棱锥的概念和性质

（2）棱锥的高、斜高、斜高在底面内的射影组成一个直角
三角形；棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个
直角三角形.
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正棱锥的性质
1．各侧棱相等，各侧面都是
S
全等的等腰三角形．
2．棱锥的高、斜高和斜高在 底面内的射影组成一个直角三角形；
A
O
C
棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的
B
射影也组成一个直角三角形．
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棱锥的基本概念
S
棱锥的顶点
棱锥的侧棱
棱锥的高
D
棱锥的侧面
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E
O
AB
C
棱锥的底面
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2.棱锥的性质
正棱锥:
如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面 内的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥．
正棱锥的性质:
（1）各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形.
侧面等腰三角形底边上的高相等,它们叫做正棱锥的斜高．
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棱锥的定义
有一个面是多边形，其余各面是一个有公共顶点的三角 形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．
棱锥的有关概念、表示方法、分类
小结
正棱锥:如果一个棱锥的底面是正多边形，并
且顶点在底面内的射影是底面的中心，这样的棱 锥叫做正棱锥．
正棱锥的性质
（1）各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形 （2）棱锥的高、斜高、斜高在底面内的射影组成一个直角三角形； 棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形
(1) 5
(2) 3
(3) 6
2
(4) 60o
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S
D
C
O
M
A
B
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例3.设一个正三棱锥的侧面和底面的交角 为60o，则棱锥的侧棱和底面的夹角的余弦 值是多少？
分析：设OD=1 则OC=2
在Rt△SOD中SO=ODtan60o= 3
在Rt△SOC中SC= SO2 OC 2
=7
∴cos∠SCO=OC/SC=2/ 7 = 2 7/7
1.棱锥的概念 2.棱锥的性质 3.正棱锥直观图的画法
4.多面体和正多面体
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1.棱锥的概念
棱锥是由这样一些面围成的几何体: (1)有一个面是多边形
(2)其余各面是有一个公共顶点的三角形
(1)棱锥的定义:
有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶 点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．
SH’2 SH2
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证明：因为截面平行于底面，所以A’B’//AB，B’C’//BC，
C’D’//CD，……。
∴∠A’B’C’=∠ABC，∠B’C’D’=∠BCD ……。
又因为过SA、SH的平面与截面和底面分别交于A’H’
和AH S
∴A’H’//AH
由此得
A’B’ AB
=
SA’ SA
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练习1、判断正误： （1）正棱锥的侧面是正三角形； （2）正棱锥的侧面是等腰三角形； （3）底面是正多边形的棱锥是正棱锥； （4）正棱锥的各侧面与底面所成的二面角都相等； （5）侧棱都相等的棱锥是正棱锥； （6）有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何 体是棱锥
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SM=l，求经过SO的中点且平行于截面△A’B’C’的面
积。
解：连结OM、OA。在Rt△SOM中，
OM= √l 2 - h 2
S
因为棱锥S – ABC是正棱锥
所以点O是正三角形ABC的中心
AB=2AM=2•OM •t a n 600
A’
A M
C’
=2√3 • √ l 2 - h 2
O’ B’
S△ABC =
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一般棱锥的性质
定理: 如果棱锥被平行于底面的平面所截，
那么截面和底面相似，并且它们面积的比等
于截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方
比．
S
S截 h2 S底 h2
E
A
D O
C
E B D
A
O C
B
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一般棱锥的性质
定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么
棱锥的性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且
它2们01面9/5积/19 的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比．
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截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥 的高与已知棱锥的高的平方比。
S
已知：在棱锥S – AC中，SH是高，
截面A’B’C’D’E’平行于底面，并
A’ E’
D’ H’ C’
且与SH交于H’。
B’
求证：截面A’B’C’D’E’∽底面
E
D
ABCDE，并且
A
H B
C
∴
SA’B’C’D’E’ = SABCDE
=
SH’ SH
A’ E’
D’ H’ C’
同理
B’C’ BC
=
SH’ SH
…
∴
A’B’ AB
=
B’C’ BC
=
…
=
SH’ SH
B’
因此截面A’B’C’D’E’∽底面ABCDE
E
D
AHale Waihona Puke Baidu
H
C
∴
SA’B’C’D’E’ = SABCDE
A’B’2 AB2
=
SH’2 SH2
B
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例1、如图，已知正三棱锥S – ABC的高SO=h，斜高
3AB2=
4
43×4×3（ l 2 - h 2）
根据棱锥截面的性质，有
OC
S △A’B’C’ S△ABC
=
1 4
B
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S △A’B’C’ = 3 3 （l 2 - h 2）
4
过高的中点且平行于底面的截面叫做中截面15
例 2 ：已知：正四棱锥 S－－ABCD 中，底面边长为 2，斜 高为 2。求：（1）侧棱长； （2）棱锥的高； （3）侧 棱与底所成的角的正切值； （4）侧面与底面所成的角；
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练习2（1）一正棱锥的所有侧面与底面所成的角为600，
高是 3，则它的斜高为 2
（2）已知正三棱锥的底面边长为a，过各侧棱中点
的截面面积为
3a2
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（3）一个棱锥被平行于底面的截面所截，若截面
面积与底面面积之比为1：2，求棱锥的高被分成的
两段的比。（自上而下） 1: ( 2 1)
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