弧弦圆心角PPT课件
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在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的 圆心角__相_等___，所对的弧__相__等_____．
同圆或等圆中，
两个圆心角、两
条弧、两条弦中
有一组量相等，
它们所对应的其
余各组量也相
等．
5
圆心角定理及推广定理：
A′ B
B′
同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、 两条弦中如果有一组量相等，它们所 对应的其余各组量也相等。
24.1.3 弧、弦、圆心角
1
一、思考
圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?
圆是中心对称图形， 它的对称中心是圆心. ·
圆有旋转不变性
2
二、概念
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. A ∠AOB为圆心角
O· B
3
三 探究
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现
哪些等量关系？为什么？
⌒⌒
（3）如果∠AOB=∠COD，那么____A_B_=_C_D_____，____Βιβλιοθήκη BaiduA_B_=_C_D___．
（4）如果AB=CD,OE⊥AB,OF⊥CD,垂足E,F,OE与 OF相等吗？为什么？
A
E
B
O·
D
F C
7
例1
1.如图，AB、CD是⊙O的两条弦． B（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
解: 相 等
因为AB=CD ，所以∠AOB=∠COD.
又因为AO=CO，BO=DO，
A
所以△AOB≌ △COD.
又因为OE 、OF是AB与CD对应边上的高，
所以 OE = OF.
E
B
O·
D
F
C
8
A 练习1
如图，在⊙O中， A⌒B=A⌒C ，∠ACB＝75°， ∠BAC=__________．
A
O
B
C
9
A 练习2
如图，AB是⊙O的直径，
求∠AOE的度数．
E
D
C
⌒ ⌒⌒
BC=CD=DE，∠COD=35°，
解： ∵
⌒ ⌒⌒
BC=CD=DE
BOC=COD=DOE=35
A
·
O
B
AOE 180 335
75
10
B 例2
⌒⌒
如图在⊙O中， AB=AC ，∠ACB=60°，求证 ∠AOB=∠BOC=∠AOC.
⌒⌒ 证明：∵ AB=AC
A
∴ AB=AC, △ABC等腰三角形．
又∠ACB=60°，
O·
∴ △ABC是等边三角形，AB=BC=CA.
B
C
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
11
B 练习3
如图，已知AD＝BC、求证AB=CD
A
C
.
O
D
B
变式：如图，如果
, 求证：AB=CD
12
B 练习4
2.如图，点A是半圆上的一个三等分点，B 是劣弧的中点，点P是直径MN上的一个动点， ⊙O的半径为1，则AP+PB的最小值=_______
⌒ ⌒
AB = A′B′
AB A' B '.
4
四、定理
这样，我们就得到下面的定理：
A′ B
B′
·A
O
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
⌒ ∵∠AOB=∠A/OB/
∴
⌒
AB
=A′B′,
AB A' B '.
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的 圆心角_相__等__， 所对的弦_相__等_____；
16
4、如图，已知AB、CD是⊙O中互相垂直的两 条直径，又两条弦AE、CF垂直相交与点G，
试证明：AE=CF
C E
PG
A
┌.
B
O
F
D
17
A′
A′
B
B
B′
B′
·
O
A
·
O
A
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时，显然
∠AOB＝∠A′OB′，射线OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相等，
OA=OA′，OB=OB′，从而点A与A′重合，B与B′重合．
⌒ 因此，
⌒
AB
与A′B′
重合，AB与A′B′重合．
13
四 巩固提高
1．如图，⊙O中，如果AB=2AC，那么（ ） A．AB=2AC B．AB=AC C．AB<2AC D．AB>2AC
A
C O B
14
四 巩固提高
如图，AB是⊙O的直径.(1)若OD∥AC， CD与BD的大小有什么关系？为什么？
15
四 巩固提高
3.如图，∠AOD=90°，B，C是AB的三 等分点，AD分别交OB，OC于点E，F. 求证：AE=BC=FD．
·A
O
即：同圆或等圆中
知
∠AOB＝∠A′OB′
一
⌒⌒
得
AB=A′B′
AB A' B '.
