【初三】线段、角的和差倍分
初中数学竞赛专题选讲
线段、角的和差倍分
一、内容提要
证明线段、角的和，差，倍，分，常用两种方法：一是转化为证明线段或角的相等关系；一是用代数恒等式的证明方法。
一. 转化为证明相等的一般方法
㈠通过作图转化
1. 要证明一线段（角）等于两线段（角）的和（用截长补短法）
⑴分解法-- 把大量分成两部分，证它们分别等于两个小量
⑵合成法一一作出两个小量的和，证它与大量相等
2. 要证明一线段（角）等于另一线段（角）的2倍
⑴折半法一一作出大量的一半，证它与小量相等
⑵加倍法-- 作出小量的2倍，证它与大量相等
㈡应用有关定理转化
1. 三角形中位线等于第三边的一半，梯形中位线等于两底和的一半
2. 直角三角形斜边中线等于斜边的一半
3. 直角三角形中，含30度的角所对的直角边等于斜边的一半
4. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和
5. 等腰三角形顶角的外角等于底角的2倍
6. 三角形的重心（各中线的交点）分中线为2 : 1
7. 有关比例线段定理
二. 用代数恒等式的证明
1. 由左证到右或由右证到左
2. 左右两边分别化简为同一个第三式
3. 证明左边减去右边的差为零
4. 由已知的等式出发，通过恒等变形，到达求证的结论
二、例题
例1.已知：△ ABC中，/ B = 2/ C, AD是高
求证：DC = AB + BD
分析一：用分解法，把DC分成两部分，分别证与AB , BD相等。可以高AD为轴作△ ADB的对称三角形△ ADE，再证EC = AE。
???/ AEB =Z B = 2 / C 且/ AEB = Z C+Z EAC ,二/ EAC = Z C 辅助线是在DC 上取DE = DB，连结AE。
分析二：用合成法，把AB , BD合成一线段，证它与DC相等。仍然以高AD为轴，作出DC的对称线段DF。
为便于证明，辅助线用延长DB到F,使BF = AB，连结AF，则可得
的中垂线相交于 O ,垂足是M , N
求证：AH = 2MO , BH = 2NO
证明一：（加倍法一一作出 OM , ON 的2倍）
连结并延长 CO 至U G 使OG = CO 连结AG , BG 则
BG // OM , BG = 2MO , AG // ON , AG = 2NO
???四边形AGBH 是平行四边形，
AH = BG = 2MO , BH = AG = 2NO
证明二：（折半法一一作出 AH , BH 的一半）
分别取AH , BH 的中点F , G 连结FG , MN
(1)
则 FG = MN = AB , FG // MN // AB
2
又??? OM // AD ,
???/ OMN =Z HGF （两边分别平行的两锐角相等） 同理/ ONM =Z HFG OMN HFG
例3. 已知：在正方形 ABCD 中，点E 在AB 上且CE = AD + AE , F 是AB 的中点
求证：/ DCE = 2/BCF
分析：本题显然应着重考虑如何发挥 CE = AD + AE 条件的作用，如果 只想用加倍法或折半法，则脱离题设的条件，难以见效。
我们可将AE （它的等量DG ）加在正方形边 CD 的延长线上（如左图） 也可以把正方形的边 CD （它的等量 AG ）加在AE 的延长线上（如右图） 后一种想法更容易些。
辅助线如图，证明（略）自己完成
AD 和BE 相交于 H ，两条边 BC 和AC 例2?已知：△ ABC 中，两条高 A G ：
.
