即可，这已由（Ⅰ）证明，
所以结论成立.
解决直线与抛物线的焦点弦问
题，一般设交点坐标，联立方程组，借助
韦达定理及点在抛物线上等条件解题，须
p2 关注过焦点的弦的一些性质，如x1x2= ， 4 p AF y1y2=-p2， x1， 弦长 AB =x1+x2+p等. 2
重点突破：抛 物线的标准方程及其 几何性质 例2 如 图 ， 抛 物 线 y2=2px(p>0) 的 焦 点 为F，A在抛物线上， 其横坐标为4，且位于 x轴上方，A到抛物线准线的距离为5，过A作 AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M. (Ⅰ)求抛物线的方程， (Ⅱ)过M作MN⊥FA，垂足为N,求点N的 坐标.
D三点共线.
1 2 ; (Ⅲ)设BD⊥l，D为垂足，则A、O、 FB p
1 ；(Ⅱ) FA
（Ⅰ）设出直线AB的方程， 与抛物线方程联立，消去x得关于y的一元
二次方程，结合韦达定理及点A、B在抛物
线上，可求得.
（Ⅱ）由焦点弦公式可求得.
（Ⅲ）要证A、O、D三点共线，只要
证明点D在直线OA上即可.
1 的标准方程为 x y或y 2 4 x . 2
2
当焦点在y轴上时，方程可设为x2=
1 my，因为过点P（-1,2），所以m= ，方程 2 1
为x2= y；当焦点在x轴上时，方程可设为
2
y2=nx，因为过点P（-1,2），所以n=-4，方程
为y2=-4x.填x2=
1 y或y2=-4x. 2
A.4 C.2 双曲线
2
B.-4 D.-2
y x 1 3
2
的左焦点为
p x ， 2
（-2,0），抛物线y2=2px的准线方程为
p 所以有 2，所以p=4，选A. 2
3.抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4， 则点A与抛物线焦点F的距离为（ D ） A.2 B.3
C.4
D.5
解法1：y=4代入x2=4y，得x=±4，
重点突破：抛物线的定义及其应用
例1 已知抛物线y2=2x的焦点是F，点P是
抛物线上的动点，又点A（3,2），求 PA PF 的最小值，并求取最小值时点P的坐标. 由定义知，抛物线上点P到焦 点F的距离等于点P到准线l的距离，求 PA PF 的问题可转为求 PA d 的问题.
将x=3代入抛物线方程y2=2x，得 y=± 6 . 因为 6 >2，所以A在抛物线内部. 为d，
故向量 OM 与 OP 的夹角为45°.
y1 (Ⅱ)直线MF的方程为 y 2 ( x 1)， y1 4 1
联立抛物线方程y2=4x，消去x得：
y1 2 y1 y （ 1 y y1 0， 即 （ y1 y 1 ） ） 4 4 4 （y y1 1， ） 4 所以 y y 或y=y1. 1 4 从而知道点Q的纵坐标yQ=- ，又由(Ⅰ)知， y1 4
3 2 1.已知抛物线 y x ， 则它的焦点坐标是 4
B. D.
4 焦点 抛物线的标准方程为 x y， 3 1
2
在y轴上，其坐标为（0, ），选D. 3 易错点：研究抛物线的几何性质时， 方程必须是标准方程.
2.若抛物线 y 2 px 的准线过双曲线
2
y2 2 x 1 的左焦点，则p的值为（ A ） 3
2 设A（x1, 2x12 ）,B（x2, 2x2）, 将y=kx+2代入，得2x2-kx-2=0. k 由根与系数的关系，得x1+x2= ；x1x2=-1.
2
kl=kAB. 所以l∥AB，即l∥AB.
例4 已知点A(-1,0)，
F(1,0)和抛物线C：y 2 =4x， O为 坐 标 原 点 ， 过 点 A的 动直线l交抛物线C于M、 P两点，直线MF交抛物线 C于另一点Q，如图 5 (Ⅰ)若△POM的面积为 ，求向量 OM 2 与 OP 的夹角； (Ⅱ)判断直线PQ与y轴的位置关系，并说 明理由.
4
设A（x1,y1）,B（x2,y2），M是线段 AB的中点，
4 所以 y1 y2 4， 得k=1， k 1
则
4
y2-y=0，得y=0或y=4.
所以A（0,0）,B（4,4），
所以 AB 42 42 4 2， 4 2. 填
1.抛物线的定义平面内到一定点F的距离 与到一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做 抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程 (1)方程y2=±2px(p>0)，x2=±2py(p>0)叫 做抛物线的标准方程，其中“±”号决定抛物 线的开口方向.
