连续型随机变量及其分布函数.

(3)当 x 时, p( x) 0;
(4)曲线在 x μ σ 处有拐点;
(5) 曲线以 x 轴为渐近线;
(6) 当固定 σ, 改变 μ 的大小时, p( x) 图形的形状不变,只是沿 着 x 轴作平移变换;
(7) 当固定μ, 改变 σ 的大小时, p(x) 图形的对称轴 不变,而形状在改变, σ 越小,图形越高越瘦, σ越大, 图 形 越 矮 越 胖.
0,
x a,
F
(
x)
A
B
arcsin
x a
,
a
x a,
1,
x a.
求 : (1) 系数 A, B 的值;
(2) P{a X a}; 2
(3) 随机变量 X 的概率密度.
解 (1) 因为 X 是连续型随机变量, 所以F ( x)连续,
故有 F(a) lim F( x), xa F(a) lim F( x) , xa-
解 X 的分布函数为
F (x )
1
1x
e 2000 ,
0,
x 0, x 0.
(1) P{X 1000} 1 P{X 1000} 1 F (1000)
1
e 2 0.607.
(2) P{ X 2000 X 1000} P{ X 2000, X 1000} P{ X 1000} P{ X 2000} P{ X 1000}
2π
2a
1 1 π 2. 2π6 3
(3) 随机变量 X 的概率密度为
p( x) F( x)
1
0,
a2 x2 , a x a, 其它.
例2 设随机变量X 具有概率密度
kx, 0 x 3,
p( x)
2
x 2
,
3 x 4,
0,
其 它.
(1) 确 定 常 数k; (2) 求 X 的 分 布 函 数;
解 由
p( x)d x 1
Ke3x d x 1, 得 K 3,
0
得
p( x)
3e3x ,
x
0,
0, x 0.
P{X 0.1}
p( x)d x
3e3x d x 0.7408.
0.1
0.1
例2 设 k 在 (0,5) 上服从均匀分布,求方程 4x2 4kx k 2 0
原函数不是
初等函数
1
e d t x
(
t μ)2 2σ2
2σ
?
方法一:利用MATLAB软件包计算
方法二:转化为标准正态分布查表计算
标准正态分布
当正态分布 N ( μ,σ2 ) 中的 μ 0, σ 1 时,这样 的正态分布称为标准正态分布,记为 N (0, 1).
标准正态分布的概率密度表示为
(x)
连续型随机变量的概率与区间的开闭无关
注意
设X为连续型随机变量 ，X=a 是不可能
事件,则有
P{ X a} 0.
连
续
若 P{ X a} 0,
型
则不能确定 {X a} 是不可能事件
若 X 为离散型随机变量,
离
散
{ X a} 是不可能事件 P{X a} 0.
型
例1 设连续型随机变量 X 的分布函数为
•
•
ao
b
x
教材P 41
例3 设随机变量 X 在 [ 2, 5 ]上服从均匀分布, 现 对 X 进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值 大于3 的概率.
解 X 的概率密度函数为
p(
x)
1 3
,
0,
2 x 5, 其 它.
设 A 表示“X 的观测值大于 3”,
即 A={ X >3 }.
由于 P( A) P{ X 3}
第2.3节 连续型随机变量 及其分布函数
一、概率密度的定义与性质 二、常见连续型随机变量的分布 三、内容小结
一、概率密度的定义与性质
1.定义
设X为 随 机 变 量，F ( x)为X 的 分 布 函 数,若 存 在
非 负 函 数p( x),使 对 于 任 意 实 数x 有
F ( x) x p(t )d t, 则 称 X 为 连 续 型 随 机 变 量, 其 中 p( x) 称 为 X的 概
其中 0 为常数,则称 X 服从参数为的指数
分 布.
分布函数
1 ex , x 0,
F(x) 0,
x 0.
应用与背景
某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如 无线电元件的寿命 , 电力设备的寿命, 动物的寿 命等都服从指数分布.
例4 设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为 =1/2000的指数分布(单位:小时) (1)任取一只这种灯管, 求能正常使用1000小时以 上的概率. (2) 有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以 上, 求还能使用1000小时以上的概率.
解 P{1.25 X 2} (2) (1.25) 0.9772 0.8944
0.0828 .
P{X 1} 1 P{X 1} 1 0.8413 0.1587
P{| X | 3} (3) (3) 2(3) 1 20.9987 1
0.9974
正态分布与标准正态分布之间具有下面的关系：
有实根的概率. 解 当 16k 2 16(k 2) 0 时,
即 k 2 或 k 1 时,有实根,
则有实根的概率为
51 d x 3 .
25
5
即
A
B arcsin
a a
A
2
B
0,
A
B arcsin
a a
A
2
B
1,
解之得 A 1 , B 1 .
2
所以
0,
x a,
F
(x)
1 2
1
arcsin
x a
,
a x a,
1,
x a.
(2)
P{a
X
a} 2
F(a) 2
F(a)
1 1 arcsin( a ) 0
则当 X N(, 2)时，其分布函数 F(x)可以用
标准正态分布的分布函数 (x) 表示，
F(x) P{X x} 1
x
(t μ )2
e 2σ2
d t,
2 σ
令 t μ u,得 σ
F(x) P{Z x}
1
xμ u2
σ e 2 du
( x μ)
2
σ
例7 已知 X ~ N (μ, σ 2 ),求 P{c X d}.
另一方面,有些分布(如二项分布、泊松分布)的极 限分布是正态分布.所以,无论在实践中,还是在理 论上,正态分布都是概率论中最重要的一种分布. 二项分布向正态分布的转换
备份题
例1 设随机变量X 的概率密度为
Ke3x , x 0
p( x)
0,
x 0.
