信号处理与数据分析 邱天爽作业答案第五章(Part2)

n 0,1,
step6，取步骤 5 中计算结果的前 7 点作为线性卷积结果
step3，计算 X (k ) DFT[ x( n)], step4，计算 Y (k ) X (k ) H ( k ) ；
n 0,1,
, L 1;
k 0,1,
, L 1 ； , L 1; k 0,1, , L 1
step5，计算 Y ( k ) 的傅里叶逆变换 y (n) IDFT[Y (k )],
X (k )W
k 0
N 1
kn N
0
可求出
x(n)
n0
N 1
2
x ( n) x* (n ) x (n )[
n0 n0
N 1
N 1
1 N
X (k )W
k 0
N 1
kn * N
]

1 N 1 N
X
k 0 N 1 k 0
N 1
*
kn ( k ) x ( n)WN n0 2
N 1
1 N
X
k 0
N 1
*
(k ) X (k )
X (k )
所以
x ( n)
n0
N 1
2

1 N
X (k )
k 0
N 1
2
2.(书稿 5.22)设信号 x(n) [1, 2,3, 4] ，通过系统 h(n) [4,3, 2,1] ，试求： (1)系统的输出 y (n) x (n) h(n) (2)用圆周卷积计算 y (n) (需给出过程) (3)说明通过 DFT 计算 y (n) 的思路 解： (1)根据卷积定义可得： y (n) [4,11, 20,30, 20,11, 4] (2)根据圆周卷积和线性卷积的性质可知，需要计算圆周卷积的点数必须大于线性卷积结果 的点数，因此至少需计算 7 点的圆周卷积，下面以 7 点为例：结果为[4,11,20,30,20,11,4] Step1: 将两个序列扩展为 7 点序列，并以 7 为周期进行延拓，此处取主值区间记作： x(n)=[1,2,3,4,0,0,0] h(n)=[4,3,2,1,0,0,0] Step2：将序列 h(n)反褶，并取主值区间记作：h(n)=[4,0,0,0,1,2,3] Step3: 计算 y(n): x=[1,2,3,4,0,0,0] h=[4,0,0,0,1,2,3] y(0)=4 x=[1,2,3,4,0,0,0] h=[3,4,0,0,0,1,2] y(1)=11 x=[1,2,3,4,0,0,0] h=[2,3,4,0,0,0,1] y(2)=20 x=[1,2,3,4,0,0,0] h=[1,2,3,4,0,0,0] y(3)=30 ….. Step4: 取圆周卷积的主值区间，并取前 7 点作为线性卷积的结果 (3) step1，将两个序列补零至长度为 L 大于等于 7； step2，计算 H (k ) DFT[ h( n)], n 0,1, , L 1; k 0,1, , L 1 ；
1.(书稿中 5.21) 对于 DFT，试证明帕斯瓦尔定理： | x( n) |2
n 0
N 1
1 N 1 | X (k ) |2 。 N k 0
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证明： 由
N 1 kn x(n)WN X (k ) n 0 0 1 x( n) N 0 k N 1 其他 0 n N 1 其他