第八章 指数模型

单因素模型的提出
• 任何证券的收益率i通常都可以被分解为各种预期 与非预期收益率之和，即
ri E (ri ) ei 其中，E (ei ) 0，D(ei ) i
• 如果相关证券的收益率能够很好的为正态分布所 刻画，那么这些证券是服从联合正态分布的。
• 假设引起证券市场收益变化的因素是一些 影响所有公司的宏观经济变量m，则将不 确定性因素分解为整个经济系统的不确定 性(m)和特定公司的不确定性(ei)可得到： ri E(ri ) m ei , 其中E(m) 0, D(m) m • • m衡量未预期的宏观突发事件，ei仅衡量特 定公司的突发事件,且二者相互独立。m与 ei的协方差和相关系数均为0。
2 定义：（ 1）E ei ; (2) E Rm Rm m 2 2 ei 2
而言，ei 和e j 相互独立，有 E ei e j 0。这意味着除市场之外 不存在
基本方程：Ri i i Rm ei
通过假定：
(2)证券仅通过对市场的共 同反应而相互关联： E ei e j 0
马科维茨模型缺陷
• 协方差矩阵需要大量的估计值 假设需分析50个股票，则需估计： n=50个期望收益的估计 n=50个方差估计 1325个估计值 (n2-n)/2=1225个协方差估计 若n=100,需估计5150，若n=3000,需估 计450万个值 • 未对预测证券的风险溢价有任何指导作用
• 金融机构按行业划分分析师，一个分析师 只跟踪某类行业股票 • 不能交叉的组织结构不利于相关系数的估 计 • 促进了预测证券间相关结构模型的发展， 其代表是单指数模型：股票间的协同运动 源于单一的共同因素或指数。
2 i , i , ei 是通过时间序列回归分 析而得。
单指数模型只是在假设 前提下成立。其关键假 设是，对所有 i 和j 其他原因导致股票协同 运动。 概括单指数模型： 通过构建：均值 ei E ei 0 （ 1）指数与特有收益不相 关：E ei Rm Rm 0
i ei t 代表证券i的一个组成部分，是独 立于市场表现的随机变 量
ei t 的期望值为零
i 代表收益中对市场收益 不敏感部分的期望值， t 代表 i的随机项
为方便起见，令 ei 和Rm不相关。即 cov(ei Rm ) E ei 0Rm Rm i 0
设（X，Y）是一个二维随机变量 ，称定义在整个实平面 上的二元函数 F ( x, y) P( X x, Y y) 为（X, Y）的联合分布函数
F ( x, y )在( x, y )处的函数值的几何意义 是二维随即点 ( X ,Y ) 落在点( x, y )为右上顶点，而位于该 点左下的无穷矩形区域 Dxy内的概率，故 F ( x, y ) P(( X , Y ) Dxy )
2 m
单因素模型的提出
ri Eri i m ei
• 就是股票收益的单因素模型（single-factor model）。 • 这个模型很简单，但是并未确定宏观经济因素到 底包括哪些因素，尤其是各个宏观因素的权重无 法确定，因此，单因素模型的有关系数估计不出 来，缺乏实际应用价值。
用单指数模型描述证券在协同运动 下的期望收益、标准差和协方差
(1)期望收益：E Ri i i E Rm (2)证券收益方差：
2 i 2 i 2 m 2 ei 2 （3）证券i和j之间的协方差： ij i j m
8.2.4 单因素模型的估计值
因素模型
• 因素模型（factor model)是一 种假设证券的回报率只与不同的 因素波动（相对数）或者指标的 运动有关的证券定价模型。依据 因素的数量，可以分为单因素模 型和多因素模型
单因素模型（指数模型）
• 威廉· 夏普（William Shape ）在1963年 发表《对于“资产组合”分析的简化模型 》一文中提出。 • 夏普提出单因素模型的基本思想是：当市 场股价指数上升时，市场中大量的股票价 格走高；相反，当市场指数下滑时，大量 股票价格趋于下跌。 • 用一种证券的收益率和股价指数的收益率 的相关关系推导模型。
2 i2 Var(E(ei ) m ei ) Var(m ei ) m 2 (ei )
单因素模型的提出
• 共同因素m将证券关联起来，因为所有的证券均 会对同一宏观经济消息做出反应，而各公司特有 事件ei之间却没有联系 • 由于m与任意公司特有事件之间没有联系，任意 证券i和j之间的协方差为： 2 cov(ri , rj ) cov(m ei , m e j ) m • 某些证券对宏观经济的冲击更敏感，给每个公司 引入敏感性系数，衡量这些细微的变化，用 i 来 表示公司i的敏感性系数，那么上式变为：
2 X i X j i j X i2 ei 2 P i 1 j 1 2 m i 1 N N N
单因素模型的提出
• 公司内部特有因素对每个公司的影响是不 确定的，总体上说，这类因素对公司股价 的影响的期望值为零，即随着投资的分散 化，这类因素的影响是逐渐减少的。 • 夏普提出实际影响因素只有一个，即宏观 经济因素。
单因素模型
单因素模型是因素模型的一种具体形 式。具体来说，单因素模型认为，任 何资产的实际收益是由唯一的一个因 素所决定的，并且该资产的实际收益 率与该因素成线性关系。
ei
2 ei
2 i2 M