试确定常数K ,并求 P{X 0.1}.
证明 P{ x1 X x2} F ( x2 ) F ( x1)
x2 p( x) d x
x1 p( x) d x x2 p( x)d x.
x1
同时得以下计算公式
P{X a} F(a)
a
p( x)d x,
P{X a} 1 P{X a} 1 F(a)
p(
x)
d
x
a
p( x)
2 πσ
其 中 μ, σ(σ 0) 为 常 数,则 称 X 服 从 参 数 为μ, σ
的 正 态 分 布 或 高 斯 分 布,记 为 X ~ N ( μ, σ 2 ).
正态分布概率密度函数的几何特征
(1)曲线关于 x μ 对称;
(2)当x μ时, p( x)取 得 最 大 值 1 ; 2 πσ
51
2
dx ,
33
3
设Y 表示“3次独立观测中观测值大于3的次数”,
则 Y ~ B 3, 2 . 3
因而有
P{Y
2}
3 2
2 3
2
1
2 3
33
2 3
3
1
2 0
3
20 . 27
2. 指数分布
定义 设连续型随机变量X 的概率密度为
ex , x 0,
p(x)
0,
x 0.
1 P{ X 2000} 1 P{ X 1000}
1 F (2000) 1 F (1000)
1
e 2 0.607.
指数分布的重要性质 :“无记忆性”.
3. 正态分布(或高斯分布)
定 义 设 连 续 型 随 机 变 量X 的 概 率 密 度 为
p( x)
1
( x μ)2
e 2σ2 , x ,
率 密 度 函 数,简 称 概 率 密 度.
连续型随机变量的分布函数是连续函数.
性质
(1)
对任意的x, p( x) 0.
(2)
p( x)d x 1.
证明
1
F
()
p(
x)d
x.
S
p(
x)d
x
1
p( x)
1
S1
••
0
x1 x2 x
(3)
P{ x1
X
x2 }
F(x2)
F ( x1)
x2 x1
p( x)dx
1. 均匀分布
定义 设连续型随机变量X 具有概率密度
p(
x)
b
1
a
,
a x b,
0,
其 它,
则称 X 在区间(a, b)区间上服从均匀分布,
记为 X ~ U(a,b).
概率密度
p( x)
函数图形
ao
b
分布函数
0,
x a,
F(x)
F
(
x)
x b
a a
,
a x b,
1•
1,
x b.
(3) 求 P{1 X 7}. 2
Baidu Nhomakorabea
解
(1)由
p(
x)d
x
1,
得
3
kx d x
4
(2
x)d
x
1,
0
3
2
(2)由 k 1 知 X 的概率密度为 6
解之得
k 1. 6
x 6
,
p( x)
2
x 2
,
0,
0 x 3, 3 x 4, 其 它.
由
F(
x)
x
p(
x)d
x
得
0, x 0,
正态分布的分布函数
F ( x) 1
e d t x
(
t μ)2 2σ2
2σ
正态分布的应用与背景
正态分布是最常见最重要的一种分布,例如 测量误差; 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ; 正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量 高度等都近似服从正态分布.
正态分布下的概率计算
P{X x} F ( x)
1
x2
e 2,
x ,
2π
标准正态分布的分布函数表示为
x
(x)
1
t2
e 2 dt,
x .
2
标准正态分布的图形
标准正态分布函数的性质：
（1）(0) 1 2
(2) (-x)=1-(x)
例5 已知 X ~ N (0,1),求 P{1.25 X 2}. P{X 1},
P{| X | 3}.
x x d x,
0 x 3,
F ( x)
0 3
6 xd
x
x
(2
x)d
x,
0 6
3
2
1, x 4.
3 x 4,
0,
x 0,
x
2
,
0 x 3,
即
F(x)
12
3
2x
x2 4
,
3 x 4,
1,
x 4.
(3)
P{1
X
7} 2
F(7) 2
F (1)
41 . 48
二、常见连续型随机变量的分布
d
x
p(
x)d
x
a
p( x)d
x
a
p(
x)d
x.
(4) 若 p( x) 在点 x 处连续,则有 F( x) p( x).
教材P40.
注意 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的概率等于零.即
P{X a} 0.
证明
P{ X
a}
a x
lim
x0 a
p( x)d
x
0.
由此可得
P{a X b} P{a X b} P{a X b} P{a X b}.
解：P{c
X
d}
F(d)
F
(c)
d
σ
μ
c
σ
μ
.
三、小结
1. 连续型随机变量
F(x)
x
p(t)d t
分布函数 概率密度
2. 常见连续型随机变量的分布
均匀分布
正态分布(或高斯分布)
指数分布
3. 正态分布是概率论中最重要的分布
正态分布有极其广泛的实际背景, 例如测量 误差; 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ; 正常 情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度; 炮弹的弹落点的分布等, 都服从或近似服从正态 分布.可以说,正态分布是自然界和社会现象中最 为常见的一种分布, 一个变量如果受到大量微小 的、独立的随机因素的影响, 那么这个变量一般 是一个正态随机变量.
引理 证明
若X ~ N ( μ,σ 2 ),则 Z X μ ~ N (0,1). σ
Z X μ的分布函数为 σ
P{Z
x}
P
X
σ
μ
x
P{ X
μ
σx}
1
μσx
e
(
t μ)2 2σ2
d
t,
2σ
令 t μ u,得 P{Z x} 1
u2 x
e 2 d u ( x),
σ
2
故 Z X μ ~ N (0,1). σ