二
6
A 例1
如图，AB、CD是⊙O的两条弦⌒． ⌒
（1）如果AB=CD，那么_____A_B_=_C__D_，____A_O__B_____C_O__D__．
⌒⌒ （2）如果 AB=CD ，那么_____A_B_=_C_D___，____A_O_B____C_O_D__．
同圆或等圆中，
两个圆心角、两
条弧、两条弦中
有一组量相等，
它们所对应的其
余各组量也相
等．
5
圆心角定理及推广定理：
A′ B
B′
同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、 两条弦中如果有一组量相等，它们所 对应的其余各组量也相等。
24.1.3 弧、弦、圆心角
1
一、思考
圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?
圆是中心对称图形， 它的对称中心是圆心. ·
圆有旋转不变性
2
二、概念
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. A ∠AOB为圆心角
O· B
3
三 探究
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现
哪些等量关系？为什么？
⌒⌒
（3）如果∠AOB=∠COD，那么____A_B_=_C_D_____，____Βιβλιοθήκη BaiduA_B_=_C_D___．
（4）如果AB=CD,OE⊥AB,OF⊥CD,垂足E,F,OE与 OF相等吗？为什么？
A
E
B
O·
D
F C
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例1
1.如图，AB、CD是⊙O的两条弦． B（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
解: 相 等
因为AB=CD ，所以∠AOB=∠COD.
又因为AO=CO，BO=DO，
A
所以△AOB≌ △COD.
又因为OE 、OF是AB与CD对应边上的高，
所以 OE = OF.
E
B
O·
D
F
C
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A 练习1
如图，在⊙O中， A⌒B=A⌒C ，∠ACB＝75°， ∠BAC=__________．
A
O
B
C
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A 练习2
如图，AB是⊙O的直径，
求∠AOE的度数．
E
D
C
⌒ ⌒⌒
BC=CD=DE，∠COD=35°，
解： ∵
⌒ ⌒⌒
BC=CD=DE
BOC=COD=DOE=35
A
·
O
B
AOE 180 335
75
10
B 例2
⌒⌒
如图在⊙O中， AB=AC ，∠ACB=60°，求证 ∠AOB=∠BOC=∠AOC.
⌒⌒ 证明：∵ AB=AC
A
∴ AB=AC, △ABC等腰三角形．
又∠ACB=60°，
O·
∴ △ABC是等边三角形，AB=BC=CA.
B
C
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
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B 练习3
如图，已知AD＝BC、求证AB=CD
A
C
.
O
D
B
变式：如图，如果
, 求证：AB=CD
12
B 练习4
2.如图，点A是半圆上的一个三等分点，B 是劣弧的中点，点P是直径MN上的一个动点， ⊙O的半径为1，则AP+PB的最小值=_______
⌒ ⌒
AB = A′B′
AB A' B '.
4
四、定理
这样，我们就得到下面的定理：
A′ B
B′
·A
O
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
⌒ ∵∠AOB=∠A/OB/
∴
⌒
AB
=A′B′,
AB A' B '.
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的 圆心角_相__等__， 所对的弦_相__等_____；
16
4、如图，已知AB、CD是⊙O中互相垂直的两 条直径，又两条弦AE、CF垂直相交与点G，
试证明：AE=CF
C E
PG
A
┌.
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A′
A′
B
B
B′
B′
·
O
A
·
O
A
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时，显然
∠AOB＝∠A′OB′，射线OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相等，
OA=OA′，OB=OB′，从而点A与A′重合，B与B′重合．
⌒ 因此，
⌒
AB
与A′B′
重合，AB与A′B′重合．
13
四 巩固提高
1．如图，⊙O中，如果AB=2AC，那么（ ） A．AB=2AC B．AB=AC C．AB<2AC D．AB>2AC
A
C O B
14
四 巩固提高
如图，AB是⊙O的直径.(1)若OD∥AC， CD与BD的大小有什么关系？为什么？
15
四 巩固提高
3.如图，∠AOD=90°，B，C是AB的三 等分点，AD分别交OB，OC于点E，F. 求证：AE=BC=FD．
·A
O
即：同圆或等圆中
知
∠AOB＝∠A′OB′
一
⌒⌒
得
AB=A′B′
AB A' B '.
二
6
A 例1
如图，AB、CD是⊙O的两条弦⌒． ⌒
（1）如果AB=CD，那么_____A_B_=_C__D_，____A_O__B_____C_O__D__．
⌒⌒ （2）如果 AB=CD ，那么_____A_B_=_C_D___，____A_O_B____C_O_D__．