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2.1 鸽笼原理 2.2 鸽笼原理的推广 2.3 Ramsey定理 本章小结
录
习题
第3章 容斥原理
3.1 容斥原理 3.2 重集r-组合 3.3 错排问题 3.4 有限制排列 3.5* 一般有限制排列 3.6* 广义容斥原理 本章小结 习题
第4章 母函数
4.1 母函数的基本概念 4.2 母函数的基本运算 4.3 在排列组合中的应用 4.4 整数的拆分 4.5 Ferrers图
则|A∪B| = k+l 。
m
设S是有限集合，若 Si S, S Si，且 i j
m
im1
时， Si S j ，则有 S Si Si 。
i 1
i 1
§1.1 加法法则例1
1.1.1 加法法则
例1、有一所学校给一名物理竞赛优胜 者发奖，奖品有三类，第一类是三种 不同版本的法汉词典；第二类是四种 不同类型的物理参考书；第三类是二 种不同的奖杯。这位优胜者只能挑选 一样奖品。那么，这位优胜者挑选奖 品的方法有多少种？
解：设S是所有这些奖品的集合，Si是第i类奖品的集合
(i=1,2,3)，显然，Si∩Sj=Φ (i≠j) ，根据加法法则有
3
|S| Si |S1||S2||S3| 3 4 2 9
i 1
§1.1 加法法则例2、3
1.1.1 加法法则 例2、大于0小于10的奇偶数
有多少个？
解：设S是符合条件数的集合，S1、S2分别是符合条件的
b∈B}，则|A×B| = k×l 。 m
设 Si (i 1, 2,..., m) 是有限集合，且 S Si
i 1
{(a1,a2 ,...,am ) | ai Si , i 1, 2,..., m} ，则有
m
m
S Si Si
i 1
i 1
。
§1.1 乘法法则例4
1.1.2 乘法法则
目录（2）
4.6* 在组合恒等式中的应用 本章小结 习题
第5章 递推关系
5.1 递推关系的建立 5.2 常系数线性齐次递推关系 5.3 常系数线性非齐次递推关系 5.4 迭代法与归纳法 5.5 母函数在递推关系中的应用 5.6* 典型的递推关系 本章小结 习题
第6章 Pólya定理
6.1 群的概念 6.2 置换群 6.3 循环、奇循环与偶循环
2×4×3×2=48
§1.1 乘法法则例6
1.1.2 乘法法则
例6、求出从8个计算机系的学生、 9 个数学系的学生和10个经济系的学生 中选出两个不同专业的学生的方法数。
解：由乘法法则有 选一个计算机系和一个数学系的方法数为8×9=72 选一个数学系和一个经济系的方法数为9×10=90 选一个经济系和一个计算机系的方法数为10×8=80 由加法法则，符合要求的方法Байду номын сангаас为
相关课程 《数学分析》《高等代数》《离散数学》
使用教材
书名：组合数学（第三版） 作者：孙淑玲 出版社：中国科学技术大学出版社
目录（1）
目
引言 第1章 排列与组合
1.1 加法法则和乘法法则 1.2 排列 1.3 组合 1.4 二项式定理 1.5 组合恒等式及其含义 1.6 模型转换 本章小结 习题
第2章 鸽笼原理
• • 科学的组织 练习 • • 科学的推理 思考总结
• 笔记
组合数学研究的中心问题是按照一定的规 则来安排有限多个对象
• 如果人们想把有限多个对象按照它们所应满足的条 件来进行安排，当符合要求的安排并非显然存在或显 然不存在时，首要的问题就是要证明或者否定它的存 在。这就是存在性问题。如果所要求的安排存在，则 可能有多种不同的安排，这又经常给人们提出这样的 问题：有多少种可能的安排方案？如何对安排的方案 进行分类？这就是计数问题。如果一个组合问题有解 ，则往往需要给出求其某一特定解的算法，这就是所 谓的构造性问题。如果算法很多，就需要在一定的条 件下找出一个或者几个最优或近乎最优的安排方案， 这就是优化问题。
本章重点介绍以下的基本计数方法：
• 加法法则和乘法法则 • 排列 • 组合 • 二项式定理的应用 • 组合恒等式
§1.1 加法法则
1.1.1 加法法则
相互独立的事件 A、B 分别有 k 和 l 种方法产生，则产生 A 或 B 的方 法数为 k+l 种。