1 2 由（Ⅰ） x1 x2 p ，代入上式， 4 1 1 2 化简可得 . FA FB p
p （Ⅲ）因为点D的坐标为（- ,y2），直 2 y1 x1 ， 线OA的方程为 y x
要证A、O、D三点共线，只要证明点D
在直线OA上即可， py1即可，
py1 因此只需证明 y2 2 x ， 即证明2x1y2=1
(Ⅰ)利用点A到准线的距离
可求得P. (Ⅱ)可求点A的坐标，联立两直线方 程，看求得交点N的坐标. (Ⅰ) 抛 物 线 y2=2px(p>0) 准 线 为
p p x=- ，于是4+ =5，所以p=2，所以抛物 2 2
线的标准方程y2=4x.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得点A的坐标是(4,4)，由题意
4 得B(0,4),M(0,2),又因为F(1,0),所以kFA= ， 3 3 因为MN⊥FA,所以kMN=- ,则FA所在的 4 4
（Ⅱ）因为 FA x1 p ， x2 p ， FB
2 2
1 1 1 1 所以 FA FB x p x p 1 2 2 2 4 x1 x2 4 p （ ） 2 2 2 2 x1 p 2 x2 p 4 x1 x2 2 p x1 x2 p （ ）
(Ⅰ)由已知直线AB的方程为y=k(xkp2=0(k≠0)，
p ) 与 y2=2px 联 立 ， 消 去 x ， 得 ： ky2-2py2
根据韦达定理，y1y2=-p2.
2 2 2 2 y1 2 px1，y2 2 px2， y1 y2 4 p 2 x1 x2， 因为 所以
所以 (当AB⊥x轴时，上述的结论显然成立)
设△ABC为等腰三角形， ∠ABC=120°,则已知抛物线C：y=2x2，直 线y=kx+2交C于A、B两点，M是线段AB的 中点，过M作x轴的垂线交抛物线C于点N.
变式练习3
求证：抛物线C在点N处的切线l与AB 平行.
x1 x2 k 因为 x N xM ， 2 4 2 k k 所以N点的坐标为（ , ），又因为 4 8 2，所以y′=4x， y=2x k 所以过N点切线的斜率kl=4· =k，即 4
(Ⅰ)设M(x1,y1),P(x2,y2)，利用A、 M、P三点共线及OP · 与SΔMOP的关系求解. OM (Ⅱ)求出点P、Q坐标的关系，可判断结论. 因为P、M、A三点共线，
y1
2 y2 (Ⅰ)设点M( y ,y1)、P( ,y2), 4 4 2 1
y1 y2 2 ， 2 2 y1 y2 所以kAM=kPM,即 y1 1 4 4 4 y1 1 ， 则 2 所以y1y2=4. y1 4 y1 y2
抛物线x2=2py(p>0)的焦点坐标是(0,
抛 物 线 x2=-2py （ p>0 ） 的 焦 点 坐 标 是
(3)抛物线y2=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦
p 点F的距离 MF x0 ； 2
抛物线y2=-2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点
p F的距离 MF x0 . 2
直线方程为y=
3 3 为y-2=- x， 4
(x-1)，MN所在的直线方程
4 8 y= (x-1) x 3 5 ， 得 解方程组 4 3x y-2=y 5 4 8 4 所以 N ( , ). 5 5
求抛物线的标准方程常采 用待定系数法，利用已知条件确定抛 物线的焦点到准线的距离p的值.
变式练习2 抛物线的顶点在原点，焦点
ຫໍສະໝຸດ Baidu
变式练习1 在抛物线y 2 =4x上求点P到点
A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的 最小值. 如图，易知 抛物线的焦点为F(1,0)， 准线是x=-1，由抛物线 的定义知，点P到直线 x=-1的距离等于点P到 焦点F的距离，
于是问题转化为在曲线上求一点P， 使 点 P 到 点 A （ -1,1 ） 的 距 离 与 点 P 到 F （1,0）的距离之和最小，显然，连接AF 交曲线于P点时有最小值为 22 1， 5 . 即
所以A（±4,4），焦点坐标为（0,1），
由两点间距离公式知距离为
（ 4 2 4 1 2 25 5. ） （ ）
解法2：抛物线的准线方程为y=-1，所以A 到准线的距离为5.又因为A到准线的距离与A 到焦点的距离相等，所以距离为5,选D.
4.已知抛物线过点P（-1,2），则抛物线
在y轴上，抛物线上一点P（m,-3）到焦点的 距离为5，则抛物线的准线方程为y=2. 由题意可设抛物线方程为x 2 =-2py （p>0），因为P（m,-3）到焦点的距离为5，
p 所以P到准线的距离为 +3=5，所以p=4. 2
所以抛物线的准线方程为y=2，填y=2.
重点突破：直 线与抛物线的位置关系 例3 如图：AB是过 抛物线y2=2px(p>0)焦点 F的弦，M是AB的中点， l是抛物线的准线， MN⊥l ， N 是 垂 足 ， 设 A(x1,y1),B(x2,y2). 求证：(Ⅰ)y1y2=-p2，x1x2=
易错点：求抛物线的标准方程，应分
析焦点所在的位置.