需要估计的变量： n个敏感系数估计值 i n个公司特有方差的估计 值 2 ei 3n 2 1个市场溢价估计值 E RM 2 1个宏观经济因素方差的 估计值 M n个超额收益估计值 i
• 不足： • 1、风险简单分为微观和宏观过于简单，忽 略了比如行业的影响 • 2、假设非系统风险之间是相互独立的，而 有些股票残差项有些是相关的
联合正态分布
• 二维随机变量(X,Y)是定义在同一样本空间上的一 对随机变量 • 通常讨论二维随机变量，而不是单独讨论以为随 机变量X，Y，其目标在于探讨X和Y二者之间的关 系 • 例如，考察学龄前儿童身体发育情况，需观测身 高X和体重Y。但通常不单独采集身高和体重数据， 而是成对采集每个儿童身体和体重，把X和Y作为 一个二元整体（X，Y）加以研究。
2
e
x 1 2 x 1 y 2 x 2 2 1 2 2 2 2 (1 2 ) 1 2 1 2
其中，1, 2 , 1 0, 2 0, 1是5个参数，则称 ( X ,Y ) 服从二维正态分布。并 记为 ( X , Y ) ~ N ( 1 , 2 , 1 , 2 , )
第8章 指数模型
上海金融学院
• 金融机构对资产组合理论的应用始于研究 突破了：简化投资组合分析所需数据的类 型和数量；简化计算最优组合时的计算程 序 • 首先讨论简化投资组合问题的输入数据的 问题 • 分析历史最长、应用最广泛的投资组合结 构简化方法：单指数模型
• 首先回顾到投资组合问题，为了确定有效 边界，必须确定投资组合收益的期望收益 值和标准差
零均值变量 非市场成 分敏感度 对市场的 敏感度
• 从前面的推导中得知股票投资组合的方差 为：
p X i2 i2 X i X j ij
i i 1 j 1 i j N N N
带入指数模型中 i2 , ij 表达式有：
2 p X X X i X j i i m i 1 2 i 2 i 2 m i 2 i 2 ei i 1 j 1 i j N N N N
指数模型与分散化
1 假设每种证券的权重为 wi ，超额收益率为： n n 1 n 1 n R p wi Ri Ri ( i i RM ei ) n i 1 n i 1 i 1 1 n 1 n 1 n i ( i ) RM ei n i 1 n i 1 n i 1
ri E(ri ) i m ei
单因素模型的提出
• 证券i的系统风险为 i ，总风险为：
2 i2 i2 m 2 ei
• 任意两种证券间的协方差也取决于其 系数，
cov( ri , rj ) cov( i m ei , j m e j ) i j
8.2.1 单指数模型的回归方程
用M表示市场指数，其超额 收益率为RM rM rf , 标准差为 M 对于线性指数模型，可 以用单变量线性回归来 估计一个证券对 市场指数的敏感性系数 ，即用Ri ri rf 对RM回归，数据采用历史 样本Ri t 和RM t 配对，t表示观察样本的日期。 回归方程是 Ri t i i RM t ei t
1.当市场为中性，即超额 收益rM rf 为零时的股票期望收益 2.由于整体市场波动带来 的收益部分; i 是证券对市场变化的敏 感度 3.由于意外事件导致的仅 与单个公司有关的未期 望收益部分 4.共同宏观因素不确定性 导致的误差 5.公司特定因素不确定性 导致的误差
i
i rM rf
只要知道了 ( X , Y )的联合分布函数，
( x, y) x
(x,y)
那么( X , Y )取值于任一区域
1
x x2 , y1 y y2 内的概率
即可求得。联合分布函 数完全刻画出 了二维随机变量的概率 分布规律。
二维正态分布
若二维随机变量 ( X , Y )的联合概率密度 f ( x, y ) 1 21 2 1
定义组合的阿尔法值和 贝塔值
p X i i
i 1 N
N
p X i i
i 1
则：
E R p p p E Rm
如果投资组合P是市场组合（所有股票 的持有比例等同于 构建Rm的比例），则投资组合 P的期望收益必须等于 E ( Rm ) 那么， p 0， p 1 投资组合方差可写为：
练习
1. 若单因素模型成立，任意两个证券之间的协 方差将取决于其贝塔系数，即cov(ri,rj)=()
2 A. m 2 2 2 B.i j m C. i2 m e2i D. m ei
8.2 单指数模型
观察股票市场，当股市上涨时，大多数股 票价格上涨；股市下跌时，大多数股票价 格下跌。这意味着，证券收益彼此相关的 可能性是对市场变动的共同反映。用标普 500这类股票指数的收益率视为共同宏观 经济因素的有效代理指标，推导出和单因 素模型类似的等式，称为单指数模型。
指数模型与分散化
假设对n种证券赋予相等的权重 ，那么每种证券的超额 收益率： Ri i i RM ei 投资组合超额收益率可 用下式求得 RP P P RM eP
随着投资组合包含股票数量的增加，由非市场因 素引起的投资组合风险变得越来越小，市场风险 却不论投资组合所包含公司数量大小依然保持不 变。
E ( RP ) X i E ( Ri
i 1 N
P [ X i2 i2 X j X k j k jk ]1/ 2
i 1
N
N
N
• 期望收益计算中，我们需要估计每一种可 能涵盖进投资组合的备选证券的期望收益 ；方差计算中我们需要估计每种证券的方 差和相关系数
j 1 k j k 1