若|A|=k，|B|=l ，且A∩B=Φ ，
组合数学课件
课程简介
本课程针对计算机科学中的一个重要学科——组合数学， 组合数学是数学的一个分支，它研究事物在结定模式下的配 置，研究这种配置的存在性，所有可能配置的计数和分类以 及配置的各种性质。组合数学在计算机科学中有着极其广泛 的应用。
组合学问题求解方法层出不穷、干变万化，应以理解为 基础，善于总结各种技巧，掌握科学的组织和推理方法。
奇数、偶数集合，显然，S1∩S2=Φ ，根据加法法则有
|S| |S1||S2| 5 4 9
例3、小于20可被2或3整除的自然 数有多少个？
§1.1 乘法法则
1.1.2 乘法法则
相互独立的事件 A、B 分别有 k 和 l 种方法产生，则选取A以后 再选取B 的方法数为 k×l 种。
若|A|=k，|B|=l ，A×B={(a,b)|a∈A，
§1.1 乘法法则例5
1.1.2 乘法法则 例5、由数字1,2,3,4,5可以构成多少个
所有数字互不相同的四位偶数？
解：所求的是四位偶数，故个位只能选2或4，有两种选 择方法；又由于要求四位数字互不相同，故个位选中后， 十位只有四种选择方法；同理，百位、千位分别有三种、 两种选择方法，根据乘法法则，四位数互不相同的偶数 个数为
例4、从A 地到B地有二条不同的道 路，从B地到C地有四条不同的道路， 而从C地到D地有三条不同的道路。 求从A地经B、C两地到达D地的道路 数。
解：设S是所求的道路数集合，S1、S2、S3分别是从A到 B、从B到C、从C到D的道路集合，根据乘法法则有
|S| |S1||S2||S3| 2 4 3 24
6.4 Burnside引理 6.5 Pólya定理 6.6 Pólya定理的应用 6.7 母函数形式的Pólya定理 6.8* 图的计数 6.9* Pólya定理的若干推广 本章小结 习题
********************** 课程总结
注：加*的章节一般性了解
• 古老 • 年轻
• 存在性问题 • 计数和枚举 • 优化问题 • 构造性问题
录
习题
第3章 容斥原理
3.1 容斥原理 3.2 重集r-组合 3.3 错排问题 3.4 有限制排列 3.5* 一般有限制排列 3.6* 广义容斥原理 本章小结 习题
第4章 母函数
4.1 母函数的基本概念 4.2 母函数的基本运算 4.3 在排列组合中的应用 4.4 整数的拆分 4.5 Ferrers图
则|A∪B| = k+l 。
m
设S是有限集合，若 Si S, S Si，且 i j
m
im1
时， Si S j ，则有 S Si Si 。
i 1
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§1.1 加法法则例1
1.1.1 加法法则
例1、有一所学校给一名物理竞赛优胜 者发奖，奖品有三类，第一类是三种 不同版本的法汉词典；第二类是四种 不同类型的物理参考书；第三类是二 种不同的奖杯。这位优胜者只能挑选 一样奖品。那么，这位优胜者挑选奖 品的方法有多少种？
解：设S是所有这些奖品的集合，Si是第i类奖品的集合
(i=1,2,3)，显然，Si∩Sj=Φ (i≠j) ，根据加法法则有
3
|S| Si |S1||S2||S3| 3 4 2 9
i 1
§1.1 加法法则例2、3
1.1.1 加法法则 例2、大于0小于10的奇偶数
有多少个？
解：设S是符合条件数的集合，S1、S2分别是符合条件的
b∈B}，则|A×B| = k×l 。 m
设 Si (i 1, 2,..., m) 是有限集合，且 S Si
i 1
{(a1,a2 ,...,am ) | ai Si , i 1, 2,..., m} ，则有
m
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S Si Si
i 1
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。
§1.1 乘法法则例4
1.1.2 乘法法则
目录（2）
4.6* 在组合恒等式中的应用 本章小结 习题
第5章 递推关系