例4?已知：△ ABC中，/ B和/ C的平分线相交于I,
1
求证：/ BIC = 90 斗 / A
2
证明一：(由左到右)
1
/ BIC = 180 :—(/ 1 + Z 2)= 180 :—(/ ABC +Z ACB )
2
1
(/ ABC +Z ACB + Z A) +
=180 :——
2
1
=90 ?+ / A
2
证明二：(左边—右边=0)
1
/ BIC —( 90 :■+/ A)
2
1 1
=180 -—(/ ABC +Z ACB )—90 -—/ A
2 2
1
=90 :— (/ ABC + Z ACB + Z A )=……
2
证明三：(从已知的等式出发，进行恒等变形)
???/ A +Z ABC + Z ACB = 180 ：/-Z A = 180 ?—(Z ABC +Z ACB )
1 1
Z A = 90 -— (Z ABC +Z ACB )
2 2
1 1 1
90 叫一Z A = 180 — (Z ABC + Z ACB ),即Z BIC = 90°+ —Z A
2 2 2
三、练习
1. △ ABC 中，Z B= 2Z C, AD 是角平分线，求证：AC = AB + BD
2. △ ABC 中，Z B= 2Z C, AD 是高，M 是BC 的中点，贝U AB = 2DM
3. △ ABC中，Z B的平分线和Z C的外角平分线交于E,则Z A = 2Z E
4. △ ABC的AB = AC , CD是中线，延长AB至U E使BE = AB，连结EC,
贝U CE=2CD
5. 已知：等腰直角三角形ABC中，Z A = Rt Z, BD是角平分线
求证：BC = AB + AD
6. 已知：△ ABC中，AB V AC , AD是高，AE是角平分线
1
求证:Z DAE = (Z B + Z C)
2
7. 已知：△ ABC中，AB = AC,点D在AC的延长线上，
2
1
求证：Z CBD = - (Z ABD —Z D)
8. 已知：AD是厶ABC的中线，E是AD的中点，BE延长线交AC于F 求证：
BF = 4EF
9. 已知：在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，AF平分/ DAE，交
CD于F
求证：AE = BE + DF
10. 在厶ABC中，/ BAC = Rt Z, BC的中垂线MN交AB于M，交BC于N，角平
分线AD延长线交MN于E,则BC = 2NE
（1987年泉州市双基赛题）
11. 以Rt△ ABC两直角边AC , BC为边向形外作正方形ACDE和BCFG , 分别
过E, G作斜边AB所在直线的垂线段EE，, GG，则AB = EE，+ GG，
12. 已知：△ ABC中，AB = AC , AD是高，CE是角平分线EF丄BC于F, GE
丄CE交CB延长线于G,
求证:
1
FD = CG （提示：以CE为轴作△ CEG的对称三角形）4
13.已知：△ ABC 中，/ A = 100 -； AB —AC , BD 是角平分线
求证：BC —BD + AD
14.已知：正方形ABCD中，AE平分/ BAC交BC于E,交BD于F, 0 是对角线的
交点
求证: CE—2FO
15.已知：如图AC , BD都垂直于AB，且CD交AB于E, CE —2AD
求证: / ADE — 2 / BDE
16.已知：△ ABC中，AB v AC v BC ,点D在BC上，点E在BA的延长
线上，求
证：且BD —BE —AC , △ BDE的外接圆和△ ABC的外接圆交于点 F BF —AF + FC （1991年全国初中数学联赛题）
（提示：在BF上取BG = CF）
练习题参考答案
1. 以AD轴作轴对称三角形
2. 取AB中点N，再证明DN = DM
3. 利用外角性质，分别用两角差表示/ A和/ E
4. 有多种证明方法，注意三角形中位线性质
5. 在BC上取BE = BD，则△ EDC等腰，作DF // BC交AB于F,可证△
ECD ◎△ ADF
6. / B +(/ BAE -Z DAE )= 90, / C +(/ EAC + Z DAE )= 90
7. Z ABC = Z ACB = Z D + Z CBD，两边同加上Z CBD
10 ?作高AH
12 延长GE交AC于M，贝U E是GM的中点，作EP// BC交AC于P,则EP被AD平分
16. 在BF 上截取BG = FC,A BGECFA，再证GE = GF