5.已知过点M（2,2）的直线l与抛物线 C：y2=4x交于A,B两点，且M是线段AB的 中点,则弦长 AB = 4 2 . 显然直线l的斜率必存在，设l： y-2=k（x-2）， y-2=k（x-2） k 则由 2 ，消去x得 y2-y+2-2k=0 y =4x，
y 2 y 2 所以 OP · 1 · 2 y1 y2 5， OM 4 4 设∠POM=α，则 OP OM cos 5， 5 因为S△POM= ， 2 所以 OP · · 5， OM sin
由此可得tanα=1， 又α∈（0,π）， 所以α=45°，
2
(3)已知过抛物线y2=2px(p>0)焦点的直线 交抛物线于A、B两点，则线段AB称为焦点弦，
设A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长 AB =x1+x2+p或
2p AB (α为直线AB的倾斜角)，y1y2=-p2， 2 sin 2 x1x2= p ，AF x1 p ( AF 叫做焦半径). 2 4
1 设抛物线上的点P到准线l：x=- 的距离 2
PA PF PA d， 当PA⊥l 7 时，PA d 取到最小，为 .此时点P(2，2). 2 7 即 PA PF 的最小值为 ，且P(2，2). 2
由定义知
重视定义在解题中的应用， 灵活地进行抛物线上点到焦点的距离与 到准线的距离的等价转化，是解决抛物 线焦点弦有关问题的主要途径.
3.抛物线的几何性质 (1)抛物线的对称轴叫做抛物线的轴，只 有一条；抛物线和它的轴的交点叫做抛物线 的顶点，只有一个；抛物线上的点与焦点的 距离和它到准线的距离的比叫做抛物线的离 心率，其值为1. (2)设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)， p 则抛物线的焦点到其顶点的距离为 ，顶点 2 p ，焦点到准线的距离为p. 到准线的距离
(2)抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标是(
p 准线方程x=2 p ，开口向右； 2
,0)，
抛物线y2=-2px(p>0)的焦点坐标是(p 准线方程x= ，开口向左； 2 p 准线方程y=- ，开口向上； 2 p p （0,- ），准线方程y= ，开口向下. 2 2
p ,0)， 2 p )， 2
y12 因为2 x1 ， 所以只需证明 y12 y2 p 2 y1， p
即证明y1y2=-p2 即可，这已由（Ⅰ）证明，
所以结论成立.
解决直线与抛物线的焦点弦问
题，一般设交点坐标，联立方程组，借助
韦达定理及点在抛物线上等条件解题，须
p2 关注过焦点的弦的一些性质，如x1x2= ， 4 p AF y1y2=-p2， x1， 弦长 AB =x1+x2+p等. 2
重点突破：抛 物线的标准方程及其 几何性质 例2 如 图 ， 抛 物 线 y2=2px(p>0) 的 焦 点 为F，A在抛物线上， 其横坐标为4，且位于 x轴上方，A到抛物线准线的距离为5，过A作 AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M. (Ⅰ)求抛物线的方程， (Ⅱ)过M作MN⊥FA，垂足为N,求点N的 坐标.
D三点共线.
1 2 ; (Ⅲ)设BD⊥l，D为垂足，则A、O、 FB p
1 ；(Ⅱ) FA
（Ⅰ）设出直线AB的方程， 与抛物线方程联立，消去x得关于y的一元
二次方程，结合韦达定理及点A、B在抛物
线上，可求得.
（Ⅱ）由焦点弦公式可求得.
（Ⅲ）要证A、O、D三点共线，只要
证明点D在直线OA上即可.
1 的标准方程为 x y或y 2 4 x . 2
2
当焦点在y轴上时，方程可设为x2=
1 my，因为过点P（-1,2），所以m= ，方程 2 1
为x2= y；当焦点在x轴上时，方程可设为
2
y2=nx，因为过点P（-1,2），所以n=-4，方程
为y2=-4x.填x2=
1 y或y2=-4x. 2
A.4 C.2 双曲线
2
B.-4 D.-2
y x 1 3
2
的左焦点为
p x ， 2
（-2,0），抛物线y2=2px的准线方程为
p 所以有 2，所以p=4，选A. 2
3.抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4， 则点A与抛物线焦点F的距离为（ D ） A.2 B.3
C.4
D.5
解法1：y=4代入x2=4y，得x=±4，
重点突破：抛物线的定义及其应用
例1 已知抛物线y2=2x的焦点是F，点P是
抛物线上的动点，又点A（3,2），求 PA PF 的最小值，并求取最小值时点P的坐标. 由定义知，抛物线上点P到焦 点F的距离等于点P到准线l的距离，求 PA PF 的问题可转为求 PA d 的问题.
将x=3代入抛物线方程y2=2x，得 y=± 6 . 因为 6 >2，所以A在抛物线内部. 为d，
故向量 OM 与 OP 的夹角为45°.
y1 (Ⅱ)直线MF的方程为 y 2 ( x 1)， y1 4 1
联立抛物线方程y2=4x，消去x得：
y1 2 y1 y （ 1 y y1 0， 即 （ y1 y 1 ） ） 4 4 4 （y y1 1， ） 4 所以 y y 或y=y1. 1 4 从而知道点Q的纵坐标yQ=- ，又由(Ⅰ)知， y1 4