5.1 递推关系的建立 5.2 常系数线性齐次递推关系 5.3 常系数线性非齐次递推关系 5.4 迭代法与归纳法 5.5 母函数在递推关系中的应用 5.6* 典型的递推关系 本章小结 习题
第6章 Pólya定理
6.1 群的概念 6.2 置换群 6.3 循环、奇循环与偶循环
2×4×3×2=48
§1.1 乘法法则例6
1.1.2 乘法法则
例6、求出从8个计算机系的学生、 9 个数学系的学生和10个经济系的学生 中选出两个不同专业的学生的方法数。
解：由乘法法则有 选一个计算机系和一个数学系的方法数为8×9=72 选一个数学系和一个经济系的方法数为9×10=90 选一个经济系和一个计算机系的方法数为10×8=80 由加法法则，符合要求的方法Байду номын сангаас为
相关课程 《数学分析》《高等代数》《离散数学》
使用教材
书名：组合数学（第三版） 作者：孙淑玲 出版社：中国科学技术大学出版社
目录（1）
目
引言 第1章 排列与组合
1.1 加法法则和乘法法则 1.2 排列 1.3 组合 1.4 二项式定理 1.5 组合恒等式及其含义 1.6 模型转换 本章小结 习题
第2章 鸽笼原理
• • 科学的组织 练习 • • 科学的推理 思考总结
• 笔记
组合数学研究的中心问题是按照一定的规 则来安排有限多个对象
• 如果人们想把有限多个对象按照它们所应满足的条 件来进行安排，当符合要求的安排并非显然存在或显 然不存在时，首要的问题就是要证明或者否定它的存 在。这就是存在性问题。如果所要求的安排存在，则 可能有多种不同的安排，这又经常给人们提出这样的 问题：有多少种可能的安排方案？如何对安排的方案 进行分类？这就是计数问题。如果一个组合问题有解 ，则往往需要给出求其某一特定解的算法，这就是所 谓的构造性问题。如果算法很多，就需要在一定的条 件下找出一个或者几个最优或近乎最优的安排方案， 这就是优化问题。
本章重点介绍以下的基本计数方法：
• 加法法则和乘法法则 • 排列 • 组合 • 二项式定理的应用 • 组合恒等式
§1.1 加法法则
1.1.1 加法法则
相互独立的事件 A、B 分别有 k 和 l 种方法产生，则产生 A 或 B 的方 法数为 k+l 种。
若|A|=k，|B|=l ，且A∩B=Φ ，
组合数学课件
课程简介
本课程针对计算机科学中的一个重要学科——组合数学， 组合数学是数学的一个分支，它研究事物在结定模式下的配 置，研究这种配置的存在性，所有可能配置的计数和分类以 及配置的各种性质。组合数学在计算机科学中有着极其广泛 的应用。
组合学问题求解方法层出不穷、干变万化，应以理解为 基础，善于总结各种技巧，掌握科学的组织和推理方法。
奇数、偶数集合，显然，S1∩S2=Φ ，根据加法法则有
|S| |S1||S2| 5 4 9
例3、小于20可被2或3整除的自然 数有多少个？
§1.1 乘法法则
1.1.2 乘法法则
相互独立的事件 A、B 分别有 k 和 l 种方法产生，则选取A以后 再选取B 的方法数为 k×l 种。
若|A|=k，|B|=l ，A×B={(a,b)|a∈A，
§1.1 乘法法则例5
1.1.2 乘法法则 例5、由数字1,2,3,4,5可以构成多少个
所有数字互不相同的四位偶数？
解：所求的是四位偶数，故个位只能选2或4，有两种选 择方法；又由于要求四位数字互不相同，故个位选中后， 十位只有四种选择方法；同理，百位、千位分别有三种、 两种选择方法，根据乘法法则，四位数互不相同的偶数 个数为
例4、从A 地到B地有二条不同的道 路，从B地到C地有四条不同的道路， 而从C地到D地有三条不同的道路。 求从A地经B、C两地到达D地的道路 数。
解：设S是所求的道路数集合，S1、S2、S3分别是从A到 B、从B到C、从C到D的道路集合，根据乘法法则有
|S| |S1||S2||S3| 2 4 3 24
6.4 Burnside引理 6.5 Pólya定理 6.6 Pólya定理的应用 6.7 母函数形式的Pólya定理 6.8* 图的计数 6.9* Pólya定理的若干推广 本章小结 习题
********************** 课程总结
注：加*的章节一般性了解
• 古老 • 年轻
• 存在性问题 • 计数和枚举 • 优化问题 • 构造性问题